2024-2025学年四川省雅安市高三上册10月联考数学检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省雅安市高三上册10月联考数学检测试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足,则（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足,且，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图为函数在上的图象，则的解析式只可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在体积为12的三棱锥中，,平面平面，若点A,B,C,D都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若,则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件：，下列结论正确的是（ ）
A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
10．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1,2,3,4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是相互独立事件 D．事件与事件是互斥事件
11．已知,其中,则的取值可以是（ ）
A．e B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．
12．若，则___________．
13．设是数列的前n项和，点在直线上，则数列的前n项和为___________．
14．已知点、N是y轴上的动点，且满足的外心P在y轴上的射影为Q,则点P的轨迹方程为___________，的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．
15．（13分）设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,边上的两条中线相交于点P．
（1）求;
（2）若,求的面积．
16．（15分）如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为2的正三角形，E为的中点，F为上一点，且平面平面．
（1）求证：平面;
（2）若平面平面,求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：
附表：
．
（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X,每天看电子产品超过一小时的人数为Y,求的值．
18．（17分）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存在实数m,使得曲线关于直线对称．
19．（17分）已知椭圆C的对称中心坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点作不与坐标轴平行的直线I交曲线C于A,B两点，过点A,B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D,E,直线与直线相交于P点．
①求证：点P在定直线上；
②求面积的最大值．
（答案）
一、单项选择题：
B A A C D D D C
8．【解】由对数函数的性质知,
,所以;
当时，,
所以
，
取，则,
所以,即,综上，．
二、多项选择题：
ABC ACD CD．
11．【解】令,则,
故当时，单调递增，当时，单调递减，
,又,不妨设,
解法一：记,设，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，则,
又因为，且在上单调递减，所以,则,所以．
解法二：由,两式相减，可得,令,
则；
令,则,
令，则在上恒成立，所以在上单调递增，
因为在上恒成立，
所以在上单调递增，则，即,所以．
解法三：,两式相减得，
由对数均值不等式，可得,
三、填空题：
;3
14．【解】设点,则根据点P是的外心，,
而,则，所以
从而得到点P的轨迹为,焦点为
由抛物线的定义可知,
因为，即，当点P在线段上时等号成立．
四、解答题：
15．【解】（1）因为,所以由正弦定理得,由余弦定理得,又，所以．（6分）
（2）因为P是边上的两条中线与的交点，所以点P是的重心．
又,
所以在中，由余弦定理
,
所以,又，所以,所以,
所以的面积为．（13分）
16．【解】（1）是边长为2的正三角形，E为的中点，则．
且平面平面,平面平面平面,
则平面．（6分）
（2）由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，
可取中点O,连接,则．
且平面平面,且平面平面,则平面．
因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系．
是边长为2的正三角形，则可求得高．
底面为等腰直角三角形，求得．
可以得到关键点的坐标
由第（1）问知道平面的法向量可取．
设平面的法向量为,且,则
则，解得．
则．则平面与平面夹角的余弦值为．（15分）
17．【解】（1）零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．
计算可得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（5分）
（2）每天看电子产品超过一小时的人数为，
则，
所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．（10分）
（3）依题意，，
事件包含两种情况：
①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是，
所以．（15分）
18．【解】（1）切点为．因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为,化简得;（5分）
（2）由题意可知,则的定义域为，
，
当时，,则在上单调递减；
当时，令,即,解得,
若；若，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；（11分）
（3）证明：函数,
函数的定义域为．若存在m,使得曲线关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线关于直线对称．（17分）
19．【解】（1）设椭圆C的方程为,代入已知点的坐标，
得：，解得，所以椭圆C的标准方程为．（5分）
（2）如图：①设直线l的方程为，并记点，
由消去x,得,易知,
则．
由条件，,直线的方程为,直线的方程为，
联立解得,所以点P在定直线上．（11分）
②，而，所以，
则,
令,则,所以，
当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为．（17分）
近视情况
每天看电子产品的时间
合计
超过一小时
一小时内
近视
10人
5人
15人
不近视
10人
25人
35人
合计
20人
30人
50人
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828