（人教版）数学八年级下册期末压轴题培优训练专题06 特殊平行四边形的动点问题（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022春·河北石家庄·八年级河北师范大学附属中学名校校考）如图，在Rt△ABC中，，正方形MNPQ的边长为2cm，点Q与点C重合，点N在AB上，正方形MNPQ沿CA 方向以1cm/s的速度运动，当点Q与点A重合时停止运动．设运动时间为ts，运动过程中正方形MNPQ与△ABC重叠部分的面积为S．当时，S与t之间的函数关系式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰直角三角形的性质，且，重合部分是等腰直角三角形，AP=PN=4-x，进而表示出函数关系式．
【详解】解： 在Rt△ABC中，
∴∠BAC=45°
在正方形MNPQ中
∠MQP=90°
∴当时，重合部分是等腰直角三角形
则AP=PN=4-t
∴S与t之间的函数关系式：
故选：A．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查等腰直角三角形的性质，正方形的性质以及三角形的面积公式．
2．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图1，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（ ）
A．25B．20C．12D．
【答案】C
【分析】连接AC交BD于O，根据图②求出菱形的边长为5，对角线BD为8，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO，再利用勾股定理列式求出CO，然后求出AC的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，a为点P在CD上时△ABP的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．
【详解】
如图，连接AC交BD于O，
由图②可知，BC=CD=5，BD=18-10=8，
∴BO=BD=×8=4，
在Rt△BOC中，CO==3，
AC=2CO=6，
所以，菱形的面积=AC•BD=×6×8=24，
当点P在CD上运动时，△ABP的面积不变，为a，
所以，a=×24=12．
故选：C．
【点睛】考核知识点：动点与函数图象．理解菱形基本性质，从函数图象获取信息是解决问题关键．
3．（2022春·河北秦皇岛·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【详解】解：由题意当0≤x≤4时，
y＝×AD×AB＝×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．
故选：D．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．（2022·山东淄博·八年级统考期末）已知▱ABCD，点E是边BC上的动点，以AE为边构造▱AEFG，使点D在边FG上，当点E由B往C运动的过程中，▱AEFG面积变化情况是（ ）
A．一直增大B．保持不变
C．先增大后减小D．先减小后增大
【答案】B
【分析】延长BE，与GF的延长线交于点P，先证明四边形ADPE是平行四边形，再证明△AGD≌△EFP，得出平行四边形AGFE的面积等于平行四边形ADPE的面积，又AD∥BP，根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．所以根据图示进行判断即可．
【详解】解：设△ABE，△ECH，△HFD，△DGA的面积分别为S1、S2、S3、S4，
延长BE，与GF的延长线交于点P．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BP，∠ADG＝∠P．
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，AE∥DP，AG＝EF，
∴∠G＝∠EFP．
∵AD∥BP，AE∥DP，
∴四边形ADPE是平行四边形．
在△AGD与△EFP中，
∴△AGD≌△EFP（AAS），
∴S4＝S△EFP，
∴S4+S四边形AEFD＝S△EFP+S四边形AEFD，
即S▱AEFG＝S▱ADPE，
又∵▱ADPE与▱ADCB的一条边AD重合，且AD边上的高相等，
∴S▱ABCD＝S▱ADPE，
∴平行四边形ABCD的面积＝平行四边形AEFG的面积．
故▱AEFG面积不变，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形面积变化情况，解题的关键是根据两平行线之间的距离处处相等得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形ADPE的面积，进而得出平行四边形ABCD的面积等于平行四边形AEFG面积．
5．（2022·广东韶关·八年级校考期末）如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
【答案】C
【分析】是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．
【详解】解：连接AC，BD，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∴和都是等边三角形．
点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：
（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．
∵是等边三角形，是 BC的中点，
∴．
∴．
∴是直角三角形．
（2）当点P与点C重合时，记作．
此时，是等边三角形；
（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．
∵和都是等边三角形，
∴．
∴是直角三角形．
（4）当点P与点D重合时，记作．
∵，
∴是等腰三角形．
综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：
直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．
故选：C
【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等边三角形的性质与判定等知识点，熟知特殊三角形的判定方法是解题的关键．
6．（2022·北京·八年级名校校考）如图，平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x轴上取一点P（m，0），过点P作直线l垂直于直线OA，将OB关于直线l的对称图形记为O′B′，当O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点时，m的取值范围为（ ）
A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6
【答案】D
【分析】根据题意可以作出合适的辅助线，然后根据题意，利用分类讨论的方法可以计算出m的两个极值，从而可以得到m的取值范围．
【详解】解：如图所示，
当直线l垂直平分OA时，O′B′和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵点A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝30°，OB＝2，
∴OA＝4，
∵直线l垂直平分OA，点P（m，0）是直线l与x轴的交点，
∴OP＝4，
∴当m＝4；
作BB″∥OA，交过点A且平行于x轴的直线与B″，
当直线l垂直平分BB″和过A点且平行于x轴的直线有交点，
∵四边形OBB″O′是平行四边形，
∴此时点P与x轴交点坐标为（6，0），
由图可知，当OB关于直线l的对称图形为O′B′到O″B″的过程中，点P符合题目中的要求，
∴m的取值范围是4≤m≤6，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化−对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
7．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状不可能是（ ）
A．平行四边形B．菱形C．正方形D．矩形
【答案】C
【分析】根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况，由此可得结论．
【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，
∴ AO＝CO，CDAB，
∴∠OAE＝∠OCF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，
当点E和点B重合时，四边形AECF是矩形，
可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形，不可能是正方形，
故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根据EF与AC的关系即可求解．
8．（2022春·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学名校校考）如图，在ABCD中，∠ABC=45°，BC=4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（ ）
①AEBF的面积先由小变大，再由大变小；②AEBF的面积始终不变；③线段EF最小值为
A．①B．②C．①③D．②③
【答案】D
【分析】根据题意，过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，利用解直角三角形求出BG的长度，则，即可判断①②；由菱形和矩形的性质，即可求出EF的最小值，可判断③．
【详解】解：过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，
在ABCD中，则AB∥CD，
∴∠BCG=∠ABC=45°，
在Rt△BCG中，BC=4，
∴BG=，
∵，
∵AB为定值，则AEBF的面积始终不变；故②正确，①错误；
当EF⊥AB时，线段EF的长度最小，
∴四边形BGFH是矩形，四边形AEBF是菱形，
∴，
∴，
∴线段EF最小值为；故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确确定点F的位置进行求EF的最小值．
9．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AB．
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD∥AB．
又点O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=1.5，
∴ED=2OD=3．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
10．（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在矩形ABCD中，点O为对角线的交点，点E为CD上一点，沿BE折叠，点C恰好与点O重合，点G为BD上的一动点，则EG+CG的最小值m与BC的数量关系是（ ）
A．m=BCB．m=BCC．m=BCD．2m=BC
【答案】C
【分析】是等边三角形，延长交于，连接交于，连接，由题意、关于对称，推出，当、、共线时，的值最小，最小值为的长.
【详解】如图，由题意，，
是等边三角形，
延长交于，连接交于，连接，
由题意、关于对称，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
设，，
在中，，，
，
在中，，
，
，
.
故选：.
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，翻折变换，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.
二、填空题
11．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，
∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°
∴在直角△PBH中，∠PBH=30°
∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,
∴MC=7
又∠MPC=60°
∴MH=MCsin60°=
故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
12．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动（其中）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为______．
【答案】4.8或8或9.6
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
当点Q的运动路线是C—B时，则12-4t=12-t，
解得：t=0，不符合题意；
点Q的运动路线是C—B—C，则4t-12=12-t，
解得：t=4.8；
点Q的运动路线是C—B—C—B，则12-（4t-24）=12-t，
解得：t=8；
点Q的运动路线是C—B—C—B—C，则4t一36=12-t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8或8或9.6．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
13．（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当一点到达终点停止运动时，另一点也停止运动，则运动时间为________秒时，直线在四边形内部截出一个平行四边形．
【答案】5或6
【分析】首先根据题意设点P、Q运动的时间为t秒，则CQ = t ，AP =2t，则BQ=BC－CQ =15－t，PD= AD－AP =18－2t，分以下情况讨论：①当BQ = AP时，四边形APQB是平行四边形，则15－t =2t，②当CQ = PD时，四边形CQPD是平行四边形，则t =18-2t，解出t即可求出本题的答案．
【详解】解：设点P、Q运动的时间为t秒根据题意可得：CQ = t ，AP =2t，
则BQ=BC－CQ =15－t，PD= AD－AP =18－2t，则有以下情况：
①当BQ = AP时，四边形APQB是平行四边形，则15－t =2t，解得 t =5；
②当CQ = PD时，四边形CQPD是平行四边形，则t =18-2t，解t =6；
综上可得，答案为5或6秒．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，能够进行正确的分类计算是解决本题的关键．
14．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=12cm，点P从点A向点D以每秒1cm的速度运动，Q以每秒4cm的速度从点C出发，在B、C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止（同时点Q也停止），这段时间内，当运动时间为___________________时，P、Q、C、D四点组成矩形．
【答案】2.4s或4s或7.2s
【分析】由已知可得：当点P到达点D时，点Q将由C-B-C-B-C运动，根据矩形的性质列方程即可求解．
【详解】根据已知可知：当点P到达点D时，点Q将由C-B-C-B-C运动，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，∠D=90°，
∴PDCQ，
若PD=CQ，则四边形APQB是矩形，
由题意得DP=12-t，
当0≤t≤3时，CQ=4t，12-t=4t，
∴t=2.4（s），
当3＜t≤6时，CQ=24-4t，12-t=24-4t，
∴t=4（s），
当6＜t≤9时，CQ=4t-24，12-t=4t-24，
∴t=7.2（s）；
当9＜t≤12时，CQ=48-4t，12-t=48-4t，
∴t=12（s），此时PQ与DC重合，无法构成矩形，故舍去，
故答案为：2.4s或4s或7.2s．
【点睛】考查了矩形的性质与平行四边形的判定与性质，解题关键是要注意数形结合与方程思想的应用．
15．（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，平行四边形中，cm，cm，点在边上以每秒1cm的速度从点、A向点运动，点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止）在运动以后，当 ______ 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
【答案】4.8s或8s或9.6s
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，
以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况：点的运动路线是，方程为，
此时方程，此时不符合题意；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
点的运动路线是，方程为，
解得：s；
综上所述，4.8s或8s或9.6s时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．解题的关键是求出符合条件的所有情况，注意分类讨论思想的应用．
三、解答题
16．（2022春·辽宁大连·八年级统考期末）如图1，矩形ABCD中，P，Q两动点同时从点B出发，点P沿BA→AD以2cm/s的速度向终点D匀速运动，点Q沿BC→CD以cm/s的速度向终点D匀速运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动．设点P的运动时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2）．当点P运动到如图2所示的位置时，点Q与点C重合，，，．
(1)求AB、AD的长；
(2)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【答案】(1)AB、AD的长分别为4，6
(2)
【分析】（1）根据勾股定理直接计算AB、AD的长即可；
（2）根据点P、Q的运动位置进行分类，分别画图表示相应的△BPQ的面积即可．
（1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，．
∵在中，，，
∴．
∴
∵在中，，
∴．
∴．
∴．
∴AB、AD的长分别为4，6．
（2）
①如图2，当时，
∵，，
∴．
②如图3，当时，过点P作，垂足为E．
∴．
∴四边形ABEP是矩形．
∴．
∵，
∴．
③如图4，当时，
∵，，，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
综上所述，
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，以及三角形面积的表示，根据动点的位置进行分类讨论是解决问题的关键．
17．（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，在菱形中，．动点P从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动；在点P出发的同时，动点Q从点B出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒．作交于点E，作交于点F，与交于点M．点P运动的时间为t秒．
(1)菱形的周长为______．
(2)当时，求的长．
(3)设四边形的周长为y，求y与t之间的函数关系式．
(4)当点M落在菱形的对角线上时，直接写出t值．
【答案】(1)24
(2)2
(3)
(4)2或4
【分析】（1）根据菱形四条边长度相等即可求解；
（2）先证四边形是平行四边形，推出．再根据速度、时间、路程的关系求出即可；
（3）先证四边形是平行四边形，再分和两种情况讨论即可；
（4）时，动点Q沿运动，点M可能落在对角线上；当时，动点Q沿运动，点M可能落在对角线上．画出大致图形，利用平行线分线段成比例定理的推论即可求解．
【详解】（1）解：菱形中，，
菱形的周长为；
（2）解：四边形是菱形，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
当时，，
．
即当时，的长是2；
（3）解：，，，
四边形是平行四边形．
根据动点P和动点Q的速度和运动方向可知：
当时，动点Q沿运动，
，，
四边形的周长；
当时，动点Q沿运动，
，，
四边形的周长；
综上，y与t之间的函数关系式为；
（4）解： 当时，动点Q沿运动，，，
，，
当动点M落在菱形的对角线上时，如图所示：
在中，，
，即，
解得；
当时，动点Q沿运动，
，，
，，
当动点M落在菱形的对角线上时，如图所示：
在中，，
，即，
解得；
综上可知，当点M落在菱形的对角线上时， t的值为2或4．
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的推论等知识点，解题的关键是注意不同时间段内动点Q的运动方向不同．
18．（2022·吉林长春·八年级长春市第八十七中学校考期末）如图，长方形中，，，，动点P从点B出发，以每秒的速度沿的方向，向终点D运动；动点Q从点B出发以每秒的速度沿的方向向终点C运动．以为边向右上方作正方形，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点同时出发，运动时间为t秒．
(1)当时，＝______（用含t的代数式表示）；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当正方形与长方形的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S（用含t的代数式表示）；
(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，
(4)当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形
【分析】（1）根据题意可得当时，；
（2）证明，则，即，求t的值即可；
（3）画出图形，当时，正方形在长方形的内部；当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，当M点运动到D点处时，当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，则可知 时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；则时，正方形与长方形的重叠部分为四边形；
（4）由（3）的讨论直接求解即可．
【详解】（1）当时，；
故答案为：；
（2）如图1，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（3）由（2）知，时，正方形在长方形的内部，
∴，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
∴；
如图2，当P点运动到A点处，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形，
如图3，当M点运动到D点处时，
∵，
∴，
解得，
∴当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形，
∴时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
如图4，当Q点运动与C点时，，此时正方形与长方形的重叠部分为三角形；
∴时，正方形与长方形的重叠部分为四边形，
如图5，

＝
＝；
综上所述：当时，；当时， ；
（4）由（3）可知当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
当时，正方形与长方形的重叠部分为三角形；
综上所述：当或时，正方形与长方形的重叠部分为三角形．
【点睛】本题是四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
19．（2023·吉林长春·八年级校考期末）如图，在长方形中，，，点为延长线上一点，且，点从点出发，沿———向终点运动．同时点从点出发，沿———向终点运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设的面积为，点运动的时间为秒．
(1)当时， ；当时， ．
(2)当时，用含的代数式表示．直接写出结果并化简．
(3)当点在边上，且为等腰三角形时，直接写出的取值或者范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)秒或秒或秒
【分析】（1）分别求出当和时的值，再利用三角形面积公式即可得解；
（2）当时，画出大致图形，分三种情况讨论，利用面积公式即可得答案；
（3）当点在边上时，点在边上，要是为等腰三角形，画出大致图形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出含参数的方程即可解出答案．
【详解】（1）解：根据题意，
当时，，，
∴；
当时，，的高为，
∴；
故答案为：，；
（2）解：当时，如图所示，
∵，，
∴；
当时，如图所示，
∵，的高为，
∴；
当时，如图所示，
∵，，，，
∴
；
∴；
（3）解：当点在边上，且为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，如图所示，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），
∴；
②当时，如图所示：
设，则，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴；
③当时，如图所示：
∴，，，
∴，
，
∴，
解得或（舍去），
∴；
综上所述，的值为秒或秒或秒．
【点睛】本题考查矩形的动点问题，三角形的面积问题及勾股定理等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
20．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，已知梯形中，，，，．
(1)求梯形的面积S；
(2)动点从点出发，以的速度，沿方向，向点运动：动点从点出发，以的速度，沿方向，向点A运动，过点作于点．若、两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为秒．问：
①在运动过程中，是否存在这样的，使得以、、为顶点的三角形恰好是以为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
②在运动过程中，是否存在这样的，使得以、A、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①存在，当时，使得以、、为顶点的三角形恰好是以为底的等腰三角形；②存在，使得以P、A、D为顶点的三角形与△COE相似，或
【分析】（1）作交于，即易证四边形是平行四边形，从而可求出
，，．再利用勾股定理逆定理即可证，最后利用梯形的面积公式计算即可；
（2）在图的基础上作于G，易证四边形是矩形，即得出，．又易证∽，得出，从而可用t表示出，，，．，即可利用勾股定理得出最后根据等腰三角形的定义列出等式，解出t即可；分类讨论当∽时和当∽时，根据对应边成比例计算即可．
（1）
如图，作交于，

，
∴四边形是平行四边形，
，，
．
∵，即，
，
，
；
（2）
如图，在图的基础上作于G，

由题意可知．
∵，
四边形是矩形，
，．
∵，
∽，
∴，
，
，，
，．
在中，，
，
由得，，
解得：，舍去，
当时，使得以、、为顶点的三角形恰好是以为底的等腰三角形；
如图，

当∽时，
，
，即，
，
；
当∽时，
∴，即，
，
．
综上所述：或．
【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理和勾股定理逆定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．