高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案设计

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知识点1函数的单调性
1.单调性的定义
温馨提示：定义中的有以下3个特征
（1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般；
（2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间．
2．函数的单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间．
温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质．
（2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等．
（3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性．
3.复合函数的单调性
一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减”
重难点一 判断函数的单调性及求函数的单调区间
【例1】函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【例2】函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（多选）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（多选）下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．fx=1x
【变式1-3】函数的单调递增区间为
重难点二 证明函数的单调性
【例3】已知函数．
(1)在坐标系中画出函数的图象；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
【例4】函数的定义域为，且对一切都有，当时，有．
(1)求的值；
(2)判断的单调性并证明；
【变式2-1】已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.
【变式2-2】证明函数在区间上单调递减．
【变式2-3】证明：函数，是严格增函数．
重难点三 利用单调性比较大小
【例5】若函数在上是减函数，则的大小关系为 .
【例6】函数为定义在上的减函数，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为
【变式3-2】已知函数.
(1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增；
(2)若，试比较，的大小.
【变式3-3】已知函数．
(1)利用函数的单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)比较，的大小．
重难点四 利用单调性解不等式
【例7】已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 .
【例8】（多选）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ）
A．B．任意给定，
C．D．若，则
【变式4-1】已知函数，，则不等式的解集为 ．
【变式4-2】已知函数．
(1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式4-3】定义在上的函数满足:对，且，都有成立，且，则不等式的解集为 .
重难点五 利用单调性求参数
【例9】如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例10】已知函数满足对任意，当时都有成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是
【变式5-2】“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
知识点2最值
注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素．
（2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值．
（3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值．
重难点六 求函数的最值
【例11】设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【例12】已知函数，
(1)画出函数的图象；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间上的最大值与最小值.
【变式6-1】函数在区间的最大值为 .
【变式6-2】已知函数．
(1)判断点是否在的图象上，并说明理由；
(2)当时，的最大值为m，最小值为n，求的值．
【变式6-3】已知函数，点，是图象上的两点.
(1)求，的值；
(2)求函数在上的最大值和最小值.
重难点七 由函数的最值求参数
【例13】设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例14】已知函数
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值：
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值.
【变式7-1】函数在上的最小值为，最大值为1，则的最大值为 .
【变式7-2】若函数在区间上的最小值为5，则的值为 .
【变式7-3】已知函数．
(1)用函数单调性的定义证明：在上是单调递增；
(2)若函数在区间上的值域，求的值．
重难点八 不等式的恒成立问题
【例15】对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【例16】设函数
(1)求出fx的所有单调区间;
(2)对于任意的 使得 恒成立，求实数m的取值范围.
【变式8-1】已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围.
【变式8-2】已知二次函数fx=ax2+bx+c，满足，且对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式8-3】函数，，若，，使得，求实数a的取值范围.
一、单选题
1．已知函数，定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是8B．函数的最小值是8
C．函数的最大值是D．函数的最小值是
2．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的减区间
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．函数的增区间是
3．设函数；若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
二、多选题
7．下列函数的最小值为2的有（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数的定义域为，值域为，则a的值可能为（ ）
A．1B．2C．4D．5
9．定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个定义域为的函数，其中能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
10．若函数的单调递增区间是,，则a的值为 ．若在,为增函数，则a的范围为 ．
11．函数在区间上的最小值为，最大值为，则
12．已知函数，则的单调递增区间为 .
四、解答题
13．已知函数.
(1)证明:函数在区间上单调递减;
(2)当时，求函数的值域.
14．已知函数对任意实数x，y满足，，当时，．
(1)求，，的值；
(2)已知在上单调递增，则是否存在实数a，使得不等式成立?若存在求出实数a；若不存在，请说明理由．
15．已知函数.
(1)求的解析式；
(2)若，求的取值范围.
一、判断函数的单调性及求函数的单调区间
五、利用单调性求参数
二、证明函数的单调性
六、求函数的最值
三、利用单调性比较大小
七、由函数的最值求参数
四、利用单调性解不等式
八、不等式的恒成立问题
增函数
减函数
定义
一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[
当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数
当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数
图象描述
自左向右看,图象是上升的
自左向右看,图象是下降的
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
定义
几何意义
最大值
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：
①,都有；
②,使得.
那么,称是函数的最大值．
函数的最大值是图象最高点的纵坐标
最小值
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：
①,都有；
②,使得.
那么,称是函数的最小值．
函数的最小值是图象最低点的纵坐标