适用于新教材强基版2024届高考数学一轮复习学案第三章一元函数的导数及其应用3.4函数中的构造问题新人教A版

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题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
例1 (2023·济宁模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，eq \f(xf′x－fx,x2)>0，且f(－2)＝0，则不等式eq \f(fx,x)>0的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq \f(fx,xn).
跟踪训练1 (2023·苏州模拟)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)b>cB．c>b>a
C．a>c>bD．c>a>b
命题点2 利用f(x)与ex构造
例2 (2022·枣庄质检)已知f(x)为定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，且f(x)3e3－x的解集为______________．
命题点3 利用f(x)与sin x，cs x构造
例3 已知函数y＝f(x)对于任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))满足f′(x)cs x＋f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A．f(0)>eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
B.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))
C.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
D．f(0)>2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
听课记录： ______________________________________________________________
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思维升华 函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝eq \f(fx,sin x)，
F′(x)＝eq \f(f′xsin x－fxcs x,sin2x)；
F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
F(x)＝eq \f(fx,cs x)，
F′(x)＝eq \f(f′xcs x＋fxsin x,cs2x).
跟踪训练3 已知定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cs x0，若ln m－en－1＝ln n－em，其中e是自然对数的底数，则( )
A．m>nB．mea
C．absin βB．cs α>cs β
C．cs α>sin βD．sin α>cs β
(2)(多选)(2023·福州模拟)设实数λ>0，对任意的x>1，不等式λeλx≥ln x恒成立，则λ的取值可能是( )
A．e B.eq \f(1,2e)
C.eq \f(1,e)D.eq \f(2,e)