（苏科版）数学七年级下册期末专题11 乘法公式(平方差公式和完全平方公式)压轴题八种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12899" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12899 \h 1
\l "_Tc14205" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc14205 \h 1
\l "_Tc32701" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc32701 \h 2
\l "_Tc15882" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc15882 \h 5
\l "_Tc9452" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc9452 \h 6
\l "_Tc5658" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc5658 \h 7
\l "_Tc28546" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc28546 \h 9
\l "_Tc16678" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc16678 \h 15
\l "_Tc17559" 【过关检测】 PAGEREF _Tc17559 \h 18
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
2．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：
(1)； (2)．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）关于的二次三项式是完全平方式，则的值是______________．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题：（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值．其中x＝2，y＝-1．
【变式训练】
1．（2022·广东·深圳大学附属教育集团外国语中学七年级期中）先化简再求值：，其中a＝﹣，b＝﹣2．
2．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a﹣b＝5，ab＝3，求代数式的值．
【变式训练】
1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣4）2﹣2×3＝10．
已知a+b＝6，ab＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．
(1)a2+b2；
(2)a2﹣ab+b2．
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【变式训练】
1．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，种纸片是边长为的 正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形， 并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．
(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形， 则需要号卡片 1 张，号卡片 2 张，号卡片________张．
(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：
①已知 ：，，求的值；
②已知，求的值．
2．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列等式中，能成立的是（ ）
A． B．
C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）已知：，，则（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（ ）
A．5B．25C．37D．6
4．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知是完全平方式，则m的值（ ）
A．4B．9C．16D．
5．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
6．（2022春·陕西西安·七年级校考期中）化简：____．
7．（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）若，则___．
8．（2023春·七年级课时练习）若，那么的值为 __．
9．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）已知关于x的多项式是完全平方式，则k的值为_______．
10．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（其中a>b）（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的乘法公式是_______________________ ．
三、解答题
11．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）计算：．
12．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）计算：
13．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
14．（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）先化简，再求值，其中，，．
15．（2022春·甘肃兰州·七年级统考期末）先化简，再求值：
已知，求代数式的值．
16．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）解答题：
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)先化简，再求值，其中，．
17．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）（1）如图1，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是________；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为________；宽为________；面积为________．
（2）由（1）可以得到一个公式：________．
（3）利用你得到的公式计算：．
18．（2022秋·广西南宁·八年级校考期中）阅读材料：完全平方公式是．选取二次三项式中两项，配成完全平方式的过程叫配方，例如：叫配方
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，将二次三项式配方得：（______）______；
∴______0（填“>”，“