初中数学人教版（2024）八年级下册19.2.1 正比例函数课后复习题

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知识点一
正比例函数的概念
◆正比例函数的概念： 一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
◆正比例函数反应的是两个变量之间的关系，是正比例关系.
【注意】判断一个函数是正比例函数：（1）所给等式是形如y＝kx的等式，自变量的指数只能是1.
（2）比例系数k是常数，且k≠0，必须同时满足这两个条件的才是正比例函数.
知识点二
正比例函数的图象及性质
◆1、正比例函数的图象：
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过原点（0,0）和点(1，k)的一条直线.
◆2、正比例函数的性质：
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线y＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
◆3、若某函数图象是直线且经过原点（坐标轴除外），那么它对应的函数是正比例函数.
◆4、正比例函数的图象的位置、函数的增减性是由比例系数k的符号决定的；反过来也是成立的.
知识点三
正比例函数解析式的确定
◆1、确定正比例函数的解析式就是确定正比例函数解析式y＝kx（k≠0）中的常数k ．
◆2、求正比例函数解析式一般步骤是：
（1）设：设出正比例函数解析式y＝kx；
（2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的解析式，得到关于待定系数k的方程；
（3）解：解方程求出待定系数k的值；
（4）还原：写出函数解析式．
题型一 正比例函数的概念
【例题1】（2022秋•金塔县期中）下列函数中y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣3B．yC．y＝3﹣xD．y
【变式1-1】（2022春•汶上县期末）下列式子中，表示y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝xB．y＝x+1C．y＝x2D．y
【变式1-2】（2022春•长安区校级期中）已知函数：①y＝2x﹣1；②y；③y；④y＝2x2，其中属于正比例函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022秋•无为市月考）若y关于x的函数y＝（a﹣4）x+b是正比例函数，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a≠4且b≠0B．a≠﹣4且b＝0C．a＝4 且b＝0D．a≠4且b＝0
【变式1-4】（2021秋•静安区校级期末）下列问题中，两个变量成正比例的是（ ）
A．圆的面积和它的半径
B．长方形的面积一定时，它的长和宽
C．正方形的周长与边长
D．三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高
【变式1-5】（2022秋•蜀山区校级月考）已知y＝（m﹣2）x|m﹣1|是关于x的正比例函数，则m的值为（ ）
A．2B．1C．0或2D．0
【变式1-6】（2022春•丰南区期末）若函数y＝（k+1）x+k2﹣1是正比例函数，则k的值为（ ）
A．0B．±1C．1D．﹣1
【变式1-7】（2022春•金川区校级期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+n﹣4是正比例函数，则m+n＝ ．
【变式1-8】（2022春•信都区期末）若一次函数y＝b﹣2x是正比例函数，则b＝ ，此时的比例系数是 ．
【变式1-9】（2022秋•高陵区期末）若y＝（m+1）x|m+2|﹣2n+8是正比例函数，求m，n的值．
【变式1-10】（2021秋•临渭区期末）已知：函数y＝（b+2）且y是x的是正比例函数，5a+4的立方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+c的平方根．
题型二 正比例函数图象与系数的关系
【例题2】（2022•南京模拟）正比例函数y＝﹣3x的图象经过坐标系的（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（ ）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．yxD．y＝﹣8x
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-5】在直角坐标系中，y随x的增大而减小的正比例函数y＝kx的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-6】（2022秋•丰顺县校级期末）在y＝k1x中，y随x的增大而减小，k1k2＜0，则在同一平面直角坐标系中，y＝k1x和y＝k2x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-7】已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．b＞c＞a
【变式2-9】已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，求m的值．
题型三 画正比例函数的图象
【例题3】画出正比例函数y＝2x的图象．
【变式3-1】请在网格中画出y＝﹣2x，yx的图象．
【变式3-2】在同一平面直角坐标系上画出函数y＝2x，yx，y＝﹣0.6x的图象．
【变式3-3】在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．
（1）yx； （2）y＝﹣3x．
【变式3-4】用你认为最简单的方法画出下列函数的图象．
（1）y＝5x；（2）yx．
【变式3-5】（1）画出函数y＝﹣x的图象；
（2）判断点A（，），B（0，0），C（，）是否在函数y＝﹣x的图象上．
题型四 利用正比例函数的性质比较函数值的大小
【例题4】（2022春•仓山区校级期中）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（ ）
A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0
【变式4-1】已知，函数y＝3x的图象经过点A（1，y1），点B（﹣2，y2），则（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．y1、y2无法比较大小
【变式4-2】已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y＝﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2
C．y1＝y2D．以上都有可能
【变式4-3】已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y＝x的图象上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＝y2
B．y1＞y2
C．y1＜y2
D．y1，y2的大小关系不确定
【变式4-4】（2022秋•玄武区期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝﹣5x图象上的两个点，若x1﹣x2＜0，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【变式4-5】（2022秋•丹东期末）已知点A（﹣1，m），点B（2，n）在直线y＝8x上，则m n（填“＞”“＜”或“＝”）．
【变式4-6】（2022•宾阳县二模）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y＝﹣3x上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y3＞y1＞y2D．y3＜y1＜y2
【变式4-7】（2022•榆阳区一模）若y＝（m﹣1）x+m2﹣1是y关于x的正比例函数，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a＜bB．a＞bC．a≤bD．a≥b
【变式4-8】（2021春•沙河口区期末）已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，如果A（1，a）和B（﹣1，b）在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（ ）
A．a≥bB．a＞bC．a≤bD．a＜b
【变式4-9】已知函数y＝x；y＝﹣2x．yx，y＝3x．
（1）在同一坐标系内画出函数的图象．
（2）探索发现：
观察这些函数的图象可以发现，随|k|的增大直线与y轴的位置关系有何变化？
（3）灵活运用
已知正比例函数y1＝k1x；y2＝k2x在同一坐标系中的图象如图所示，则k1与k2的大小关系为 ．
题型五 利用正比例函数的性质求参数的问题
【例题5】（2022春•道里区期末）已知函数y＝（k﹣3）x，y随x的增大而减小，则常数k的取值范围
是（ ）
A．k＞3B．k＜3C．k＜﹣3D．k＜0
【变式5-1】（2023•惠阳区开学）已知正比例函数y＝mx|m|，它的图象除原点外都在第二、四象限内，则m的值为 ．
【变式5-2】（2022秋•任城区校级期末）在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝ ．
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝ ．
【变式5-5】（2021秋•上蔡县校级月考）若正比例函数y＝（a﹣2）x的图象经过第一、三象限，化简的结果为 ．
【变式5-6】（2021秋•杨浦区期中）如果函数y＝（m﹣1）是正比例函数，且y的值随x的值的增大而增大，那么m的值 ．
【变式5-7】（2021•包河区校级开学）已知正比例函数y＝kx，当﹣2≤x≤2时，函数有最大值3，则k的值为 ．
【变式5-8】按照下列条件求k的取值范围：
（1）正比例函数y＝（k﹣2）x的图象经过一、三象限；
（2）正比例函数y＝（1k）x中，y随x的增大而增大；
（3）已知y＝（1﹣m）的图象经过一、三象限．
【变式5-9】已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限．
（1）求m的值；
（2）当x＜2时，求y的最小值．
【变式5-10】已知函数y（k为常数）．
（1）当k为何值时，该函数是正比例函数？
（2）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而增大？
（3）当k为何值时，正比例函数y随x的增大而减小？
题型六 求正比例函数解析式
【例题6】（2022秋•南海区校级月考）已知一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个正比例函数的表达式是（ ）
A．y＝x+5B．yxC．yxD．y＝﹣2x+3
【变式6-1】（2022•广州）点（3，﹣5）在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象上，则k的值为（ ）
A．﹣15B．15C．D．
【变式6-2】（2022春•望城区期末）已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（ ）
A．3B．﹣3C．12D．﹣12
【变式6-3】（2022春•聊城期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）经过点，则k＝ ．
【变式6-4】（2021•碑林区校级模拟）若一个正比例函数的图象经过A（m，6），B（5，n）两点，则m，n一定满足的关系式为（ ）
A．m+n＝11B．m﹣n＝1C．mn＝30D．
【变式6-5】（2021•上海）已知函数y＝kx经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 ．
【变式6-6】（2021春•晋江市期末）已知y是x的正比例函数，且当x＝2时，y＝﹣6．
（1）求这个正比例函数的表达式；
（2）若点（a，y1），（a+2，y2）在该函数图象上，试比较y1，y2的大小．
【变式6-7】已知正比例函数的自变量x减少2时，对应的函数值y增加4，求该正比例函数的解析式．
【变式6-8】如果正比例函数y＝（m﹣2）﹣8的图象经过二、四象限．求此函数解析式．
【变式6-9】已知点（a，1），（a+2，a）在一个正比例函数的图象上．
（1）求a的值；
（2）写出这个正比例函数的表达式．
【变式6-10】已知y与x成正比例，且当x＝﹣1时，y＝2．
（1）求出y与x之间的函数解析式；
（2）画出该函数的图象；
（3）求当y＝﹣8时x的值；
（4）如果x的取值范围是﹣2＜x＜3，求y的取值范围．
题型七 正比例函数在实际中的应用
【例题7】某商店零售一种商品，其质量x（kg）与售价y（元）之间的关系如下表：
（根据销售经验，顾客在此处零买商品均未超过8kg）
（1）由上表推出售价y（元）随质量x（kg）变化的函数关系式，并画出函数的图象；
（2）顾客购买这种商品5.5kg应付多少元？
【变式7-1】在水管放水的过程中，放水的时间x（分）与流出的水量y（立方米）是两个变量．已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程共持续10分钟，则y关于x的函数图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-2】一辆汽车由A地匀速驶往相距300千米的B地，汽车的速度是100千米/小时，那么汽车距离A地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】蜡烛点燃后缩短长度y（cm）与燃烧时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx（k≠0），已知长为21cm的蜡烛燃烧6分钟后，蜡烛变短3.6cm，求：
（1）y与x之间的函数解析式；
（2）自变量x的取值范围；
（3）此蜡烛几分钟燃烧完．
【变式7-4】小明家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设卧室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知，买这两种材料和用这两种材料铺设地面的工钱都不一样．小明根据地面的面积，对铺设卧室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，并用x（平方米）表示铺设地面的面积，用y（元）表示购买和铺设的总费用，并制成下图，请你根据图中所提供信息，解答下列问题：
（1）铺设卧室每平方米的费用为 元，铺设客厅每平方米的费用为 元；
（2）表示铺设卧室的费用y1（元）与面积x（平方米）之间的关系式为 ；表示铺设客厅的费用y2（元）与面积x（平方米）之间的关系式为 ．
（3）已知在小明的预算中，铺设瓷砖的工钱比铺设木质地板的工钱多5元，购买瓷砖的单价是购买木质地板的单价的，那么铺设木质地板、瓷砖的工钱单价各是多少元？购买木质地板、瓷砖的单价各是多少元？
题型八 正比例函数的综合应用
【例题8】（2022春•德城区校级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第二象限．过点A作AH⊥x轴，垂足为H．已知点A的横坐标为﹣3，且△AOH的面积为4.5．
（1）求该正比例函数的解析式．
（2）将正比例函数y＝kx向下平移，使其恰好经过点H，求平移后的函数解析式．
【变式8-2】已知正比例函数过点A（2，﹣4），点P在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B（0，4）且三角形ABP的面积为8．
求：（1）过点A的正比例函数关系式；
（2）点P的坐标．
【变式8-3】已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数y＝kx的解析式．
（2）点P为x轴上一点，△AOP的面积为4，求直线AP的函数解析式．
【变式8-4】（2022春•崆峒区期末）如图，正比例函数y＝kx经过点A（3，a），点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴于H，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）若点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是5时，求点C的坐标；
（3）若点M为y轴上一动点，N为平面内任意一点，是否存在点N，使得以点A，O，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由．
解题技巧提炼
正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数．
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
解题技巧提炼
正比例函数的图象是一条经过原点的直线，因此可以用“两点法”画正比例函数的图象，所以经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
解题技巧提炼
利用正比例函数的性质比较函数值的大小的方法一般有三种：
（1）利用求值比较法；（2） 利用数形结合的思想； （3） 利用函数的增减性来比较大小.
解题技巧提炼
由正比例函数的性质y随x的增大而增大（或减小），可以判断比例系数的符号，当y随x 的增大而增大时，比例系数大于0，反之，比例系数小于0.
解题技巧提炼
求正比例函数解析式一般步骤是：
（1）设：设出正比例函数解析式y＝kx；
（2）代：将自变量与函数的一组对应值代入所设的解析式，得到关于待定系数k的方程；
（3）解：解方程求出待定系数k的值；
（4）还原：写出函数解析式．
x/kg
1
2
3
4
5
6
7
8
y/元
2.4
4.8
7.2
9.6
12
14.4
16.8
19.2
解题技巧提炼
正比例函数在实际中的应用关键是根据数量关系先求出函数的解析式，再根据正比例函数的性质解决问题，要注意自变量的取值范围.
解题技巧提炼
正比例函数的综合应用主要是结合其它图形的性质以及正比例函数的性质解决问题.