安徽省滁州市第二中学2024-2025学年高二上学期期末测试数学试卷

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第I卷（选择题）
1.若AB=(−1,2,3)，BC=(1,−1,−5)，则|AC|=( )
A. 5B. 10C. 5D. 10
【答案】A
解：∵AB=(−1,2,3)，BC=(1,−1,−5)，
∴AC=AB+BC=(0,1,−2)，
则|AC|= 02+12+(−2)2= 5．
2.空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，则MN=( )
A. 12a−23b+12cB. 12a+12b−12c
C. −23a+23b+12cD. −23a+12b+12c
【答案】D
解：由题知，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=23OA，BN=NC，
如图，
所以ON=12OB+12OC，
所以MN=MO+ON=−23OA+12(OB+OC)=−23a+12b+12c，
3.过P(0,2)点作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y−14=0距离的最小值为( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
【答案】C
【解答】解：过点(0,2)作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，
直线x+my−4=0过定点M(4,0)，
点P(0,2)，M(4,0)的中点N(2,1)，
∵PQ垂直直线x+my−4=0，
∴点Q在以点N(2,1)为圆心，
以|PN|= (2−0)2+(1−2)2= 5为半径的圆上，
其圆的标准方程为：(x−2)2+(y−1)2=5，
圆心N(2,1)到直线x+2y−14=0点距离：
d=|2+2−14| 5=2 5．
∴Q到直线x+2y−14=0的距离最小值为：2 5− 5= 5．
故选：C．
4.已知等差数列{an}满足a1+a4+a19=6，则a3+a13=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
解：∵a1+a4+a19=3a1+21d=3a8=6，∴a8=2，a3+a13=2a8=4．
故选B．
5.一条光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0)，并经x轴反射，则反射光线所在的直线方程是( )
A. x−y−2=0B. x+y−2=0
C. x−y+2=0D. x+y+2=0
【答案】B
【解析】解：设入射光线l1，反射光线l2，
∵光线从点P(6,4)射出，与x轴相交于点Q(2,0)，
∴根据两点式，入射光线l1的方程：yx−2=46−2，整理，得x−y−2=0．
∵入射光线的斜率k1=1，∴反射光线的斜率k2=−1，
∵反射光线过点点Q(2,0)，
∴反射光线l2的方程y=−(x−2)，即x+y−2=0．
故选：B．
6.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A. 4B. 2C. 85D. 125
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的切线、两直线垂直的判断和两平行直线之间的距离，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
先求出a和直线l的方程，然后利用两平行直线间的距离公式即可求解．
【解答】
解：由已知，切线斜率存在且不为0，
因为P为圆上一点，则有kOP·kl=−1,
而kOP=4−1−2−2=−34，
∴kl=43．
∴a=4,
所以直线m：4x−3y=0,
直线l：y−4=43x+2即4x−3y+20=0．
∴l与m的距离为|20| 42+(−3)2=4．
故选：A．
7.已知F1，F2是双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，椭圆C2与双曲线C1的焦点相同，C1与C2在第一象限的交点为P，若PF1的中点在双曲线C1的渐近线上，且PF1⊥PF2，则椭圆的离心率是( )
A. 53B. 55C. 12D. 32
【答案】A 解：根据题意设 m=PF1,n=PF2 ，
设椭圆长半轴长为a1 ，短半轴长为b1 ，双曲线实半轴长为a2 ，虚半轴长为b2，设PF1的中点为M，
则由椭圆及双曲线定义可得 m+n=2a1m−n=2a2,∴m=a1+a2n=a1−a2 ，
又因为 PF1⊥PF2 ，且 O,M 分别为 F1F2，PF1的中点，所以F1M⊥OM ，
所以 F1(−c,0) 到渐近线 b2x+a2y=0 的距离为 |F1M|=d=|b2c| a22+b22=b2 ，
所以 PF1=m=2b2 ， PF2=n=2a2 ，
结合 m=a1+a2n=a1−a2 ，可得 a1=3a2⋯ ①
因为 PF1⊥PF2 ，所以 m2+n2=4c2, 即 (a1+a2)2+(a1−a2)2=4c2，
整理得a12+a22=2c2，将①代入得 109a12=2c2，
又0