（人教版）数学八年级下册期末重难点训练专题08 一次函数的文字题、解答题重难点题型分类（2份，原卷版+解析版）

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专题简介：本份资料包含一次函数这一章的常考中档文字题，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典
型考题，具体包含四类题型：求正比例函数解析式或正比例关系的解析式、求一次函数的解析式、一次函
数中的面积问题、告诉面积求坐标。适合于培训机构的老师给学生作专题复习时使用或者学生考前刷题时
使用。
题型一：求正比例函数解析式或比例关系的解析式
1．（一中）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（3，﹣6）．
（1）求这个函数的解析式；
（2）判断点A（4，﹣2）、点B（﹣1.5，3）是否在这个函数图象上；
（3）已知图象上两点C（x1，y1）、D（x2，y2），如果x1＞x2，比较y1，y2的大小．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（3，﹣6）．∴﹣6＝3k，解得：k＝﹣2，
∴这个函数的解析式为y＝﹣2x；
（2）把A（4，﹣2）代入y＝﹣2x，﹣2≠﹣2×4，故点A不在这个函数图象上，
把B（﹣1.5，3）代入y＝﹣2x，3＝﹣2×（﹣1.5），故点B在这个函数图象上；
（3）∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵x1＞x2，∴y1＜y2．
2．已知y与成正比例，当时，．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)若（1）中函数的图象与一次函数的图象相交于点A，求点A的坐标．
【详解】（1）解：设函数解析式为：，∵当时，，∴，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）解：根据题意，建立方程组，解得，∴点A的坐标为：．
3．若与成正比例，且当时，．
(1)求y与x的函数表达式；
(2)当x在什么范围内时，？
【详解】（1）解：因为与成正比例，设，又时，，则，解得：．
故与的函数关系式为：；
（2）解：当时，，
由图象可得，当时，．
4．已知y与成正比例，且当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)画出这个函数的图像；
(3)当时， y的取值范围是________．
【详解】（1）解：设，∵当时，，∴，解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：令，则，令， ，过点，作直线，
如图所示：
（3）解：由图象 可得：当时，．
题型二：求一次函数的解析式
5．已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)当时，求自变量的值．
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0），由题意，得，
解得，∴该一次函数解析式为；
（2）解：当 y=-3 时，， 解得 x=4，∴当y=-3时，自变量x的值为4．
6.（南雅）已知一次函数的图象经过点，
（1）求该一次函数的解折式；
（2）写出该一次函数与轴，轴的交点坐标，并在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，（不需列表）．
【解答】解：（1）设该一次函数的解析式为y＝kx+b，把（0，﹣2），（2，2）代入，可得：，解得：．所以该一次函数的解析式为y＝2x﹣2；
（2）当y＝0时，2x﹣2＝0，解得x＝1，即与x轴交点坐标为（1，0），当x＝0时，y＝﹣2，即与y轴的交点坐标为（0，﹣2）．图象如图所示：
7.（雅礼）已知直线经过点和点。
（1）求直线的解析式；（2）若点在直线上，求的值。
【解答】解：（1）设直线l1的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（1，4）．∴，解得，∴直线l1的解析式为y＝2x+2；
（2）点代入y＝2x+2得3=2（m-1）+2，∴＝1.5．
8.（雅礼）在平面直角坐标系中，一次函数（都是常数，且）的图象经过点和。
（1）一次函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标。
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，
解得：，∴这个函数的解析式为：y＝﹣2x+2；
（2）把x＝﹣3代入y＝﹣2x+2得，y＝8，把x＝4代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣6，∴y的取值范围是﹣6≤y＜8．（3）∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n＝﹣2m+2，∵m﹣n＝7，∴m﹣（﹣2m+2）＝7，
解得：m＝3，n＝﹣4，∴点P的坐标为（3，﹣4）．
9.（湘郡）一次函数(a为常数，且).
(1)若点在一次函数的图象上，求a的值；
(2)当时，函数有最大值2，请求出a的值.
【解答】解：（1）把（﹣，3）代入y＝ax﹣a+1得﹣a﹣a+1＝3，解得a＝；
（2）①a＞0时，y随x的增大而增大，则当x＝2时，y有最大值2，把x＝2，y＝2代入函数关系式得2＝2a﹣a+1，解得a＝1；②a＜0时，y随x的增大而减小，则当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1代入函数关系式得 2＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣，所以或a＝1．
10.（雅礼）在平面直角坐标系中，一次函数（都是常数，且）的图象经过点和。
（1）一次函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）已知点在该函数的图象上，且，求点的坐标。
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，将（1，0），（0，2）代入得：，
解得：，∴这个函数的解析式为：y＝﹣2x+2；
（2）把x＝﹣3代入y＝﹣2x+2得，y＝8，把x＝4代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣6，∴y的取值范围是﹣6≤y＜8．（3）∵点P（m，n）在该函数的图象上，∴n＝﹣2m+2，∵m﹣n＝7，∴m﹣（﹣2m+2）＝7，
解得：m＝3，n＝﹣4，∴点P的坐标为（3，﹣4）．
11.（北雅）已知一次函数，当时，，求的值.
【解答】解：①若，则y随x的增大而增大，∴，∴，故；
②若，则y随x的增大而减小，∴，∴，故；
综上所述，的值为2或．
题型三：一次函数中的面积问题
12．已知一次函数的图象经过，两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）设图象与x轴、y轴交点分别是A、B，求点A、B的坐标；
（3）求此函数图象与x轴、y轴所围成的三角形的面积．
【详解】解：（1）设一次函数的解析式为，由题意得：，解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）令x=0，则y=1，∴B（0，1），令y=0，则，解得，∴A（，0）；
（3）∵A（，0），B（0，1），∴，，∴．
13．已知一次函数y＝2x+b的图象经过点（3，1）．
(1)求一次函数表达式；
(2)在坐标系中画出该一次函数的图象；
(3)求该函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积．
（1）解：将点(3,1)代入函数解析式得：1=6+b，解得：b=-5，∴一次函数解析式为：y=2x-5；
（2）解：当x=0时，y=-5，当y=0时，x=2.5，∴一次函数解析式经过(0,-5)，(2.5,0)，坐标系中描出两点，然后连接可得，如图所示：
（3）由（2）可得，函数图象与坐标轴围成的三角形为直角三角形，根据（2）中交点坐标可得直角边长分别为：2.5，5，∴三角形面积为：．
14．如图，已知一次函数ykxb的图象经过A2，2，B1，4两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△DOB的面积．
【详解】（1）把A2，2，B1，4代入y=kx+b得 ，解得，
∴一次函数解析式为；
（2）将x=0代入，得：y=2，将y=0代入，得：x=-1，∴点C和点D的坐标分别为C（-1,0），D（0,2）；
（3），∴△DOB的面积为1．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与直线交于点C，直线l与x轴交于点D．
（1）求直线的解析式：
（2）求点C的坐标；
（3）求的面积．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，将A（5，-2），B（1，6）代入，
得：，解得：，∴直线AB的解析式为：y=-2x+8；
（2）∵直线与直线y=x+2交于点C，则令-2x+8=x+2，解得：x=2，代入y=x+2，得y=4，∴C（2，4）；
（3）∵直线l与x轴交于点D，∴在y=x+2中，令y=0，则x=-2，∴D（-2，0），设E为直线AB与x轴交点，在y=-2x+8中，令y=0，则x=4，∴E（4，0），∴△ACD的面积=△CDE的面积+△ADE的面积==．
16．如图，一次函数的图象过、两点，与轴交于点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)已知：点在轴上，且使的值最小，请直接写出点的坐标______，及的最小值是______．
【详解】（1）解：根据题意得， 解得，此一次函数的解析式为；
（2）当时，，解得，则，；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，，
，此时的值最小，最小值为，
设直线的解析式为，把，分别代入得，
解得，直线的解析式为，当时，，解得，
点的坐标为．
17.（广益）平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为.
（1）试判断点P是否在直线的图象上，并说明理由；
（2）如图，直线的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点C是与的交点，点D为与x轴的交点，求四边形OBCD的面积.

解：(1)点P在上，理由如下：当时，，∴点在上
(2)，，令，，，，连接OC，
。
18.（长郡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点。
（1）求的值及的解析式；
（2）求的值；
（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值。

【解答】解：（1）把C（m，4）代入一次函数y＝﹣x+5，可得4＝﹣m+5，解得m＝2，∴C（2，4），
设l2的解析式为y＝ax，则4＝2a，解得a＝2，∴l2的解析式为y＝2x；
（2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD＝4，CE＝2，y＝﹣x+5，令x＝0，则y＝5；令y＝0，则x＝10，∴A（10，0），B（0，5），∴AO＝10，BO＝5，∴S△AOC-S△BOC＝（×10×4）-（×5×2）＝20-5＝15；
K=2或﹣0.5或1.5.
题型四：告诉面积求坐标
19．已知一次函数的图象经过点和.
(1)求该函数的表达式；
(2)若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标.
【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（−2，−4）和B（2，0），进而得
，解得k＝1，b＝−2，∴该函数的表达式：y＝x−2；
（2）∵点P是x轴上一点，∴设P（x，0），∴BP＝|x−2|，∵△ABP的面积为10，∴×4×|x−2|＝10，∴|x−2|＝5，∴x−2＝5或x−2＝−5，解得x1＝−3或x2＝7，∴点P的坐标（−3，0）或（7，0）．
20.（广益）一次函数的图象与轴的负半轴相交于点，与轴相交于点，且的面积为.
(1)求的值及点的坐标；
(2)若点在轴上，且使得的面积为，请求出点的坐标.
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝（m+1）x+＝，则B（0，），∴OB＝，∵△OAB的面积为，
∴×OA×OB＝，解得OA＝1，∴A（﹣1，0）；把点A（﹣1，0）代入y＝（m+1）x+得﹣m﹣1+＝0，∴m＝；
（2）∵△ABC的面积为，∴×1×BC＝，即BC＝，∴C（0，）或（0，）.
21．（长郡）若正比例函数y1＝﹣x的图象与一次函数y2＝x+m的图象交于点A，且点A的横坐标为﹣1．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）直接写出方程组的解；
（3）在一次函数y2＝x+m的图象上求点B，使△AOB（O为坐标原点）的面积为2．
【解答】解：（1）∵点A的横坐标为﹣1，∴将x＝﹣1代入y＝﹣x，得y＝1，则点A坐标为（﹣1，1）．
将A（﹣1，1）代入y＝x+m，得﹣1+m＝1，解得m＝2，所以一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）方程组的解为；
（3）设直线直线y＝x+2与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，则C（0，2），D（﹣2，0），
∵A（﹣1，1），∴S△AOC＝S△AOD＝×2×1＝1，
①当B点在第一象限时，则S△BOC＝1，设B的横坐标为m，∴S△BOC＝×2×m＝1，解得m＝1，∴B（1，3）；②当B点在第三象限时，则S△BOD＝1，设B的纵坐标为n，∴S△BOD＝×2×（﹣n）＝1，解得n＝﹣1，∴B（﹣3，﹣1）．综上，B的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．
22．已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与x轴交于点A．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在y轴上存在一点M，且的面积为，求点M的坐标．
【详解】（1）设一次函数的解析式为，把点和代入得，
解得，所以一次函数解析式为；
（2）当时，，解得，则（3，0），在y轴上存在一点M，且的面积为，
，即，，B（0，-4），或．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线交点的A的横坐标为2，将直线沿x轴向右平移8个单位长度得到直线，直线与y轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为－2
(1)求直线的解析式：
(2)连接AB，求的面积；
(3)若点P是直线上一动点，且满足，请直接写出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵直线与直线交点的A的横坐标为2， ∴把x=2代入得，y=1，
∴A（2，1）， ∵将直线沿x轴向右平移8个单位长度得到直线， ∴直线为：，
把y=-2代入得，，解得x=4， ∴C（4，-2）， 设直线的解析式为y=kx+b， 代入A、C的坐标得，解得 ， ∴直线的解析式为；
（2）由直线的解析式为可知D（0，4），由直线为：可知B（0，-4），
∴BD=8， ∵A（2，1），C（4，-2）， ∴S△ABC=S△BCD-S△ABD=×8×4- ×8×2=8；
（3）∵S△ABP=2S△ABC， ∴S△ABP=16， 当点P在A的上方时，S△ABP=S△OBP-S△OAB，
∴ OB•x- OB•x=16，即 ×4•x- ×4×2=16， 解得x=10， 把x=10代入y=x得，y=5，
∴此时P（10，5）； 当点P在A的下方时，S△ABP=S△OBP+S△OAB， ∴ OB•（-x）+ OB•x=16，
即×4•x-×4×2=-16， 解得x=-6， 把x=-6代入y=x得，y=-3， ∴此时P（-6，-3）；
综上，点P的坐标为（10，5）或（-6，-3）．
24．（青竹湖）已知，如图，点A坐标为（6，0），直线y＝﹣x﹣2交y轴于点B．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）若点C为直线y＝﹣x﹣2上第四象限内一点，且满足△ABC的面积为13，求点C的坐标；
【解答】解：（1）对于y＝﹣x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，故点B（0，﹣2），
设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线AB的表达式为y＝x﹣2；
（2）连接OC，则△ABC的面积＝S四边形OBCA﹣S△AOB＝×OB×xC+AO×|yC|﹣×AO×OB＝13，
即×2×xC+×6×（﹣yC）﹣×2×6＝13，即﹣3yC+xC＝19①，而yC＝﹣xC﹣2②，
联立①②并解得，即点C（4，﹣5）．
25．如图，一次函数与轴交于点，一次函数与轴交于点，且它们的图像都经过点．
（1）则点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值；
（3）在（2）的条件下，在轴的右侧，以为腰作等腰直角，直接写出满足条件的点的坐标．
【详解】解：(1)将代入解析式中求出和的解析式中，即， ，
解得，∴，，令中，即，∴，故，
令中，∴，故答案为，；
(2)设直线交轴于点，则
∵且，∴，
∵，且，∴，∴；
(3)如图，以CP为边向右下方和右上方分别作正方形CPM1M2和正方形CPM3N，如下图所示，其中M3Q⊥PQ，M2H⊥x轴，M1K⊥y轴，
∵∠OPC+∠HPM2=90°，∠OPC+∠OCP=90°，∴∠OCP=∠HPM2，且∠COP=∠PHM2=90°，PC=M2P，
∴△OPC≌△HM2P，∴PH=OC=1，HM2=OP=，故此时M2的坐标为，
同理可证：△OPC≌△KCM1≌△QPM3，∴KM1=OC=QM3=1，CK=OP=QP=，∴M1的坐标为，M3的坐标为，故答案为：，，．
26．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴的正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
(1)求直线AM的函数解析式．
(2)如果在直线AM上有一点P，使得，请求出点P的坐标．
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：当x=0时，，∴点B的坐标为(0，8)；当y=0时，，解得x=3，
∴点A的坐标为(3，0) ，∵点M时线段OB的中点，∴点M的坐标为(0，4).设直线AM的函数解析式为，
将A(3，0)，M(0，4)代入得 ，解得，∴直线AM的函数解析式为.
（2）解：∵点P在直线AM上，∴设点P的坐标为，∵，
∴，即，解得，，∴点P的坐标为(0，4)或(6，-4).
（3）解：设点N的坐标为，分三种情况，如图所示：
当BM为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得，解得∴点的坐标为(-3，12)；
当AM为对角线时，由中点坐标公式得，解得，∴点的坐标为(3，-4)；
当AB为对角线时，由中点坐标公式得
，解得，∴点的坐标为(3，4)，综上所述，在坐标平面内是存在点N，使以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，点N得到坐标为(-3，12)，(3，-4)或(3，4).