高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1.2 无理数指数幂及其运算性质导学案及答案

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知识点1根式
1.根式的概念
一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,且.
（1）当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用符号表示.
（2）当是偶数时,正数的次方根有两个,记为,负数没有偶次方根.
（3）0的任何次方根都是0,记作.
式子叫做根式,其中,且叫做根指数,叫做被开方数.
2.根式的性质
根据次方根的意义,可以得到:
（1）.（2）当是奇数时,;当是偶数时,
温馨提示:中当为奇数时,为偶数时,,而中.
重难点一 根式与分数指数幂的互化
【例1】设，则的分数指数幂形式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】．
故选：D
【例2】计算
【答案】9
【详解】.
故答案为：9.
【变式1-1】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：BD．
【变式1-2】根式写成指数幂形式为 ．
【答案】
【详解】，
故答案为：.
【变式1-3】用有理数指数幂的形式表示 .（其中）
【答案】
【详解】由题意可得：.
故答案为：.
知识点2指数幂
1．分数指数幂的意义
温馨提示：（1）分数指数幂不可以理解为个相乘．
（2）对于正分数指数幂，规定其底数是正数．
2．有理数指数幂的运算性质
（1）;（2）;
（3）.
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂 (是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
温馨提示：（1）对于无理指数幂，只需了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数幂无限逼近的结果．
（2）是正无理数)．
（3）定义了无理数指数幂后，幂的指数由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
重难点二 指数幂的化简
【例3】
【答案】/0.5
【详解】.
故答案为：.
【例4】计算下列各式的值
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)3
(4)
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
【变式2-1】下列式子中成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由可知，
对于A，，，故A错误；
对于B，时，，而无意义，故B错误；
对于C，，，且，故C正确；
对于D，时，，而无意义，故D错误；
故选：C.
【变式2-2】（多选）设，则下列运算中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【详解】，A错；
，B正确；
，C正确；
，D错．
故选：BC．
【变式2-3】化简、计算
(1)计算：.
(2)化简：；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）原式.
（2）原式.
重难点三 指数幂的方程问题
【例5】方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得，
所以，，
解得.
故选：B
【例6】已知和是方程的两根，则 .
【答案】
【详解】解：方程可化为，由韦达定理得，，
所以，得.
又，
所以.
故答案为：
【变式3-1】关于的方程的解为 ．
【答案】
【详解】由可得，即，
因为，可得，故.
所以，方程关于的方程的解为.
故答案为：.
【变式3-2】方程的解为 .
【答案】
【详解】由得,所以.
故答案为：.
【变式3-3】求方程的解．
【答案】或
【详解】由已知
所以
所以
解得或
重难点四 指数幂的证明问题
【例7】已知且，，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵且，，
∴，∴，
∴．∴．
【例8】设，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】，
因为，所以，令
因为函数是实数集上的增函数，所以当时，有，
即，因此.
【变式4-1】已知，．求证：为定值．
【答案】证明见解析
【详解】解：由题意证明如下
，
∴，
∴
∴
∴为定值.
【变式4-2】已知，求证：为定值.
【答案】证明见解析.
【解析】由指数运算法则可得证.
【详解】证明：，
，
，
原式=2，所以为定值，结论得证.
【变式4-3】已知：，且，求证：．
【答案】见解析
【详解】试题分析：等式左边=，根据题意，可得，代入上式，整理可得右边
试题解析：由知：
则左边=
右边
重难点五 条件求值问题
【例9】已知实数满足，则 ．
【答案】7
【详解】，可得，
所以
所以.
故答案为：7.
【例10】已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7
(2)
【详解】（1）由题意，所以.
（2）由题意，
所以.
【变式5-1】已知，求下列各式的值.
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)6
(3)
【详解】（1）由，可知，
因为，故.
（2）.
（3）由（1）知，所以，
又因为，所以，
所以.
【变式5-2】（1）计算：；
（2）已知且，求下列各式的值：
①；
②．
【答案】（1）；（2）①7；②
【详解】（1）原式；
（2）①因为，所以，即，所以；
②因为，又因为，所以
【变式5-3】（1）求值：
（2）已知正实数满足，求的值.
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）原式；
（2）因为是正实数，由可得，
所以，
则，所以，
可得
所以.
1．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为，
所以，
故选：A
2．已知，则（ ）
A．－1B．1C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
故选：B
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【详解】由题意，得，
则，
注意到
则.
故选：C
4．（多选）下列各式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】 A项错误；

B项正确；
C项正确；
D项正确．
故选：BCD
5．（多选）下列运算正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：BD
6．当时，化简 .
【答案】4
【详解】因为,所以,
所以,
故答案为：4.
7．当时，式子的值是 .
【答案】0
【详解】因为，所以.
故答案为：0.
8．方程， ．
【答案】或．
【详解】因为，
所以或8，解得或．
故答案为：或．
9．化简：.
【答案】
【详解】.
10．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）
11．计算：
(1)；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）．
（2）由，则有，，
所以原式
12．化简求值：
(1)
(2)
(3)已知，求的值;
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）因为，所以.
13．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）.
（2）.
（3）由，得，，
所以.
14．（1）已知、为实数，，求的值；
（2）已知一元二次方程的两根为与，求的值；
（3）设为实数，解关于的不等式：．
【答案】（1）6 （2）（3）见解析
【详解】（1）由可得，故，
（2）一元二次方程的两根为与，故，
因此，
（3）由可得，
若，则，解得，此时不等式的解为，
若，则，解得，此时不等式的解为，
若，若，此时不等式的解为,若，则不等式的解为.
15．已知，且.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】令，得，，，利用等式计算可得，进而再令，，，最后代入证明即可.
【详解】令，则，，，
.
，.
，，，
.
.
一、根式与分数指数幂的互化
四、指数幂的证明问题
二、指数幂的化简
五、条件求值问题
三、指数幂的方程问题
分数指数幂
正分数指数幂
规定
负分数指数幂
规定
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义