（人教版）数学八年级下册期末复习训练专题 平行四边形中的最值问题 （2份，原卷版+解析版）

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题型一 与平行四边形有关的最值问题
【例题1】（2022秋•榆树市期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB，点P为BC上任意一点，连结PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连结PQ，则PQ的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．
【变式1-1】（2022春•溧水区期中）如图，∠AOB＝30°，OB＝4，点P为射线OA上任意一点，连接PB．以PO、PB为邻边作平行四边形POQB，连接PQ，则线段PQ的最小值为 ．
【变式1-2】（2021秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，AB＝2，BC＝4，点E是直线BC上的点，点F是直线CD上的点，连接AF，AE，EF，点M，N分别是AF，EF的中点．连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-3】（2021春•雁塔区校级月考）在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（ ）
A．B．3C．2D．2
【变式1-4】（2022•瑶海区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，ABAD，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若AD＝2，则PE+PB的最小值为（ ）
A．2B．2C．D．2
【变式1-5】（2021秋•海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝12，AB＝6，以AD为底边向右作腰长为10的等腰△ADP，Q为边BC上一点，BQ＝4，连接PQ，则PQ的最小值为 ．
【变式1-6】（2022•榆林模拟）如图，在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2．点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点．连接PD并延长，使DE＝PD．以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值 ．
【变式1-7】（2021•沂水县一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝3，P为AB边上一动点，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为 ．
【变式1-8】（2021•房县模拟）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为 ．
【变式1-9】如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P，Q分别是AC，BC上的动点，在P，Q运动过程中，PB+PQ的最小值是 ．
题型二 与矩形有关的最值问题
【例题2】（2021•内江模拟）如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式2-1】（2022春•永春县期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，AB＝6，BC＝2．当B在边ON上运动时（点B与O不重合），A随之在OM上运动．点E在AB边上，AE＝2EB，四边形OADE的面积为，则OA+OB的值等于（ ）
A．7B．C．8D．8.5
【变式2-2】（2022秋•南安市期末）如图，点P是长方形ABCD内部的一个动点，已知AB＝7，BC＝15，若△PBC的面积等于30，则点P到B、C两点距离之和PB+PC的最小值是 ．
【变式2-3】（2021•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 ．
【变式2-4】（2021春•沭阳县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．2
【变式2-5】（2022春•仪征市期中）如图，矩形ABCD的边AB＝7，BC＝3，点E在边AB上，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
【变式2-6】（2022春•晋安区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
【变式2-7】（2022春•瑶海区期末）如图，在矩形ABCD中，点N、O、P．M分别是边AB、BC、CD、DA上的点（不与端点重合），若AN＝CP、BO＝DM，且AB＝2BC＝2，则四边形MNOP周长的最小值等于（ ）
A．2B．2C．D．
【变式2-8】（2021秋•松山区期末）如图，矩形ABCD中，AB，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．23B．2C．2D．
题型三 与菱形有关的最值问题
【例题3】（2021春•玉州区期中）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝6，CE＝4，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（ ）
A．4B．6C．2D．4
【变式3-1】如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，让两个矩形对角线交点重合，且使重叠部分成为一个菱形．当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度，在旋转过程中，得出所有重叠部分为菱形的四边形中，周长的最大值是（ ）
A．8B．10C．10.4D．12
【变式3-2】（2022•花都区二模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝8，BD＝6，点P为边AB上一点，且点P不与点A，B重合．过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连接EF，则EF的最小值为（ ）
A．2B．2.4C．2.5D．3
【变式3-3】（2022春•鼓楼区校级期中）如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC＝60°，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【变式3-4】（2022春•兴宁区校级期中）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且∠ADC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．4B．8C．8D．4+4
【变式3-5】（2022春•惠民县期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A．2+2B．4C．4D．6
【变式3-6】（2022•安徽一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【变式3-7】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E为AB边的中点，点P为对角线BD上一动点，连接PC，PE，求|PC﹣PE|的最大值．
【变式3-8】如图，在边长为4的菱形ABCD中，BD＝4，E、F分别是边AD、CD上的动点，且AE+CF＝4，连接BE、EF、FB．
（1）证明：BE＝BF；
（2）求△BEF面积的最小值．
题型四 与正方形有关的最值问题
【例题4】（2022春•海州区校级期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，则EF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．2
【变式4-1】（2022春•潼南区期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若AC＝2，则EF的长的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【变式4-2】（2021春•莱州市期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 ．
【变式4-3】（2021春•惠山区期中）如图，平面内三点A、B、C，AB＝5，AC＝4，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
A．5B．9C．9D．
【变式4-4】（2022•扬州三模）如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．2
【变式4-5】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点E在BC边上，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边作等边△EFG，且点G在矩形ABCD内，连接CG，则CG的最小值为（ ）
A．3B．2.5C．4D．2
【变式4-6】如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且DHCD，连接GH，CG，则∠DCG＝ 度，运动变化过程中，GH的最小值为 ．
【变式4-7】如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-8】如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM＝BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为2，则线段CF的最小值是（ ）
A．2B．1C．1D．2