（人教版）数学八年级下册期末重难点训练专题03 勾股定理重难点题型分类（2份，原卷版+解析版）

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典型考题，具体包含八类题型：已知两边求第三边、已知一边和一特殊角求其它边长、折叠模型、最短爬
行路径问题、勾股定理与图形面积关系、勾股定理的逆定理、勾股定理的应用题、勾股定理与其它章节的
综合题。适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一 已知两边，求第三边
1．（安徽安庆）在中，若两直角边，满足，则斜边的长度是______．
【详解】解：∵，，∴，
∴，在中，由勾股定理得c=．故答案为：13．
2．（四川凉山）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
3．如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A．(﹣1，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(3，0)
【详解】解：如图，∵A（3，0）、B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，
∴在直角△AOB中，由勾股定理得AB．又∵以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC﹣OA3．又∵点C在x轴的负半轴上，∴C（3，0）．
故选：D．
4.（周南）一架方梯长25m，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，求：（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24米；
（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，根据勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
题型二 已知一边和一特殊角求其它边长
5．（长郡）如图，，平分，交于，交于，若，则等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【详解】解：过D点作于G点，如图，
∵平分，，∴，又∵，
∴，，∴，，
∴是等腰三角形，∴，，
在中，有，∴，∵，，
∴，∴，故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，为等边三角形，则点的坐标为______．
【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵B、C两点的坐标分别为(-2，0)和(6，0)，∴BC=6-（-2）=8，∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4，∴点D的横坐标为6-4=2，
在Rt△ABD中，AD=，所以，点A的坐标为(2，)， 故答案为：(2，)．
7．（山东东营）如图，在中，，，，则的长度为（ ）
A．B．2C．D．3
【详解】解：过A作于D，在中，，，
，，在中，，，
，，故选：C。
8.（师大）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长。
【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠BCD＝45°，∴BC＝．∵∠BCA＝30°，∴AB=，AC=2AB=．
9．（四川内江）已知，在中，，，，则的面积为 __．
【详解】解：过点作边的高，
中，，，，在中，，，
①是钝角三角形时，，；
②是锐角三角形时，，，
故答案为：2或14．
题型三：折叠模型：已知一边，设第二边为x，第三边为“几-x”,再列方程.
10．（四川达州）如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2
【详解】将此长方形折叠，使点与点重合，，，根据勾股定理得：，解得：．．故选：A．
11．（四川凉山）如图，中，，将沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
A．B．2C．D．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB==10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE=BE，AD=BD=AB=5，设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，∴x2=62+（8-x）2，解得x=，∴CE==，故选：D．
12．（2023春·八年级课时练习）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【详解】解：由翻折变换的性质可知：，∴，，，
∵四边形为矩形，，，∴，，，
∴，，在和中，，∴，
∴，，设，则，在中，，
∴，解得：，，∴．故选：B．
13．（山东菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
【详解】解：依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，，∴CE=4，∴E（4，8）
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，又∵DE=OD，∴（8-OD）2+42=OD2，∴OD=5 ，∴D（0，5）。
14.（长郡）如图，在中，，，，是的垂直平分线，交于点，交于点，求的长.

【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，又∵42+32＝52，即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
证明：连接CE．∵DE是BC的垂直平分线，∴EC＝EB，设AE＝x，则EC＝4﹣x．
∴x2+32＝（4﹣x）2．解之得x＝，即AE的长是．
题型四 最短爬行路径问题：先展开，再连起点与终点
15．（吉林长春）如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（ ）
A．9B．13C．14D．25
【详解】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24÷2=12，宽为5，∴AB==13，即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．故选：B．
16．（山东枣庄）如图，圆柱体的高为8cm，底面周长为4cm，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A点到B点，路线如图所示，则最短路程为_____．
【详解】解：将圆柱沿过点A和点B的母线剪开，展开成平面，由圆柱路线可知小蚂蚁在水平方向爬行的路程等于个底面周长，如下图所示：AC=1．5×4=6cm，连接AB，根据两点之间线段最短，
∴小蚂蚁爬行的最短路程为此时AB的长
∵圆柱体的高为8cm，∴BC=8cm，在Rt△ABC中，AB=cm，故答案为：10cm．
17．（辽宁辽阳）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处（三条棱长如图所示），问最短路线长为_________．
【详解】
如图1，当展开的长方形的长是AC=4+2=6，宽是AD=1，
路径长为AG=；
如图2，当展开的长方形的长是AB=4，宽是BG=2+1，
路径长为AG=；
如图3，当展开的长方形的长是CD=4+1=5，宽是AD=2，
路径长为AG=；
故沿长方体的表面爬到对面顶点G处，只有图2最短，其最短路线长为：5．故答案为：5．
题型五 勾股定理与图形面积关系
18．（广西玉林）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（ ）
A．3cmB．6cmC．4cmD．5cm
【详解】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2，∴BC2＝8，AC2＝17，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2＋AC2，即AB2＝8＋17＝25，∴AB＝5cm，故选：D．
19．（湖南邵阳）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13B．26C．34D．47
【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+52=34，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=47．故选D．
20．如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（ ）
A．2B．3C．D．
【详解】解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，
∴，，
∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴∴，
∴S1＋S2＝S3﹣S4，∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故选：B．
题型六 勾股定理的逆定理
21．（广东湛江）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，B．5，4，3C．17，8，15D．2，3，4
【详解】解：A、∵12+（）2=22，故是直角三角形，不符合题意；B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；D、22+32≠42，故不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
22．（陕西宝鸡）ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
【详解】解：A、∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠C＝90°，是直角三角形；
C、由a2＝c2−b2，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32＋42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选：D．
23．（四川雅安）如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积．
【详解】连接AC，∵AD＝12，CD＝9，∠ADC＝90°，
∴AC==15，∵AB＝39，BC＝36，AC=15，
∴，∴∠ACB=90°，
∴这块空地的面积为：==216（平方米），
故这块草坪的面积216平方米．
24．（山东青岛）我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．
（1)求出空地ABCD的面积．
（2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
【详解】分析：（1)连接BD．在Rt△ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得△DBC为直角三角形，DC为斜边；由四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解；
（2)根据总费用=面积×单价解答即可．
详解：（1)连接BD．在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52．
在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，
S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC=×4×3+×12×5=36．
（2)需费用36×200=7200（元)．答：总共需投入7200元．
25．（广东深圳）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米．
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
(2)求原来的路线AC的长．
【详解】（1）解：是， 理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25， ∴CH2+BH2=BC2， ∴△CHB是直角三角形，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC=x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2， ∴x2=（x-0.9）2+1.22， 解这个方程，得x=1.25，
答：原来的路线AC的长为1.25千米．
题型七 勾股定理的应用题
26．（广东河源）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )
A．12 mB．13 mC．16 mD．17 m
【详解】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选D．
27．（山东青岛）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地0.5米，将它往前推3米时，踏板离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，则秋千的长度是（ ）
A．3米B．4米C．5米D．6米
【详解】解：设米，米，米，
（米，米，
在中，米，米，米，根据勾股定理得：，
解得：，则秋千的长度是5米．故选：C．
28．（江西抚州）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【详解】（1）解：在Rt△CDB中， 由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，∴BM= （米），∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
29．（2022秋·江苏·八年级专题练习）若图是一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯．
（1）求地毯的长是多少米？
（2）如果地毯的宽是2米，地毯每平方售价是10元，铺这个楼梯一共需要多少元？
【详解】（1），
，
，
∴地毯的长为7m；
（2）地毯的面积为，
∴铺这个楼梯所需的花费为（元）．
30．（河南驻马店）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一城镇，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围25km以内为受影响区域．
(1)请通过计算说明城镇C会受到沙尘暴影响的原因；
(2)若沙尘暴中心的移动速度为20km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？
【详解】（1）解：如图所示：过点C作，
∵，，，∴，∴为直角三角形，
∴，即，∴，
∵以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，，∴城镇C会受到沙尘暴影响；
（2）解：如图所示：在AB边上找E、F两点，连接CE、CF，
当，时，沙尘暴正好影响城镇C，∴，
在与中，，∴，∴DE=DF，∴，
∵沙尘暴中心的移动速度为，∴，∴沙尘暴影响该城镇持续的时间为．
31．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为300km和400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
(1)海港C会受台风影响吗？为什么？
(2)若台风的速度为20km/h，台风影响该海港持续的时间有多长？
【详解】（1）解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D点，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，
∴，∴△ABC为直角三角形，∴，∴，
∴，∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C会受到台风影响；
（2）由（1）得CD=240km，如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，
此时△ECF为等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7h，∴台风影响该海港持续的时间有7h．
32．（2021·广西柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；
（2）若救助船A，分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【详解】(1)如图，作于，则，由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
(2)∵海里，海里，救助船分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，救助船所用的时间为(小时)，∵，
∴救助船先到达．
33．（内蒙古）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为100米的P处．这时，一辆富康轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°，∠BPO＝45°，试判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？
【详解】解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，
AO＝＝＝100(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，
则BO＝OP＝100 m.∴AB＝AO－BO＝100－100≈73(m)．
∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.
∴此车超过每小时80千米的限制速度．
34．（河南新乡）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

【详解】解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，∴CD＝＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝=50（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
35．（广东茂名）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【详解】（1）解：村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，∴村庄能听到宣传；
（2）解：如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP=AQ=1000米，AB=800米，∴BP=BQ==600（米），∴PQ=1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300=4（分钟），∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
题型八 勾股定理与其它章节的综合题
36. （青竹湖）利用所学的知识计算：
（1）已知，且，，求的值；
（2）已知、、为的三边长，若，求的周长.
【解答】解：（1）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13﹣2×6＝1，
∵a＞b，∴a﹣b＝1；
（2）∵a2+b2+25＝6a+8b，∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，∴a＝3，b＝4，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，则Rt△ABC的周长＝3+4+5＝12，当4是斜边时，另一条直角边长＝＝，则Rt△ABC的周长＝3+4+＝7+，
综上所述，Rt△ABC的周长为12或7+．
37.（广益）△，△是等腰直角三角形，点在上.
（1）求证：△≌△
（2）若，，求.

【解答】（1）证明：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC＝OD，OA＝OB，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°﹣∠AOD，在△AOC和△BOD中∴△AOC≌△BOD（SAS）；
（2）解：∵△AOB，△COD是等腰直角三角形，∴OC＝OD，OA＝OB，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠B＝∠OAB＝45°，∵△AOC≌△BOD，BD＝1，∴AC＝BD＝1，∠CAO＝∠B＝45°，
∵∠OAB＝45°，∴∠CAD＝45°+45°＝90°，
在Rt△CAD中，由勾股定理得：CD＝＝＝．
38.（雅境）在中，平分交于点，在上取一点，使得.
(1)求证：；
(2)若，，，求的长.
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EA＝ED，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，
∴DE∥AC；
（2）解法一：∵ED＝EB，ED＝EA，∴EA＝EB＝3，∠B＝∠4．∴AB＝6，又∵DE∥AC，
∴∠4＝∠C．∴∠B＝∠C．又∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD．∴∠ADB＝∠ADC．
∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得：．
解法二：∵ED＝EB，ED＝EA，∴∠B＝∠4，ED＝EB＝EA＝3．∴AB＝6，在△ABD中，∠B+∠4+∠3+∠1＝180°，∵∠1＝∠3，∠B＝∠4，∴∠B+∠4+∠3+∠1＝2∠3+2∠4＝180°．∴∠ADB＝∠3+∠4＝90°．在Rt△ABD中，由勾股定理得：．
39.（师大）如图，在中，=，，点是上一动点，连接，过点作，并且始终保持，连接.
(1)求证：
(2)若平分交于，求证：
(3)在(2)的条件下，若，，求的长，

【解答】（1）BD2+FC2＝DF2．证明：连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠3＝45°，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE，∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴BD2+FC2＝EF2，
∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，在△DAF和△EAF中，，
∴△DAF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∴BD2+FC2＝DF2．
（2）解：过点A作AG⊥BC于G，由（1）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25，∴DF＝5，
∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝AG＝BC＝6，∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．
40. （青竹湖）定义：对于平面直角坐标系中的任意两点和，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作,即.
（1）若和，则=____ __；
（2）若点,，其中为任意实数，求的最小值
（3）若为常数，且，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求的最小值以及的最大值（用含的代数式表示）
【解答】解：（1）Q[A，B]＝＝2，
（2）如图，由题意，点N在直线y＝x﹣3上运动，
根据垂线段最短可知，当MN⊥直线y＝x﹣3时，MN的值最小，此时N（3，0），
∵M（1，2），∴Q[M，N]的最小值＝＝2．
（3）如图1中，
∵m＞0，A（0，5m），∴B（8m，﹣m）在第四象限，A在y轴的正半轴上，
∴当A，C，B共线时，Q[A．C]+Q[C，B]的值最小，最小值＝＝10m．
如图2中，作点B关于x轴的对称点B′，当点C在AB′的延长线上时，Q[A，C]﹣Q[B，C]的值最大，
最大值＝Q[A，B′]＝＝4m．
41.（青竹湖）材料一：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为为“勾股定理”。如：Rt△中，两条直角边分别为、，斜边为，则有成立；
材料二：平方差公式：，存在 一个特殊的结论，当、为整数时，和同时为偶数，或者同时为奇数，如：当，时， 为奇数，会发现也同时为奇数；而当，时，为偶数，此时会发现也同时为偶数；此结论称为平方差公式的同奇同偶性。
（1）直角三角形两直角边分别为、，求此时斜边的长度；而如果直角三角形的其中有两边的长度为、的时候，你能求出此时另一边的长度吗？
（2）直角三角形中两直角边的平方分别为：、， 斜边的平方为，且、均为正整数，请求出、：
（3）直角三角形三边均为正整数，直角边分别为、，斜边为，且周长为，面积为，请求出、、.
【解答】解：（1）①直角三角形两直角边分别为6、8，则斜边的长度＝＝10．
②当6、8是直角边时，斜边＝10，当8是斜边时，另一条直角边＝＝2，
综上所述，另一条边为10或2．
（2）由题意：y2+31＝x2+4x，∴（x+2）2﹣y2＝35，∴（x+2+y）（x+2﹣y）＝5×7＝1×35，
由题意可知：或，解得或．
（3）由题意：，①+4×③得到：（a+b）2﹣c2＝840，
∴（a+b+c）（a+b﹣c）＝840，∴a+b﹣c＝12 ④，②+④得到a+b＝41 ⑤，
∵a＞b，由③④可得，把a＝21，b＝20代入①可得c＝29，
∴a＝21，b＝20，c＝29．