（人教版）数学八年级下册期末培优训练（四）与勾股定理有关的压轴题（2份，原卷版+解析版）

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1．如图1，在平面直角坐标系中，，且a，b满足．
(1)A、B坐标分别为A______，B______．
(2)P为x轴上一点，C为中点，，求的长．
(3)如图2，点E为第一象限一点，，以为斜边构造等腰直角，连，连接并延长交于点G，求证：．
2．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点，分别在x轴和y轴正半轴上，点C在第一象限，点为x轴上点A右侧一动点，且．
(1)若．
①求m，n的值；
②求点C的坐标．
(2)若的面积为35，且，直接写出与面积和的范围．
3．已知在中，，，点P在外，连接、，且．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，作的平分线交于点D，求的度数；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接交于点E，在上取一点G，连接，若，，，求证：．
4．已知点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝OB，点C为AB的中点，．
(1)如图1，求点C的坐标；
(2)如图2，E、F分别为OA上的动点，且∠ECF＝45°，求证：EF2＝OE2+AF2；
(3)如图3，点D在y轴正半轴上运动，以AD为腰向下作等腰Rt△ADM，∠DAM＝90°，T为线段OA的中点，连DT并延长至点N，使DT＝TN，连MN，求MN的最小值．
5．定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作，即
（1）若A（2，1）和B（，3），则______；
（2）若点M（1，2），，其中a为任意实数，求的最小值
（3）若m为常数，且，点A的坐标为（0，5m），B点的坐标为（8m，），C点的坐标为（x，0），求的最小值以及的最大值．（用含m的代数式表示）
6．如图，在平行四边形中，F为平行四边形内部一点，连接，，．
(1)如图1，交于点E，已知，，，，求的长；
(2)如图2，交于点E，且，G为上一点，作且，并以为斜边作等腰，连接，，求证：．
7．在中，，D是边AC上一点，F是边AB上一点，连接BD、CF交于点E，连接AE，且．
(1)如图1，若，，，求点B到AE的距离；
(2)如图2，若E为BD中点，连接FD，FD平分，G为CF上一点，且，求证：；
(3)如图3，若，，将沿着AB翻折得，点H为的中点，连接HA、HC，当周长最小时，请直接写出的值．
8．如图1，在四边形中，，以为边作等边，与交于，与交于，连接且，.
(1)若，，求的长度；
(2)如图2，若，是的中点，过作的垂直平分线，交与，交于，连接．求证：；
(3)如图3，当、、共线，，是的中点，过作的垂直平分线，交于，连接交于，请直接写出的值．
9．（1）如图1，在中．点D，E，F分别在边上，，．求证；
（2）如图2．在中．，．点D，F分别是边上的动点．且．以DF为腰向右作等腰．使得，．连接．
①试猜想线段之间的数量关系，并说明理由．
②如图3．已知，点G是的中点，连接．求的最小值．
10．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且AB＝4，OB＝3．
(1)试判断△AOB的形状，并说明理由．
(2)点P是线段OA上一点，且PB－PA＝1，求点P的坐标；
(3)如图2，点C、点D分别为线段OB、BA上的动点，且OC＝BD，求AC＋OD的最小值．
11．如图，等边中，点D在边上，经过点D的直线l与边相交于点E（点D和点E都不在的顶点上），点P在直线l上．
(1)若与关于直线对称，直线于点Q，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
(2)若与关于某直线对称，
①若，求点P到边的距离；
②若，求此时线段的长度．
12．（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE， C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值?如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
13．如图1，在中，，，．
(1)求证：；
(2)如图2，交于点P，若，求证：A，O，D三点共线；
(3)如图3，在（2）的条件下，若于H，过点O作于E，，，求，的长度．
14．如图，在中，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求的周长；
(2)问t为何值时，为以C为顶点的等腰三角形；
(3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为秒，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把的周长分成相等的两部分．
15．在△ABC中，AB＝BC，∠B＝45°，AD为BC边上的高．
(1)如图1，若AD＝1，求线段CD的长度；
(2)如图2，点E，点F在AB边上，连接CE，CF分别交线段AD于点M，N,若点M为线段CE的中点，求证：；
(3)在（2）问条件下，若AC＝，点P为△ACF内一点且满足∠ACP＝∠CAD，当PQ+PA取最小值时直接写出S△CPQ的值．
16．在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
(1)如图1，延长到点，使得，连接，．若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2．若，试探究，，这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
17．在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得且(点，，逆时针排列)，则称点是线段的“关联点”如图1．点是线段的“关联点”．
(1)如图2，已知点，，点与点重合．
①当点是线段中点时，在，中，其中是线段的“关联点”的是___________；
②已知点是线段的“关联点”，则点的坐标是_______________．
(2)如图3，已知，．
①当点与点重合，点在线段上运动时(点不与点重合)，若点是线段的“关联点”，求证：；
②当点，分别在线段，上运动时，直接写出线段的“关联点”形成的区域的周长．
18．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，点D是直线BC上一点，以DE为一边作等边△DEF，连接CF．
(1)如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系 ；
(2)如图2，若点D在边CB的延长线上，上述结论是否还成立？并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若EF经过BC中点G，∠EFC＝15°，DB﹣CE＝6，求△ABC的高．