初中数学人教版（2024）八年级下册16.2 二次根式的乘除一课一练

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知识点一
二次根式的乘法
●●二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.
用字母表示为：•（a≥0，b≥0）.
◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.
◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即根号外因数（式）之积作为根号外因数（式），被开方数之积作为被开方数，即 m n = mn（a≥0，b≥0）.
◆3、二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式.
知识点二
积的算术平方根
●●积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）即：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积（我们把这个性质也叫做积的算术平方根的性质）.
◆1、该性质的实质是逆用二次根式的乘法法则，其成立的前提条件是：积中的每个因数（式）都必须是非负数，即公式中的a和b必须满足a≥0，b≥0，应用此性质可以化简二次根式.
◆2、在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.
知识点三
二次根式的除法
●●二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
用字母表示为：（a≥0，b＞0）．
◆1、法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．
◆2、当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式除以单项式的法则进行计算，将根号外因数（式）之商作为根号外因数（式），被开方数之商作为被开方数，即 （a≥0，b＞0）.
◆3、若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．
知识点四
商的算术平方根
商的算术平方根性质：（a≥0，b＞0）即：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.
◆1、该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.
◆2、该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可.
知识点五
最简二次根式
◆1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
◆2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
题型一 利用二次根式的乘法法则进行计算
【例题1】（2022秋•郸城县月考）下列计算正确的是（ ）
A．428 B．5420
C．427 D．5420
【变式1-1】（2022秋•绥化期末）计算: 的结果为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022秋•社旗县期中）计算的结果是（ ）
A．16B．±16C．4D．±4
【变式1-3】（2022秋•普陀区期中）下列等式中，一定成立的是（ ）
A．（）2＝aB．a
C．a+bD．•
【变式1-4】计算:
（1）； （2）；
（3）； （4）.
题型二 直接运用积的算术平方根的性质化简
【例题2】化简下列各题：
（2） （3）3；
（4）； （5）（y≥0）； （6）（a≥0，b≥0）；
【变式2-1】（2022•河北）下列正确的是（ ）
A．2+3 B．2×3 C．32 D．0.7
【变式2-2】给出下面四种解答过程，其中运算正确的是（ ）
A．（﹣5）×（﹣4）＝20
B．±±（5）×（4）＝±20
C．5×4＝20
D．35﹣21＝14
【变式2-3】（2021春•饶平县校级期中）若a＜0，b＞0，则化简的结果为（ ）
A．abB．﹣abC．abD．ab2
【变式2-4】设a，b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
A．0.3abB．3abC．0.1ab2D．0.1a2b
【变式2-5】（2022春•临邑县期末）阅读与思考：
请阅读下面材料，并完成相应的任务．
在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证：
小聪：10，2×5＝10．所以．
小明：（）2＝4×25＝100．（）2＝（2×5）2＝100．
这就说明和都是4×25的算术平方根，而4×25的算术平方根只有一个，所以．
任务：
（1）猜想：当a≥0，b≥0时，和之间存在怎样的关系？并仿照小聪或小明的方法举出一个例子进行说明：
（2）运用以上结论．计算：①；②；
（3）解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积．
题型三 二次根式的乘法运算及化简
【例题3】计算．
（1）32； （2）4； （3）2．
【变式3-1】计算或化简：
（1）； （2） ；
（3）5； （4）；
（5）3•； （6）．
【变式3-2】计算下列各题：
（1）． （2）•2•（）；
（3）﹣5； （4）；
（5）（）×（）； （6）（m＞0，n＞0）．
题型四 利用二次根式的除法法则进行计算
【例题4】（2022秋•洛宁县月考）计算的结果是（ ）
A．B．3C．D．
【变式4-1】（2022春•莱西市期中）下列运算中正确的是（ ）
A．2•36 B．6 C．3 D．
【变式4-2】（2022春•东莞市期中）计算的结果为（ ）
A．B．C．2D．4a
【变式4-3】计算：
（1） （2）；
（3）． （4），
题型五 直接运用商的算术平方根的性质化简
【例题5】化简：
（1）； （2）； （3）； （4）（x＞0，y≥0）；
【变式5-1】（2022春•怀仁市期中）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①•1；②；③b，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【变式5-2】化简：
（1）； （2）
（3）（x≥0，y＞0）． （4）（x＞0，y＞0）
【变式5-3】（2022秋•虹口区校级期中）已知a＜0，那么可化简为（ ）
A．2bB．C．D．
【变式5-4】（2022秋•静安区校级期中）已知xy＜0，化简二次根式的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-5】（2022春•武隆区校级期中）把二次根式a化简为（ ）
A．B．C．D．
题型六 二次根式的乘除混合运算
【例题6】（2021秋•嘉定区期中）计算：．
【变式6-1】（2022秋•即墨区校级月考）计算正确的是（ ）
A．4B．2C．D．±2
【变式6-2】（2022•惠阳区校级开学）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式6-3】（2022秋•闵行区校级期中）计算：2x3•
【变式6-4】（2022秋•奉贤区期中）计算．
【变式6-5】（2022秋•虹口区校级月考）化简：•．
题型七 去掉分母中的二次根号
【例题7】把下列各式中的分母化去：
（1）； （2）； （3）； （4）；
【变式7-1】化去下列各式中分母中的根号：
（1）； （2）；
（3）（x＞0）； （4）（a＞0，b＞0）；
（5）； （6）（x＞0，y＞0）．
【变式7-2】（2022春•平桥区校级期末）下列各式中，与的积为有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2022秋•长宁区校级期中）在下列各式中，二次根式的有理化因式（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式7-5】化去式子 中的根号是 ．
题型八 最简二次根式的识别
【例题8】（2021秋•射洪市校级月考）下列根式中，属最简二次根式的是（ ）
B．C．D．
【变式8-1】（2021秋•金山区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2022•南岗区校级开学）将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2022秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 ．
【变式8-4】（2022•郑州二模）若是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值： ．
【变式8-5】（2022秋•罗湖区校级期中）下列实数（1）；（2）2；（3）（4）；（5）中，最简二次根式的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
题型九 化二次根式为最简二次根式
【例题9】（2022春•灵宝市期中）把下列二次根式化简最简二次根式：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【变式9-1】（2022春•陇县期末）将二次根式化为最简二次根式 ．
【变式9-2】（2022春•浉河区期末）把化成最简二次根式为 ．
【变式9-3】（2021春•永嘉县校级期中）化简成最简二次根式： ； ．
【变式9-4】（2021春•靖宇县期末）二次根式（x、y均为正数）化成最简二次根式，结果为 ．
【变式9-5】在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
（1） （2） （3） （4） （5）．
题型十 利用二次根式的乘除法进行化简求值
【例题10】已知为奇数，且求的值.
【变式10-1】（2021秋•长春期末）先化简，再求值：6x2+2xy﹣8y2﹣2（3xy﹣4y2+3x2），
其中x，y．
【变式10-2】（2021春•红安县期中）先化简，再求值：，其中实数x、y满足．
【变式10-3】（2022秋•青浦区校级期中）先化简再求值：，其中x，y．
解题技巧提炼
1、运用二次根式的乘法法则进行计算时，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方;
2、当二次根式外有因数（式）时，就把根号外因数（式）相乘的积作为积中根号前的系数，把所有被开方数相乘的积作为被开方数.
解题技巧提炼
利用积的算术平方根的性质进行化简时要注意三点：
一是公式中的限制条件，若积中的因数（式）不是非负数应先将其化为非负数，再运用公式化简；
二是被开方法数一定是乘积的形式；
三是二次根式中的隐含条件的挖掘.
解题技巧提炼
二次根式的乘法运算的实质是对法则•（a≥0，b≥0）的正用与逆用的一个综合的过程，不仅仅是简单的把两个被开方数相乘，更重要的是对所得积进行化简.
解题技巧提炼
二次根式的除法运算的过程中能约分的要先约分，最后的结果要运用积的算术平方根的性质进行化简.
解题技巧提炼
直接利用商的算术平方根的性质化简时，若分母中含有开不尽方的因数（式），可根据分式的基本性质，先将分式中的分子、分母同时乘一个不为0 的数（式），使分母变为一个完全平方数（式），然后利用商的算术平方根的性质进行化简.
解题技巧提炼
二次根式的乘除法混合运算与整式的乘除法混合运算的方法相同，整式乘除法的法则和公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要注意运算符号和运算的顺序，若被开方数是带分数要将带分数化为假分数.
解题技巧提炼
去掉分母中的根号一般分为三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数（式）移到根号外；
“二乘”，即将分子、分母同时乘分母的有理化因数（式）；
“三化”，即化简计算.
解题技巧提炼
判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足下面的两个条件：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件缺一不可.
解题技巧提炼
化简二次根式的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数
解题技巧提炼
利用二次根式的乘除法进行化简求值的步骤：
1、先根据二次根式的乘除法运算法则把原式化简；
2、将所给的字母的值代入到化简后的式子中进行计算.