（人教版）数学八年级下册《第十六章 二次根式》知识串讲+热考题型 （2份，原卷版+解析版）

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八年级下册数学《第十六章 二次根式》本章知识综合运用二次根式有关概念●●1、二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“ ”称为二次根号，a为被开方数.●●2、代数式的定义：用基本运算符号（基本运算符号包括：加、减、乘、除、乘方和开方）把表示数或字母连接起来的式子，称为代数式.●●3、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．●●4、可合并的二次根式概念：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，则这几个二次根式就是可以合并的二次根式．二次根式的有关性质●●1、 的性质： 0； a≥0（双重非负性）．●●2、（）2（a≥0） 的性质：（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．●●3、 的性质： |a|（算术平方根的意义）．二次根式的相关运算●●1、二次根式的乘除法二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.用字母表示为：（1）二次根式的乘法法则：•（a≥0，b≥0）（2）积的算术平方根性质：•（a≥0，b≥0）（3）二次根式的除法法则：（a≥0，b＞0）（4）商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）●●2、二次根式的加减法二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并. 合并方法为系数相加减，根指数和被开方数不变．●●3、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算．（2）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．题型一 根据二次根式是整数求字母的取值【例题1】（2021春•德宏州期末）已知是整数，则自然数n所有可能的值有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（2022春•温州期中）若是整数，则满足条件的自然数n的值可以是 　 　（写出一个即可）．【变式1-2】已知是整数，求正整数n的最小值．【变式1-3】已知是整数，求自然数n所有可能的值；题型二 二次根式与绝对值的综合运用【例题2】已知实数x满足|2017﹣x|x，求x﹣20172的值．【变式2-1】（2022春•灌云县期末）|a|是二次根式的一条重要性质，请利用该性质解答以下问题：（1）化简：　 　， 　；（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c﹣a|．【变式2-2】已知10，化简2|x﹣6|【变式2-3】（2022秋•南江县校级期中）若﹣1≤x≤2，化简：|x﹣2|．【变式2-4】（2021春•姜堰区期末）小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下：题目：若代数式的值是1，求m的取值范围．解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|，当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）；当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件；当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）；所以，m的取值范围是1≤m≤2．请你根据小明的做法，解答下列问题：（1）当3≤m≤5时，化简：　 　；（2）若代数式的值是4，求m的取值范围．题型三 二次根式与三角形的综合运用【例题3】设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：|a﹣b﹣c|．【变式3-1】已知a、b、c是△ABC的三边，化简：．【变式3-2】已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简（）2．题型四 二次根式乘除法法则成立的条件【例题4】等式•成立的条件是　 　．【变式4-1】（2022秋•闵行区校级期中）如果•成立，那么x的取值范围是 　 　．【变式4-2】（2022•绵阳模拟）等式成立的x的取值范围在数轴上表示为（　　）A． B． C． D．【变式4-3】（2022秋•万柏林区校级月考）等式成立的x取值范围是（　　）A．x≤1 B．x＞3 C．1≤x＜3 D．x＜3题型五 把二次根式根号外的因数（式）移到根号内【例题5】把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内．（1）2； （2）﹣4； （3）（2﹣x）．【变式5-1】（2022春•凉州区期末）若把x中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（　　）A． B． C． D．【变式5-2】（2022春•绥滨县期末）把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得（　　）A． B． C． D．【变式5-3】把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内．（1）﹣xy； （2）7； （3）﹣5； （4）3b；题型六 二次根式的运算在实际生活中的应用【例题6】（2022春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为m、宽为m．（1）求该矩形土地的周长；（2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．（提示：结果保留整数，2.4）【变式6-1】（2022春•陵城区期中）如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．（1）求长方体盒子的容积；（2）求这个长方体盒子的侧面积．【变式6-2】（2022春•汉滨区期中）三角形的周长为（52）cm，面积为（204）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．【变式6-3】（2022春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．（1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？【变式6-4】如果一个三角形的三边的长分别为a，b，c，那么可以根据海伦﹣秦九韶公式S[其中p（a+b+c）]或其他方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为，3，2的三角形的面积．题型七 二次根式的大小比较【例题7】比较二次根式的大小：（1） ；（2） ． 【变式7-1】（2022春•关岭县期末）王老师在小结时总结了这样一句话“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和2的大小．解：200＝8，（2）2＝4×3＝12．∵8＜12，∴2．参考上面例题的解法，解答下列问题：（1）比较﹣5与﹣6的大小；（2）比较1与的大小．【变式7-2】用平方法比较与的大小．【变式7-3】（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为4，所以2 　　2，所以　　（填“＞”或“＜”）；小英的方法是：，因为19＞42＝16，所以4 　　0，所以　　0，所以　　（填“＞”或“＜”）．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．【变式7-4】课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11﹣10＝15﹣14＝1，于是比较这两个数的倒数： 因为，所以，则有．请你设计一种方法比较与的大小．【变式7-5】阅读下面问题：1；；2．（1）根据以上规律推测，化简：①；②（n为正整数）．（2）根据你的推测，比较和的大小．题型八 巧用二次根式的小数部分与整数部分求代数式的值【例题8】（2021秋•思明区校级期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则（2x）y的值是（　　）A． B．3 C． D．﹣3【变式8-1】设a，且b是a的小数部分，求的值．【变式8-2】已知m、n分别是的整数部分和小数部分，求m、n的值，并求代数式的值．【变式8-3】（2022秋•罗湖区校级期中）根据推理提示，回答下列问题：∵，即12，∴的整数部分为1，小数部分为1．（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 　．（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求2m+n﹣2　 　．（3）已知：10a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，则a＝　 ，b＝　 　．题型九 二次根式的化简求值及混合运算【例题9】先化简，再求值：（）2•，其中a，b．【变式9-1】已知x，y，求的值；【变式9-1】先化简，再求值：（）﹣（），其中x，y＝27．【变式9-2】若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，求的值．【变式9-3】（2022秋•普陀区期中）已知a，求的值．【变式9-4】已知：x＝2，y＝2，求下列各式的值：（1）x2﹣y2； （2）x2﹣xy+y2； （3）2x3+6x2y+2xy2．【变式9-5】（2021春•莒南县期中）在解决问题：“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”．∵a1，∴a﹣1∴（a﹣1）2＝2，∴a2﹣2a＝1，∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a﹣1＝2．请你根据小明的解答过程，解决下列问题：（1）化简：；（2）若a，求2a2﹣12a﹣1的值．题型十 利用有理数的意义求字母式子的值【例题10】（2022•江北区开学）若a+6，当a，m，n均为正整数时，则的值为 　 ．【变式10-1】先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足ab＝3﹣2，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2yy＝8+4，求x+y的值．【变式10-2】（2022秋•辉县市期中）【阅读学习】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b（m+n）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把a+b的式子化为平方式的方法．【解决问题】（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝　 　，b＝　 　；（2）利用（1）的结论，找一组正整数a，b，m，n（m≠n），使得a+b（m+n）2成立，且a+b+m+n的值最小．请直接写出a，b，m，n的值；（3）若a+6（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．题型十一 有关二次根式的规律探究【例题11】（2022春•承德期末）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【变式11-1】（2021秋•大田县期中）观察下列各式及其验证过程①，验证：；②，验证：．（1）类比上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证．（2）针对上述各式反映的规律，写出用m（m为自然数，且m≥2）表示的等式并证明．（3）模仿上述验算过程的方法，对进行验证；并针对等式反映的规律，直接写出用n（n为自然数，且n≥2）表示的等式．【变式11-2】（2022秋•吉安县期中）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；；验证：．（1）按照上述三个等式及其验证过程，猜想的结果；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n是大于等于2的自然数）表示的等式．【变式11-3】（2021秋•鄞州区期中）先阅读材料，再解决问题．；；；；…根据上面的规律，解决问题：（1）　 　＝　 　；（2）求（用含n的代数式表示）．【变式11-4】（2022春•朔州月考）综合与探究：观察下列等式，根据你发现的规律解决问题： ③……（1）化简：　 ．（2）化简：　 　（n为正整数）．（3）利用上面所揭示的规律计算：．题型十二 二次根式运算在复合二次根式中的应用【例题12】（2022秋•城阳区期中）先阅读下面的解题过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即（）2+（）2＝m，•，那么便有：±（a＞b）．例如：化简：．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12．因为4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，，所以2．根据上述方法完成下列题目：（1）　 （直接写化简后结果）；（2）化简：．（写出解答过程）【变式9-1】（2021秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．例题：化简．解：先观察，由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2，且15＝5×3，即2，则有．试用上述例题的方法化简：（　　）A． B．2 C．1 D．2【变式9-2】（2022秋•郸城县期中）请阅读下列材料：形如的式子的化简，我们只要找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，即，那么便有（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，所以．请根据材料解答下列问题：（1）填空：　 　．（2）化简：（请写出计算过程）．【变式9-3】（2022春•金华月考）有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如：∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2∴请你仿照上例将下列各式化简：（1）；（2）．解题技巧提炼先通过二次根式的定义求出自然数n的范围，再由二次根式的性质确定20﹣n是一个完全平方数，最后通过分类讨论思想求出自然数的所有可能取的值.解题技巧提炼灵活利用二次根式的性质和绝对值的性质进行化简计算是解题的关键.1、的性质：具有双重非负性，即，即一个非负数的算术平方根是非负数；2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；3、，即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.解题技巧提炼运用|a|进行化简时，一定要结合具体问题，本题结合相关的几何图形的特征，三角形的两边之和大于第三边确定被开方数底数的符号，然后进行化简.解题技巧提炼式子•成立的条件是a≥0且b≥0；式子成立的条件是a≥0且b>0.解题技巧提炼把二次根式根号外的因数（式）移到根号内时，应先判断根号外的因数（式）的正负，若为非负数，直接平方后移到根号内；若为负数，平方后移到根号内并在根号外加负号.解题技巧提炼先认真分析题意，将实际问题转化成二次根式的加减乘除运算问题，然后按照二次根式的运算的法则进行计算即可，注意计算的准确性和结果的要求.解题技巧提炼利用二次根式的性质比较两个二次根式的大小：方法一移动因式法：可以把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可；方法二平方法：可以把这两个二次根式分别进行平方，比较平方的大小，再比较原数的大小，注意是负数的，平方大的那个负数反而小．方法三：估算二次根式的大小来比较大小.解题技巧提炼确定二次根式的整数部分和小数部分的方法：先用”放缩法”确定二次根式的整数部分，再用二次根式与整数部分的差确定小数部分，即n≤＜n＋1，则可以确定的整数部分为n，小数部分为﹣n.解题技巧提炼解决这类问题时，一般先将所给的式子进行化简，然后将含二次根式的字母的值代入，根据二次根式的运算顺序进行计算.解题技巧提炼通过完全平方公式去掉括号,然后比较等式左右两边的系数得出要求的字母的值，这里用到了不为零的有理数与无理数相加的和是有理数和无理数.解题技巧提炼用综合法解决探索规律问题，先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律，用一个统一的式子表示出变化规律是解决此类问题的关键，然后再用所得到的规律解决问题.解题技巧提炼把复合二次根式化简需要灵活运用二次根式的性质和运算法则，可以用平方法，可以先将复合二次根式平方并化简，再讲结果开方，求得原式的值.还可以用配方法来化简.