（沪教版）数学八年级下册【单元测试】第二十二章 四边形（综合能力拔高卷）（2份，原卷版+解析版）

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沪教版八年级数学下册【单元测试】第二十二章 四边形（综合能力拔高卷）（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________本卷题型精选核心重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1．（2022·天津·八年级期末）若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（     ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根据多边形的外角和为360°，进行计算求解即可．【详解】解：∵多边形的外角和为360°∴多边形的边数为故选D．【点睛】本题考查了多边形的外角和．解题的关键在于明确多边形的外角和为360°．2．（2021·山东沂南·八年级期中）若n边形每个内角都为156°，那么n等于（     ）A．8 B．12 C．15 D．16【答案】C【分析】首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．【详解】解：由题意可知：n边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，则n=360°÷24°=15．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．3．（2022·全国·八年级单元测试）如图，把长方形沿EF对折，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠的性质及∠1＝50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．【详解】解：根据折叠以及∠1＝50°，得∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．∵AD∥BC，∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．（2022·广东茂南·八年级期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（     ）A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．【详解】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形；②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形；③添加∠ACB=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=B∠AC=45°，∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形；④∵矩形ABCD中，∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形；综上，①②③符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．5．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（     ）A．14 B．16 C．18 D．12【答案】B【分析】根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：，结合图形得出的周长为，再由中位线的性质得出，在中，利用勾股定理确定，即可得出结论．【详解】解：在正方形ABCD中，，，，∵F为DE的中点，O为BD的中点，∴OF为的中位线且CF为斜边上的中线，∴，∴的周长为，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，，∴，∴的周长为，故选：B．【点睛】题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键．6．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在中，对角线相交于点O，点E，F分别是的中点，连接，若，则的长为（     ）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【分析】根据已知条件可以得到是的中位线，则，再利用平行四边形的性质得出即可．【详解】解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，∴是的中位线，∴，又∵EF=2，∴OB=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线的判定定理及性质，平行四边形的性质是解题的关键．7．（2022·上海松江·八年级期末）如图，在等腰梯形中，，，，交于点．下列判断正确的是（　 　）A．向量和向量是相等向量 B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量 D．向量与向量的和向量是零向量【答案】C【分析】根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答．【详解】解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意．B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意．C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意．D、+＝2≠，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了等腰梯形的性质和平面向量，注意：平面向量既有方向又有大小．8．（2022·上海浦东新·八年级期中）已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（      ）A．； B．； C．； D．．【答案】D【分析】模长为1的向量称为单位向量，它的方向是不确定的，所以只有D选项符合题意.【详解】解：∵向量和都是单位向量，但它们的方向不确定，∴A、B、C不正确，D正确.故选D.【点睛】本题考查了单位向量的意义，同时也考查了向量的相等与和差计算，掌握单位向量的意义是解答本题的关键.9．（2021·重庆·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（      ）A．4＋4 B．6＋4 C．12 D．8＋4【答案】D【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4．【详解】解：过点F作FG⊥BC交于G点，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠EFA＝90°，设正方形的边长为x，∵EF＝2，∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx，在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2，∴（x﹣2）2＝4+（﹣x）2，解得x＝22，∴FC＝x﹣x＝2，∵∠ACB＝45°，∴FG＝CG，∴BG2，在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4，故选：D．【点睛】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．10．（2021·山东莱州·八年级期中）如图，在矩形纸片中，，．将矩形纸片沿折叠，使点与重合．有下列语句：①四边形是菱形；②；③；④．其中正确的有（      ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据折叠的性质及矩形的性质可得BH=DH=GD=BG，即可判定①正确；若设AG=x，则BG=DG=8-x，在Rt△AGB中由勾股定理建立方程可求得x，即AG的长，因此可判定②；连接BD，利用菱形的面积相等，可求得GH的长，从而可判定③；根据对②的判定可确定∠ABG是否为30°即可判定④．【详解】解：根据折叠的性质得：BH=DH，BG=GD，∠BHG=∠DHG，∠BGH=∠DGH ∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，AD=BC=8，∠A=90°∴∠DGH=∠BHG∴∠DGH=∠DHG∴GD=DH∴BH=DH=GD=BG∴四边形是菱形即①正确设AG=x，则BG=GD=8-x在Rt△AGB中，由勾股定理建立方程得： 解得：即AG的长故②正确如图，连接BD在Rt△ABD中，由勾股定理得： ∵，GD=AD-AG= ∴∴GH=7.5故③正确∵BG=GD=∴ ∵∠A=90°∴∠ABG≠30°即∠AGB≠60°∵∠BGH=∠DGH∴∠BGH+∠DGH≠120°从而∠BGH≠60°即④不正确故正确的有3个故选：C．【点睛】本题是矩形的折叠问题，有一定的综合性质，考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识，熟练掌握并灵活运用这些知识是解决本题的前提．二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。11．（2021·浙江·嵊州市三界镇中学八年级期中）已知一个正多边形的一个外角为36°，则该多边形的边数为______边．【答案】十##10【分析】因为多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，把外角和除以正多边形每个外角的度数就等于多边形的边数．【详解】解：360°÷36°=10，所以这个正多边形是正十边形．故填：十【点睛】本题考查了多边形的外角和定理．解题的关键是知道多边形外角和等于360°．12．（2022·上海市文来中学八年级期中）已知梯形ABCD中，，，，，则此梯形的面积是_______．【答案】3【分析】易证梯形ABCD是等腰梯形，分别求出梯形的高，上底DC的长，利用梯形的面积公式计算即可．【详解】解：过点D作，过点C作，垂足分别为E、F．∴四边形CDEF为矩形，∴，∵∠B=∠C，∠AED=∠BFC=90°，∴（AAS），∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：3【点睛】本题考查了梯形的面积公式运用，能够证明四边形ABCD是等腰梯形得到AE=BF是解题的关键．13．（2021·全国·八年级单元测试）如果一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的边数是___________．【答案】12【分析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和除以外角度数即可．【详解】解：∵一个正多边形的每个内角为∴它的外角为，，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．14．（2022·上海宝山·八年级期中）在平行四边形中，如果，，那么__________，__________．（用、表示） 【答案】          【分析】根据向量的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：， ．【点睛】本题考查了向量的问题，掌握向量的性质是解题的关键．15．（2021·福建省莆田市中山中学八年级期中）如图，菱形的对角线交于点O，，点E是边的中点，连接，则__________．【答案】2.5【分析】根据菱形的性质：对角线互相垂直，利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜边的中线的性质OE＝BC，即可求出OE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OC＝AC＝3cm，OB＝BD＝3cm，在Rt△BOC中，BC＝＝5cm，∵点E是BC边的中点，∴OE＝BC＝2.5cm，故答案为：2.5．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，得出OE＝BC是解题关键．16．（2022·全国·八年级单元测试）如图，在梯形中，，，，、分别是、的中点，是直线上的一点，则的最小值为______.【答案】【分析】连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，然后根据题意可知，梯形为等腰梯形，从而判断出直线MN即为梯形的对称轴，由此可知此时，即的最小值为AC的长，根据已知条件求出∠CAB=90°，∠BCA=30°，根据直角三角形的性质和勾股定理即可求出AC.【详解】解：连接AC，交MN于P，连接DP，此时的最小，理由如下∵梯形中，，∴梯形为等腰梯形，∴∠DCB=∠B，∠ADC=∠BAD∵、分别是、的中点，∴直线MN即为梯形的对称轴由对称可知：DP=AP∴此时，根据两点之间，线段最短，即可得：此时的最小且最小值为AC的长，∵，∠B＋∠BAD=180°∴∠DCB=∠B=60°，∠ADC=∠BAD=120°∵∴∠DAC=∠DCA=∴∠CAB=∠BAD－∠DAC=90°，∠BCA=∠DCB－∠DCA=30°在Rt△CAB中，BC=2AB=2，根据勾股定理可得：AC=故答案为【点睛】此题考查的是等腰梯形的性质、轴对称的性质和最短路径问题,掌握最短路径的画法及原理是解决此题的关键.17．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=_____（用，表示）．【答案】 【详解】解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，=，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为2+．18．（2022·湖南常德·八年级期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边，上，连接．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕，对折，点A落在直线上的点处，得折痕，则图中与互余的角是________（只需填写三个角）．【答案】∠B′EM，∠MEB，∠A′NE【分析】由折叠的性质得到∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，再由平角的定义得到NE与ME垂直，根据同角（等角）的余角相等，即可在图中找出与∠B′ME互余的角．【详解】解：由折叠及长方形ABCD可得：∠MB′E=∠B=90°，∠NA′E=∠A=90°，∠MEB=∠MEB′，∠AEN=∠A′EN，∵∠MEB+∠MEB′+∠AEN+∠A′EN=180°，∴∠MEB+∠AEN=∠MEB′+∠A′EN=90°，则图中与∠B′ME互余的角是∠B′EM，∠MEB，∠A′NE．故答案为：∠B′EM，∠MEB，∠A′NE．【点睛】本题考查了余角和补角，以及翻折变换，熟练掌握图形折叠的性质是解本题的关键．三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，共56分。19．（2021·广东海珠·八年级期末）已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．【答案】见详解．【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，，∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，四边形内角和是解题关键．20．（2021·上海·八年级期末）已知在与中，，点在同一直线上，射线分别平分． (1)如图1，试说明的理由；(2)如图2，当交于点G时，设，求与的数量关系，并说明理由；(3)当时，求的度数．【答案】(1)理由见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1），，可知，进而可说明；（2）如图1所示，连接并延长至点K，分别平分，则设，为的外角，，同理，，得；又由（1）中证明可知，，进而可得到结果；（3）如图2所示，过点C作，则，，可得，由（1）中证明可得，在中， ，即，进而可得到结果．【详解】解：(1)证明：又在和中．(2)解：．理由如下：如图1所示，连接并延长至点K分别平分则设为的外角同理可得即．又由（1）中证明可知由三角形内角和公式可得即．(3)解：当时，如图2所示，过点C作，则，即由（1）中证明可得在中，根据三角形内角和定理有即即即，解得：故．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的性质等知识，连接并延长，利用三角形外角性质证得是解题的关键．21．（2021·福建省莆田市中山中学八年级期中）如图，在等腰三角形中，，点D是中点，点E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接．(1)试判断四边形的形状，并加以证明；(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)矩形，见解析(2)120【分析】（1）由平行线的性质可知，根据题意可推出，即易证，得出．根据等腰三角形“三线合一”的性质可推出，，即，，从而即可推出四边形ADCF为矩形；（2）由点D是BC中点，可求出．在中，利用勾股定理可求出AD的长，最后利用矩形的面积公式计算即可．【详解】(1)解：∵，∴．∵点E是AD的中点，∴．∵，∴，∴．∵为等腰三角形，点D是BC中点，∴，，∴，．∵，即，∴四边形ADCF为矩形．(2)∵，，∴．∵，∴在中，，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质以及勾股定理．掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．22．（2021·全国·八年级期中）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）图1中，观察猜想线段M、NP的数量关系是 ，∠MNP的大小为 　 　；（2）把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MMP的形状，并说明理由；（3）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．【答案】（1）相等，；（2）等边三角形，理由见解析；（3）【分析】（1）先证明由，，得，再由三角形的中位线定理得与的数量关系，由平行线性质得的大小；（2）先证明得，再由三角形的中位线定理得，由平行线性质得，再根据等边三角形的判定定理得结论；（3）由，得，再由等边三角形的面积公式得的面积关于的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．【详解】解：（1），，，点、、分别为、、的中点，，，，，，，，，，，故答案为：；；（2）是等边三角形．理由如下：由旋转可得，，又，，，，，点、、分别为、、的中点．，，，，，，，，，，是等边三角形；（3）根据题意得，，即，，的面积，的面积的最大值为．【点睛】本题是三角形的一个综合题，主要考查了等边三角形的判定，三角形的中位线定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，解题的关键是证明三角形全等和运用三角形中位线定理使已知与未知联系起来．23．（2022·山东桓台·八年级期末）已知在四边形中，，分别是边，的中点．(1)如图1，若，，，．求的长；(2)如图2，若．求证：．【答案】(1)5(2)证明见解析【分析】（1）如图1，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理可求的长．（2）如图2，取的中点，连接，，可知分别是的中位线，且，在中，由勾股定理得，将，代入即可证明．【详解】(1)解：如图1，取的中点，连接，∵，，∴分别是的中位线∴，，，∴，，，∴∴在中，由勾股定理得∴的长为5．(2)证明：如图2，取的中点，连接，∵，，∴分别是的中位线∴，，，∴，∵∴在中，由勾股定理得∴∴．【点睛】本题考查了中位线，勾股定理．解题的关键在于灵活运用中位线的性质求解．24．（2022·上海静安·八年级期末）如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E在边BC上,DE∥AB,设.(1)用向量表示下列向量:; (2)求作: (保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法)【答案】（1），（2）见解析.【分析】（1）AD∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABED是平行四边形，然后利用平行四边形法则与三角形法则求解即可求得答案；（2）首先作，连接AF，则即为所求.【详解】解：（1）∵AD∥BC,DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴∴∴∴；(2)首先作，连接AF，则即为所求. 【点睛】此题考查平面向量，解题关键在于灵活运用向量的转化即可.25．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，点是射线上一动点，将线段绕点逆时针旋转60°得到线段，连接，．（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，求证：；（2）如图2，当点在菱形外部时，①试判断与的数量关系，并说明理由；②求证：；（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接、，若，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）①结论：BP=EC，证明见解析；②见解析；（3）120【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等即可．（2）①结论：BP=CE，证明△BAP≌△CAE（SAS），可得结论．②想办法证明CE平分∠ACD，再利用等腰三角形的三线合一的性质，可得结论．（3）证明EC⊥BC，利用勾股定理求出EC，可得BP=EC=24，再根据S四边形ABCP=AC•BP，求解即可．【详解】解：（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△PAE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，，∴△BAP≌△CAE（SAS）．（2）①解：结论：BP=CE．理由：如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△PAE是等边三角形，∴AP=AE，∠PAE=∠BAC=60°，∴∠BAP=∠CAE，在△BAP和△CAE中，，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP=CE．②证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°，∵△BAP≌△CAE，∴∠ACE=∠ABP=30°，∵△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴∠ACE=∠DCE，∵CA=CD，∴CE⊥AD．（3）解：如图3中，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=10，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD∥BC，∠ABO=30°，∴OA=OC=AB=5，∵EC⊥AD，∴EC⊥CB，∴∠ECB=90°，∴EC==24，∵△BAP≌△CAE，∴BP=EC=24，∵AC=2OA=10，BP⊥AC，∴S四边形ABCP=•AC•BP=×24×10=120．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．