初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）2.1 二元一次方程精品一课一练

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级下册（2024）2.1 二元一次方程精品一课一练，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.由5x−2y=4可以得到用x表示y的式子是( )
A. y=52x−2B. x=25y+45C. y=25x−2D. x=25y−45
2.端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A，B两种食品盒中，A种食品盒每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子．若要将200个粽子分别装入A，B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有( )
A. 2种B. 3种C. 4种D. 5种
3.下列几组解中，二元一次方程x−y=1的解是( )
A. x=3y=2B. x=3y=−2C. x=−3y=−2D. x=2y=3
4.若方程(a+1)x+3y|a|=1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为( )
A. −1B. ±1C. 0D. 1
5.下列命题为真命题的是( )
A. 1的平方根是1B. 二元一次方程都有无数组解
C. (2,−3)是第二象限的点D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
6.已知关于x，y的方程组x+2y=5−2m,x−y=4m−1,下列结论：
①当m=1时，方程组的解满足x+y=2m+1的解;
②无论m取何值，x，y的值不可能互为相反数;
③x，y均为正整数的解只有1对;
④若2x+y=8，则m=2．
其中正确的是( )
A. ① ② ③B. ② ③ ④C. ① ② ④D. ① ③ ④
7.下列方程中属于二元一次方程的是( )
A. x+2y=−4B. 3x2+y=8C. x+y−2=0D. x−y−2z=10
8.已知x=3k,y=−3k是关于x，y的二元一次方程2x−y=27的解，则k的值是( )
A. 3B. −3C. 2D. −2
9.已知方程组ax+by=mcx+dy=n的解为x=3y=2，则方程组a(x+1)+b(y−1)=mc(x+1)+d(y−1)=n的解为( )
A. x=2y=3B. x=3y=2C. x=−2y=−3D. x=−3y=−2
10.《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是y−x=4.5，则符合题意的另一个方程是 ( )
A. 12y=x−1B. 12x=y−1C. 12y=x+1D. 12x=y+1
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.按下图的运算程序，请写出一组能使输出结果为3的x，y的值： ．
12.如果x=ay=b是方程x−3y=−3的一组解，那么代数式2022−2a+6b= ．
13.某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励(两种奖品都买)，其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有______种购买方案．
14.写出二元一次方程2x−y=4的一组解______．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
李阳购买羽毛球和乒乓球共用去18元(羽毛球和乒乓球都购买)，已知羽毛球4元/个，乒乓球2元/个．设李阳购买羽毛球x个，乒乓球y个，请列出关于x，y的二元一次方程，并写出所有可能的购买方案．
16.(本小题8分)
如果关于x，y的方程2x−y+2m−1=0有一个解是x=2,y=−1,请你再写出该方程的一个整数解，使得这个解中的x，y异号．
17.(本小题8分)
(教材习题8.1T3变式)已知甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg．
(1)列出关于x，y的二元一次方程；
(2)若x=12，则y=________；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有________个；
(4)请你写出(1)中所列方程的全部非负整数解．
18.(本小题8分)
如果三角形的三个内角分别是x°，y°，y°，求：
(1) x，y满足的关系式；
(2)当x=90时，y的值；
(3)当y=60时，x的值．
19.(本小题8分)
甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共有76kg．
(1)列出关于x、y的二元一次方程为 ；
(2)若x=12，则y的值为 ；
(3)请将关于x、y的二元一次方程写成用含y的代数式表示x的形式： ；
(4)用列表的方式列出甲、乙两种物品个数的所有可能情况．
20.(本小题8分)
某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值：他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究.下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把x看做已知数表示出y即可．
【解答】
解：5x−2y=4，
2y=5x−4，
y=5x−42=52x−2．
2.【答案】C
【解析】设使用A种食品盒x个，B种食品盒y个．
由题意，得8x+10y=200，∴y=20−0.8x，
∴方程的正整数解为x=5,y=16或x=10,y=12或x=15,y=8或x=20,y=4,
∴不同的分装方式有4种．
3.【答案】A
【解析】解：A.把x=3y=2代入方程x−y=1，得左边=3−2=1，右边=1，左边=右边，
所以x=3y=2是二元一次方程x−y=1的解，故本选项符合题意；
B.把x=3y=−2代入方程x−y=1，得左边=3−(−2)=3+2=5，右边=1，左边≠右边，
所以x=3y=−2不是二元一次方程x−y=1的解，故本选项不符合题意；
C.把x=−3y=−2代入方程x−y=1，得左边=−3−(−2)=−3+2=−1，右边=1，左边≠右边，
所以x=−3y=−2不是二元一次方程x−y=1的解，故本选项不符合题意；
D.把x=2y=3代入方程x−y=1，得左边=2−3=−1，右边=1，左边≠右边，
所以x=2y=3不是二元一次方程x−y=1的解，故本选项不符合题意；
故选：A．
把x、y的值代入方程x−y=1，看看方程两边是否相等即可．
本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．依据二元一次方程的定义求解即可．
【解答】
解：∵方程(a+1)x+3y|a|=1是关于x，y的二元一次方程，
∴a+1≠0且|a|=1，
解得a=1．
5.【答案】B
【解析】解：A、1的平方根是±1，原命题是假命题；
B、二元一次方程都有无数组解，是真命题；
C、(2,−3)是第四象限的点，原命题是假命题；
D、在同一平面上，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
故选：B．
根据平方根、二元一次方程、坐标和垂直判断即可．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
6.【答案】C
【解析】解：①当m=1时，关于x，y的方程组x+2y=5−2mx−y=4m−1为x+2y=3x−y=3，
解得x=3y=0，
所以x+y=3，
当m=1时，x+y=2m+1=3，
所以当m=1时，方程组的解也是x+y=2m+1的解，正确；
②x+2y=5−2m①x−y=4m−1②，
①−②得，3y=6−6m，
解得y=2−2m，
把y=2−2m代入②得，x=2m+1，
所以x+y=2m+1+2−2m=3，
所以无论m取何值，x，y的值不可能是互为相反数，正确；
③由②得x+y=3，
所以原方程组的正整数解是x=1y=2，x=2y=1，共2对，错误；
④①+②得，2x+y=4+2m，
所以2x+y=8，
所以4+2m=8，
解得m=2，正确；
所以正确的有①②④，
故选：C．
①把m=1代入方程组，求出方程组的解，即可得出x+y的值，然后把m=1代入方程x+y=2m+1中得出x+y的值，比较即可；
②解方程组得到x、y的值，然后求出x+y的值，如果x+y的值为0，则x，y互为相反数，否则不是；
③根据②中x+y=3即可得出方程组的正整数解，从而判断即可；
④①+②得到2x+y=4+2m，结合2x+y=8即可求出m的值．
本题考查了二元一次方程(组)的解，熟练掌握解二元一次方程(组)的方法是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、因为分母中含未知数，故不是二元一次方程，故A错误；
B、未知数x的次数为2，不是二元一次方程，故B错误；
C、x+y−2=0，是二元一次方程，故C正确；
D、含有3个未知数，不是二元一次方程，故D错误．
故选：C．
依据二元一次方程的定义求解即可．
本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：将x=3ky=−3k代入关于x，y的二元一次方程2x−y=27得：
2×3k−(−3k)=27．
∴k=3．
故选：A．
将x=3ky=−3k代入关于x，y的二元一次方程2x−y=27得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的值．
本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由题意，方程组ax+by=mcx+dy=n的解为x=3y=2，
∴方程组a(x+1)+b(y−1)=ma(x+1)+d(y−1)=n的解满足：
x+1=3y−1=2，解得x=2y=3，
故选：A．
运用整体的思想，得x+1=3y−1=2，解得x=0y=4．
本题考查二元一次方程组解的定义，运用整体的思想是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
由所列的方程，可找出x，y表示的含义，再结合“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可列出另一个二元一次方程．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【解答】
解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，且已经列出一个方程为y−x=4.5，
∴x表示长木的长度，y表示绳子的长度，
又∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
∴y2=x−1．
故选：A．
11.【答案】x=1，y=−1(答案不唯一)
【解析】略
12.【答案】2028
【解析】先将解代入方程，得出a−3b=−3，代入代数式即可．
【详解】解：∵x=ay=b是方程x−3y=−3的一组解，
∴a−3b=−3，
∴2a−6b=2(a−3b)=−6，
∴2022−2a+6b=2022−2(a−3b)=2022−(−6)=2028．
故答案为：2028．
13.【答案】4
【解析】解：笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，设购买x支笔记本，y个碳素笔，
依题意得：3x+2y=28，
∴y=14−32x．
又∵x，y均为正整数，
∴x=2y=11或x=4y=8或x=6y=5或x=8y=2，
∴共有4种不同的购买方案．
故答案为：4．
设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
14.【答案】x=1y=−2(答案不唯一)
【解析】解：把x=1代入2x−y=4得：y=−2，
∴二元一次方程2x−y=4的一组解为：x=1y=−2(答案不唯一)，
故答案为：x=1y=−2(答案不唯一)．
取x=1，然后代入方程2x−y=4，求出y即可．
本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义．
15.【答案】解：根据题意，得4x+2y=18，则y=9−2x.∵x，y都是正整数，∴x，y可取的值有x=1,y=7,x=2,y=5, x=3,y=3,x=4,y=1, 即共有四种购买方案： ①购买羽毛球1个，乒乓球7个； ②购买羽毛球2个，乒乓球5个； ③购买羽毛球3个，乒乓球3个； ④购买羽毛球4个，乒乓球1个．
【解析】略
16.【答案】解：由题意，将x=2,y=−1代入2x−y+2m−1=0，得4+1+2m−1=0，解得m=−2，
将m=−2代入2x−y+2m−1=0，可得原方程为2x−y=5，则符合要求的另一个整数解可以是x=1,y=−3.

【解析】略
17.【答案】【小题1】
解：关于x，y的二元一次方程为4x+7y=76．
【小题2】
4
【小题3】
5
【小题4】
解：因为4x+7y=76，
所以y=76−4x7，
所以方程4x+7y=76的全部非负整数解为 x=5,y=8, x=12,y=4, x=19,y=0.

【解析】1. 本题主要考查了根据实际问题抽象二元一次方程，根据“甲种物品的质量+乙种物品的质量=76”列出方程即可．
2. 【分析】
本题主要考查了二元一次方程的解，把x=12代入方程可得y的值．
【解答】
解：把x=12代入方程4x+7y=76，得4×12+7y=76，
解得y=4．
3. 【分析】
本题主要考查了二元一次方程的解，把y=8代入方程求出x的值即可．
【解答】
解：把y=8代入方程4x+7y=76，得x=5，即甲种物品有5个．
故答案为5．
4. 本题主要考查了二元一次方程的解，先用含x的式子表示出y，然后写出符合题意的x，y的值即可．
18.【答案】【小题1】
解：x+y+y=180，即x+2y=180．
【小题2】
把x=90代入x+2y=180，得90+2y=180，解得y=45．
【小题3】
把y=60代入x+2y=180，得x+2×60=180，解得x=60．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
3. 见答案
19.【答案】【小题1】
4x+7y=76
【小题2】
4
【小题3】
x=76−7y4
【小题4】
列表如下：

【解析】1. 略
2. 略
3. 略
4. 见答案
20.【答案】x2−4x+2k−5=0 92
【解析】任务1：
解：根据素材中的判别式法，令2x2+5x+3=y，整理得2x2+5x+3−y=0．
关于x的一元二次方程，Δ=52−4×2×(3−y)≥0，
解得，y≥−18．
故y的最小值为−18．
任务2：
解：令x−2y=k，则4y=2x−2k．
将4y=2x−2k代入x2−2x−4y=5，得x2−4x+2k−5=0．
把x2−4x+2k−5=0看作是关于x的一元二次方程，则Δ=(−4)2−4×1×(2k−5)≥0，
解得，k≤92，
则x−2y≤92．
∴x−2y的最大值为92．
故答案为：x2−4x+2k−5=0；92．
任务3：
如图，过点B作BE⊥DC，点E为垂足．
根据题意，AB=DC=a，BC=b，BD= 39．
在Rt△BEC中，EC=BC⋅cs60°=12b，BE=BC⋅sin60°= 32b.
∴DE=CD−EC=a−12b.
在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，
即( 39)2=( 32b)2+(a−12b)2．
整理得，a2−ab+b2−39=0，
令3a+b=k，则a=k−b3，代入上式得到一个关于b的一元二次方程：13b2−5kb+k2−351=0．
Δ=(−5k)2−4×13×(k2−351)≥0，
解不等式得，−26≤k≤26，则k的最大值为26，即3a+b的最大值为26．
把k=26代入13b2−5kb+k2−351=0得，b2−10b+25=0．
解方程得，b=5．
故当3a+b最大时，b=5．
任务1：直接利用素材2中的判别式法，令2x2+5x+3=y，然后整理得到关于x的一元二次方程，再利用根的判别式Δ=b2−4ac≥0来确定y的最小值．
任务2：根据题意把4y=2x−2k代入x2−2x−4y=5，整理得到关于x的一元二次方程，再根据判别式法求出k的最大值，即可得出答案．
任务3：过点B作DC的垂线交DC于点E，由60°角的三角函数易得BE和DE的长度关于b的表达式，然后在Rt△BDE中应用勾股定理即可得到BD2=BE2+DE2，这样就得到关于a、b的等式．根据任务2中的方法，令3a+b=k，观察题目所求为b的值，故消掉变量a，于是将a=k−b3代入前面的等式，就可以得到一个关于b的一元二次方程，再由判别式法求出k的最大值，即可通过一元二次方程求出此时的b值．
本题考查了一元二次方程判别式的应用，通过等式灵活构建关于某个变量的一元二次方程，再由判别式法求极值是解答本题的关键．关于最值问题的探究
素材1
“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元(未知数)，将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程.例如：当a≠0时，方程ax2+2a−1=0可以看作关于x的一元二次方程.但若把a看成“主元”，x看作常数，则原方程可化为：(x2+2)a−1=0，这就是一个关于a的一元一次方程了．
素材2
对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令ax2+bx+c=y(a≠0)，然后移项可得：ax2+bx+(c−y)=0再利用根的判别式b2−4ac≥0来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法．
问题解决
任务1
感受新知：用判别式法求2x2+5x+3的最小值．
任务2
探索新知：若实数x、y满足x2−2x−4y=5，求x−2y的最大值.对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令x−2y=k，则4y=2x−2k，将4y=2x−2k代入原式得______.若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得x−2y的最大值为______．
任务3
应用新知：如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，BD= 39，记AB=a，BC=b，当3a+b最大时，求此时b的值．
x
5
12
19
y
8
4
0