（人教版）数学八年级下册期末培优训练专题18 能力提升专题：一次函数的综合与新定义函数（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30638" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30638 \h 1
\l "_Tc17713" 【考点一 一次函数中平移问题】 PAGEREF _Tc17713 \h 1
\l "_Tc6901" 【考点二 一次函数中的规律探究问题】 PAGEREF _Tc6901 \h 7
\l "_Tc18486" 【考点三 一次函数——分段函数】 PAGEREF _Tc18486 \h 15
\l "_Tc14459" 【考点四 绝对值的一次函数】 PAGEREF _Tc14459 \h 23
\l "_Tc13442" 【考点五 新定义一次函数】 PAGEREF _Tc13442 \h 32
【典型例题】
【考点一 一次函数中平移问题】
例题：（2023秋·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，直线分别与轴、轴交于点、，把直线沿轴向下平移3个单位长度，得到直线，且直线分别与轴、轴交于点C、D．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)求四边形的面积．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）已知直线，直线与直线关于轴对称，将直线向下平移6个单位得到直线，则直线与直线的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）若点在直线上，把直线的图像向上平移2个单位，所得的直线表达式为______．
3．（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．
4．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）把一次函数的图象进行平移后，得到的图象的解析式是，有下列说法：①把向下平移4个单位，②把向上平移4个单位，③把向左平移4个单位，④把向右平移4个单位．其中正确的说法是______（把你认为正确说法的序号都填上）．
5．（2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为___________．
6．（2023·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，将直线平移到直线，直线与轴交于点，点与点，点与点分别是平移前后的对应点，若线段在平移过程中扫过的图形面积为，求点的坐标．
7．（2023秋·江苏镇江·八年级统考期末）将正比例函数的图象平移后经过点．
(1)求平移后的函数表达式；
(2)求平移后函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【考点二 一次函数中的规律探究问题】
例题：（2023·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，点A1，A2，A3，A4，…在直线l上，点C1，C2，C3，C4，…在x轴正半轴上，则A4的坐标是_____；的坐标是 _____．
【变式训练】
1．（2023·山东枣庄·校考一模）如图、、都是等腰直角三角形，直角顶点、，均在直线上，直线的解析式为，点的横坐标为，根据此规律第个等腰直角三角形的面积为_____________．
2．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，已知、、在直线上，按照如图所示方法分别作等腰面积为，等腰面积为，（其中点都在轴正半轴上，都为顶角，），若，则______，则______．
3．（2023春·广西南宁·八年级南宁十四中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、…在直线上，以为边作第一个正方形，使点在x铀的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；以为边作第二个正方形，使点在x轴的正半轴上，得到正方形的对角线的交点；依次作下去，第2023个正方形的对角线的交点的纵坐标是______．
4．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…．在x轴正半轴上，点，，，…，在直线上．已知点，且，，，…均为等边三角形．
（1）线段的长度为_________；
（2）点的坐标为_________；
（3）线段的长度为_________．
【考点三 一次函数——分段函数】
例题：（2021·河南·郑州枫杨外国语学校八年级期中）在一次函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质的过程．小红对函数的图象和性质进行了如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
（1）请同学们把小红所列表格补充完整，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
（2）根据函数图象，以下判断该函数
性质的说法，正确的有 ．
①函数图象关于y轴对称；
②此函数无最小值；
③当x＜3时，y随x的增大而增大；当x≥3时，y的值不变．
（3）若直线y＝x+b与函数y＝的图象只有一个交点，则b＝ ．
【变式训练】
1．（2020·吉林松原·八年级期末）已知函数，
（1）该函数图象与轴交点的纵坐标是 ；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）若点是该函数图象上一点，点的坐标是．当的面积为时，求点的坐标；
（4）当直线与该函数图象有两个交点时，直接写出的取值范围．
2．（2021·辽宁大连·八年级期末）已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为G．
（1）当时，若点在图象G上，求n的值；
（2）当时，若函数最大值与最小值的差为，求m的值；
（3）已知点，，，当图象G与有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
【考点四 绝对值的一次函数】
例题：（2022·河南·长葛市教学研究室八年级期末）小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是小慧的探究过程，请补充完成：
(1)函数的自变量x的取值范围是______；
(2)列表，找出y与x的几组对应值．其中，b＝_____；
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)函数的最小值为____________．
(5)结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）：_________________．
【变式训练】
1．（2022·河南漯河·八年级期末）有这样一个问题：探究函数y＝|x＋1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝|x＋1|的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是x与y的几组对应值．
m的值为 ；
(3)在如图网格中，建立平面直角坐标系xOy，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
(4)小明根据画出的函数图象，写出此函数的两条性质．
2．（2022·山西大同·八年级期末）某学习小组探究函数的图象与性质．下面是该组同学的探究过程，请补充完整：
(1)函数中自变量的取值范围是______．
(2)下表是与的几组对应值．
填空：______，______．
(3)在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
(4)根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？（写出一条即可）
3．（2022·湖北襄阳·八年级期末）请根据学习函数经验，对函数的图象与性质进行探究．
(1)在函数中，自变量x的取值范围是_________．
(2)下表是x与y的对应值：
①________；
②若为该函数图象上不同的两点，则__________﹔
(3)在如图的直角坐标系中：
①描出上表中各对对应值的坐标的点，并根据描出的各点，画出该函数的大致图象；
②根据函数图象可得，该函数的最小值为__________；
③结合函数图象，写出该函数除②外的一条性质：____________．
4．（2021·河南许昌·八年级期末）我们学习了正比例函数、一次函数的图象与性质后，进一步研究函数y＝|x|的图象与性质．
（1）我们知道，请利用以前所学知识在给出的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（2）通过观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（3）利用学过的平移知识，说说函数y＝|x﹣4|＋1是怎样由函数y＝|x|平移得来的？并利用（1）中给出的平面直角坐标系画出函数y＝|x﹣4|＋1图象．
【考点五 新定义一次函数】
例题：（2022·江苏南通·八年级期中）对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”．
例如，一次函数，它的“和谐函数”为．
(1)一次函数的“和谐函数”为______；
(2)已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
【变式训练】
1．（浙江省宁波市鄞州实验中学2022—2023学年八年级上学期数学期末试卷）定义：一次函数和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．
(1)点在的“逆反函数”图象上，则 ；
(2) 图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，求点B的坐标；
(3)若和它的“逆反函数”与y轴围成的三角形面积为3，求b的值．
2．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：
如果，那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，点的“关联点”为点
(1)点的“关联点”为，则______；
(2)①如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为______；
②如果点是一次函数图象上点的“关联点”，求点的坐标
3．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）定义：已知点中的，为常数且，无论实数取何值，点都在直线上，我们就称直线l为点P的“恒定线”．例如：点，无论实数a取何值，点都在直线上，即当时，，则直线是点的“恒定线”．
(1)已知直线，它是 的“恒定线”．(填序号)
①点；②点；③点
(2)若点，求点的“恒定线”的解析式．
(3)已知点，为任意实数，当m变化时，点在它的“恒定线”上运动，若点的“恒定线”与两条坐标轴围成了等腰直角三角形，求此时的值．
4．（2023春·八年级课时练习）定义：对于一次函数 ，我们称函数为函数的“组合函数”.
(1)若m=3，n=1，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由;
(2)设函数与的图像相交于点P.
①若，点P在函数的“组合函数”图像的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数的“组合函数”图像经过点P.是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图像与x轴交点Q的位置不变?若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标;若不存在，请说明理由.
5．（2023·北京·模拟预测）定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”．
(1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由．
(2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式．
(3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围．
x
…
-1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
﹣2
﹣1
0


2
2
2
…
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
b
1
0
1
2
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
4
3
2
m
0
1
2
3
4
…
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
…
4
3
2
0
1
3
4
…
x
…
0
1
2
3
…
…
4
3
2
m
2
3
4
…