（人教版）数学八年级下册期末压轴题培优训练专题01 二次根式（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·湖南永州·八年级统考期末）设S=，则不大于S的最大整数[S]等于( )
A．98B．99C．100D．101
【答案】B
【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99．
【详解】∵
=
=，
∴S=+++ …+
=
=
=100-，
∴不大于S的最大整数为99．
故选B.
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础．
2．（2022春·湖南·八年级校联考期中）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是( )
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．
【详解】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式=．
故选B．
【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
3．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学名校校考）当时，多项式的值为( ).
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】由原式得，得，原式变形后再将代和可得出答案.
【详解】∵，
，即，
．
原式．
【点睛】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，学会转化.
4．（2022·辽宁丹东·八年级名校校考）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【详解】设，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴原式，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
5．（2022·湖南·八年级期末）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．
【详解】
∴a的小数部分为，
∴b的小数部分为，
∴，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
6．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．
7．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中名校校考）已知，将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，再将的整数部分加上的小数部分的倒数得到，以此类推可得到，，……，．如的整数部分为1，小数部分为，所以．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
①；②的小数部分为；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据定义找到的规律，再逐个判断即可．
【详解】解：由题意得，，它的整数部分为2，小数部分为；
，它的整数部分为4，小数部分为；
，它的整数部分为5，小数部分为；
，它的整数部分为7，小数部分为；
，它的整数部分为8，小数部分为；
，它的整数部分为10，小数部分为；
∴n为奇数时，，它的整数部分为，小数部分为；
n为偶数时，，它的整数部分为，小数部分为；
∴①，正确；
②的小数部分为，错误；
③，正确；
④
，错误；
⑤
，正确；
综上所述，正确的是①③⑤,共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查的是数字类规律探究、估算无理数的大小，二次根式的混合运算，通过计算找到规律是解题的关键．
二、填空题
8．（2022·上海普陀·八年级名校校考）在实数范围内分解因式：_____________.
【答案】
【分析】先提取，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．
9．（2022·四川内江·八年级四川省内江市第六中学名校校考）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则__．
【答案】33或127/127或33
【分析】根据“神奇区间”的定义，还有二元一次方程正整数解这两个条件，寻找符合的情况．
【详解】解：“神奇区间”为，
、为连续正整数，
，， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，
符合条件的，有，，；，，．
，，时，，，
，
，
，，时，，，
，
，
故的值为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新定义，估算无理数大小，二元一次方程整数解相关知识，综合考查学生分析、计算能力．
10．（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是___.
【答案】3
【分析】先估算,再估算,根据6－的整数部分为x,小数部分为y,可得: x=2, y=,然后再代入计算即可求解.
【详解】因为,
所以,
因为6－的整数部分为x,小数部分为y,
所以x=2, y=,
所以(2x＋)y=,
故答案为:3.
【点睛】本题主要考查无理数整数部分和小数部分,解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法.
11．（2023春·全国·八年级名校校考）已知，则2x﹣18y2＝_____．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质将已知化简，再将原式变形求出答案．
【详解】解：∵一定有意义，
∴x≥11，
∴﹣|7﹣x|+＝3y﹣2，
﹣x+7+x﹣9＝3y﹣2，
整理得：＝3y，
∴x﹣11＝9y2，
则2x﹣18y2＝2x﹣2（x﹣11）＝22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，属于提高题．
12．（2022·全国·八年级名校校考）已知，则的值是_____________．
【答案】9
【分析】先将原等式变形为，再根据平方的非负性可得，，，由此可求得a、b、c的值，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质和灵活应用完全平方公式是解决此题的关键．
13．（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学名校校考）若，则的值为______．
【答案】2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
14．（2022春·北京·八年级北京八中名校校考）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【答案】或或
【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
15．（2022·全国·八年级名校校考）按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用、、表示一个数列，可简记为，现有数列满足一个关系式，则_______．
【答案】143
【分析】根据数列的关系式，计算、、、，总结规律，证明规律成立，继续计算各项，即可求和．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
归纳可得：，
假设当时成立，有
，，
则
故答案为：143．
【点睛】本题考查了数列规律的归纳与二次根式的应用，发现的结果出现的规律是解题关键．
三、解答题
16．（2022·北京门头沟·八年级统考期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：．
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么x ＝ ；
（3）如果，求x的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解；
（2）根据得到，解分式方程即可求解；
（3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴=，
∴ ，
解得，
经检验，是方程的解，
故答案为：-1；
（3）∵-2＜0，
∴=-2+x．
①当时，
，
解得：，
经检验是原方程的解，但不符合，
∴舍去．
②当时，
，
解得：．
经检验是原方程的解，且符合．
∴．
【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论．
17．（2022·四川内江·八年级四川省内江市第六中学名校校考）（1）一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬1个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为p．
①则p的值= ；
②若p的小数部分为k，求的值．
（2）已知与互为相反数，
①则的平方根 ；②解关于x的方程．
（3）已知正实数x的平方根是m和．
①当时，则m ；②若，求x的值．
【答案】（1）①；②9；（2）①；②；（3）①；②4
【分析】（1）①根据题意，向右移动则用加，据此可表示出B表示的数；
②先根据无理数的估算求得k，进而代入计算即可；
（2）互为相反数的两个数的和为0，从而可求得a，b的值，再代入①②进行运算即可；
（3）正实数的平方根互为相反数，则有，得到，再代入①②进行求值即可．
【详解】解∶（1）①由题意得∶点B表示的数为∶；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴p的小数部分为，
∴；
（2）∵与互为相反数，
∴，
则，
解得∶，
①当时，
，16的平方根为∶；
②当时，化为
，
解得∶；
(3) ∵正实数x的平方根是m和，
∴，
得∶，
①当时，，
解得∶；
②∵，，
∴，
，
，
则，
解得∶，
∵x是正实数，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，非负数性质，算术平方根，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
18．（2023春·安徽合肥·八年级合肥38中名校校考）先观察下列等式，再回答问题：
① =1+1=2；
②=2+ =2 ；
③=3+=3；…
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析．
【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；
（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立．
【详解】（1）∵①1+1=2；②22；③33；里面的数字分别为1、2、3，
∴④ ．
（2）观察，发现规律：1+1=2，223344，…，∴ ．
证明：等式左边=n右边．
故n成立．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
19．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中名校校考）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，分别表示三边之长，表示周长之半，即．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．
请你利用公式解答下列问题．
（1）在中，已知，，，求的面积；
（2）计算（1）中的边上的高．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据公式求得p=9，然后将AB、AC、BC和P的值代入公式即可求解；
（2）根据三角形面积公式，且已知BC的长和三角形的面积，代入即可求解．
【详解】解：（1），
所以，
答：的面积是．
（2）边上的高，
答：边的高是．
故答案为（1）；（2）．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，属于新定义题型，重点是掌握题目中给出的公式，代入相应值．
20．（2023·江西宜春·八年级校考期末）阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y  ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)m 是正整数， a ，b 且．求 m．
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)m=2
(3)
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出再由进行变形再求值即可；
（3）先得到，然后可得，最后由，求出结果
【详解】（1）原式
，
（2）∵a ，b ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴2，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由得出，
∴，
∵，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．