（人教版）数学八年级下册期末压轴题培优训练专题08 一次函数与方程、不等式综合（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学名校校考）一次函数与在同一平面直角坐标系内的图象如图所示，则不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】C
【分析】根据两个一次函数的图象可得不等式的解集，进一步可得不等式组的解集．
【详解】解：观察函数图象得到
不等式的解集为，
不等式的解集为；
所以不等式组的解集为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
2．（2023·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，点在轴上，点在函数图像上，均垂直于轴，若均为等腰直角三角形，则的面积是（ ）
A．16B．64C．256D．1024
【答案】C
【分析】根据可得，，因为为等腰直角三角形，可得出，则，因为均为等腰直角三角形，则，可得均为等腰直角三角形，故，同理可得，则，根据规律求出，然后根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵对于，当时，；当时，，
∴．
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
同理可得，
则，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．
3．（2023春·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校联考期中）一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（ ）
①关于的方程的解为；
②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：；
③若（），则；
④若，且，则当时，．
A．②③④B．①②④C．①②③D．①②③④
【答案】B
【分析】根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数法求出，结合一次函数的性质即可判断②；求出，结合，即得出，解得或，故③错误；将代入，即可求出 ，进而可得出，且，画出大致图像，可得出当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，即，可判断④正确．
【详解】解：∵一次函数与的图像交于点，
∴联立的解为，
即方程的解为，故①正确；
将代入，得：，
解得：，
∴．
∵，
∴对于一次函数，y的值随x的增大而减小，
∴当时，；当时，，
∴无论何时与都为异号，
∴，故②正确；
∵，且，
∴．
∵，
∴，
∴或，
∴或，故③错误；
将代入，得：，
∴．
∵，且，
∴，且，
∴画出图像如图所示．
由图可知当时，一次函数的图像位于一次函数的图像上方，
∴当时，，故④正确．
故选B．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质，绝对值的性质等知识．熟练掌握一次函数的图像和性质是解题关键．
4．（2022·福建漳州·八年级名校校考）在平面直角坐标系中，一次函数 和 ，无论 取何值，始终有 ， 的取值范围为（ ）
A．B．C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据一次函数的图象和性质分别判断．
【详解】由题意可知：∵一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 过定点 ，
∵①时， ，两直线平行时，始终有 ，
∴ ．
②当 时，设经过点 的直线为 ，有
，
解得：
∴

∵一次函数 的图象过定点 ，
不论 取何值，始终有 ，
∴
∴综上解得： 或．
即：且
故选：D
【点睛】本题考查一次函数综合问题， 充分掌握一次函数的图象和性质是求解本题的关键．
5．（2022·江西吉安·八年级统考期末）某二元方程的解是（为实数），若把看作平面直角坐标系中点的横坐标，看作平面直角坐标系中点的纵坐标，下面说法正确的是（ ）
A．点一定不在第一象限B．点一定不在第二象限
C．随的增大而增大D．点一定不在第三象限
【答案】A
【分析】根据两个式子消去m，即可得到y与x之间的函数关系式，根据关系式即可判断．
【详解】由x=m-1得：m=x+1代入y=-2m+1，
得：y=-2x-1，
是一次函数，且经过第二，三，四象限．不经过第一象限，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），正确进行消元，把方程组的问题转化为函数式是解题关键．
6．（2022春·广东云浮·八年级统考期末）对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据定义先列不等式：和，确定其，对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】解：由题意得：，解得：，
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
当时，，
当时，，，
由图象可知：此时该函数的最大值为；
综上所述，，的最大值是当所对应的的值，
如图所示，当时，，
故选：C
【点睛】本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
7．（2022·浙江·八年级期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②函数不经过第二象限．③不等式的解集是． ④，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【答案】B
【分析】根据图象交点横坐标是4，和图象所经过象限可以判断．
【详解】解：由图象可得：对于函数来说，从左到右，图象上升，y随x的增大而增大，故①正确；
由图象可知，a＞0，d＞0，所以函数的图象经过第一，二，三象限，即不经过第四象限，故②错误，
由图象可得当时，一次函数图象在的图象上方，
不等式的解集是，
移项可得，，解集是，故③正确；
∵一次函数与的图象的交点的横坐标为4，
∴
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象的性质和一次函数与不等式的关系，解题关键是树立数形结合思想，理解图象反应的信息，综合一次函数、不等式、方程解决问题．
8．（2022·山东济南·八年级统考期末）定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤B．－2＜m≤C．－2＜m≤2D．－4＜m＜0
【答案】B
【分析】根据定义轴上存在即可求得，根据题意联立即可求得的范围，结合定义所求范围即可求解
【详解】∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点，
∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点．
∵
解得或
∴．
∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点，
∴直线y=x分别与直线和各有一个交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∴直线y=x与直线必有一交点．
对于直线y=x与直线，
联立可得解得
∵，
∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点．
∴．
∴．
∴m的取值范围是．
故选B
【点睛】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
9．（2022春·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（ ）
A．6B．C．9D．
【答案】D
【分析】作点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，则PA+PB的最小值即为A'B的长，先求出点A坐标，再待定系数法求出b的值，根据轴对称的性质可得点A'的坐标，进一步求出A'B的长，即可确定PA+PB的最小值．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：
则PA+PB的最小值即为的长，
将点A（3，a）代入y=2x，
得a=2×3=6，
∴点A坐标为（3，6），
将点A（3，6）代入y=x+b，
得3+b=6，
解得b=3，
∴点B坐标为（0，3），
根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）
∴，
∴PA+PB的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及两直线的交点问题，一次函数的性质，利用轴对称解决最短路径问题，熟练掌握轴对称的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
10．（2023·江苏镇江·八年级统考期末）一次函数（）与的图像如图所示，当时，，则满足条件的k的取值范围是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．或
【答案】B
【分析】联立与，求出两条直线交点的横坐标，根据当时，，结合图象列不等式，即可求解．
【详解】解：联立与，
得，
解得，
即一次函数（）与的图像的交点的横坐标为，
当时，，
，
当，即时，，
解得；
当，即时，，
解得，与矛盾，不合题意；
当k=-1时，两函数图象平行，满足题干要求，
当k=2时，两函数图象交于（1,1），由图象可知，满足题干要求，
又，
满足条件的k的取值范围是且，
故选B．
【点睛】本题考查根据两条直线的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
二、填空题
11．（2022·江苏扬州·八年级校考阶段练习）要研究使x，y满足的范围问题时，我们可以借助观察的图象解决．如图，阴影部分为满足的区域，若x，y满足条件，令，则M的取值范围为 _____．
【答案】/
【分析】根据题意确定x，y满足题设条件的区域，找到临界点A、B，即可求解．
【详解】解：由题意得，下图阴影部分（所在的区域）为x，y满足题设条件的区域，
联立，
解得：，即点，
对于，令，则，故点，
由得：，
则为直线与y轴交点的纵坐标，
如图，当直线：过点A时，此时最小，即M最大，
将点A坐标代入上式得：，解得：，
同理当直线：过点B时，此时最大，即M最小，
即，解得：，
故．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是一次函数的性质和图象，涉及到不等式等知识点，弄懂题意是解题的关键，题目综合性强，难度很大．
12．（2022·浙江湖州·八年级统考期末）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y=x+4上的一个动点，若∠EAB=∠ABO，则点E的坐标为_____________．
【答案】(－12，－8)；(4,8)
【分析】分两种情况：当点E在y轴右侧时，由条件可判定AE∥BO，容易求得E点坐标；当点E在y轴左侧时，可设E点坐标为（a，a+4），过AE作直线交x轴于点C，可表示出直线AE的解析式，可表示出C点坐标，再根据勾股定理可表示出AC的长，由条件可得到AC=BC，可得到关于a的方程，可求得E点坐标．
【详解】(1)当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，
∵∠EAB=∠ABO，
∴AE∥OB，
∵A（0，8），
∴E点纵坐标为8，
又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4，
∴E点坐标为（4，8）；
(2)当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，
设C（m，0），
∵∠EAB=∠ABO，
∴AC=BC，
∴（4-m）2=m2+82，
解得m=-6，
∴C（6,0）
∴直线AC的解析式为，
∵E是直线AC与y=x+4的交点
∴联立，解得
∴E（-12，-8）．
综上可知，E点坐标为（4，8）或（-12，-8）．
故答案为：（4，8）或（-12，-8）．
【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∥OB或AC=BC是解题的关键．本题难度未大，注意考虑全面即可．
13．（2022春·福建福州·八年级校考期末）已知一次函数，现给出以下结论：
①若该函数的图像不经过第三象限，则；
②若当时，该函数最小值为，则它的最大值为；
③该函数的图像必经过点；
④对于一次函数，当时，，则的取值范围为．
其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【分析】根据一次函数的性质求得的取值，即可判断①；根据一次函数的性质及图像上点的坐标特征即可判断②③；根据一次函数与不等式的关系即可判断④．
【详解】解：①∵一次函数的图像不经过第三象限，
∴，
解得：，故结论①不正确；
②如果，则随的增大而增大，那么当时有最小值，
∴，
解得：，与矛盾，舍去；
如果，则随的增大而减小，那么当时有最小值，
∴，
解得：，
∴，
∴当时，它的最大值为，
∴当时，该函数最小值为，则它的最大值为，故结论②正确；
③当时，，
∴该函数的图像必经过点，故结论③正确；
④把代入得，，
把，代入得，，
解得：，
∴对于一次函数，当时，，则的取值范围为，
当x=2，y=5时，，满足故结论④错误 ．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，一次函数图像上点的坐标特征，借助图像便于问题的解决．理解和掌握一次函数的性质是解题的关键．
14．（2022·安徽蚌埠·八年级名校校考）已知表示a，b，c…几个数中最大的那个数，表示a，b，c…几个数中最小的那个数，例如，则：
（1）______；
（2）已知函数，则______；
【答案】 4 2
【分析】（1）根据定义找到、4和1中最大的那个数即可；
（2）画出函数，和的图象，根据图象求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：4；
（2）函数，和的图象如下：
则虚线部分即为函数的图象，
设和的交点为点A，
则点A的纵坐标即为，
联立可得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题以及新定义的实数运算，利用数形结合的思想是解题的关键．
15．（2023·江西吉安·八年级统考期末）正方形按如图所示放置,点在直线上,点在轴上,则的坐标是_____.
【答案】
【分析】先求出A1、A2、A3的坐标，找出规律，即可得出答案．
【详解】解：∵直线y=x+1和y轴交于A1，
∴A1的坐标（0，1），
即OA1=1，
∵四边形C1OA1B1是正方形，
∴OC1=OA1=1，
把x=1代入y=x+1得：y=2，
∴A2的坐标为（1，2），
同理A3的坐标为（3，4），
…
An的坐标为（2n-1-1，2n-1），
故答案为（2n-1-1，2n-1），
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．
三、解答题
16．（2023·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与一次函数的图象交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长；
(3)直线经过定点，当直线与线段（含端点）有交点时k的正整数值是 .
【答案】(1)
(2)
(3)或2
【分析】（1）先求得点B的坐标，再运用待定系数法即可得到一次函数的解析式．
（2）设点C的横坐标为m，点D、E分别在y1、y2上，则，，由求出m，即可得的长．
（3）由图可知，将点B和点A代入直线，可确定k的范围，参考题意k取正整数值．
【详解】（1）当时，，
B点坐标为，
直线经过和，
则，
解得： ，
一次函数的解析式为．
（2）设点C的横坐标为m，则，，
，，
，
，解得，
，，
．
（3），
解得，
k取正整数值，
或2．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
17．（2023·江苏扬州·八年级统考期末）阅读并解决下面问题：定义：把函数中自变量作为横坐标，函数值作为纵坐标，我们把坐标叫做函数的函数坐标；反过来，把坐标中的横坐标看做自变量，纵坐标看作因变量，得到函数，我们把函数叫做坐标的坐标函数．
(1)坐标是函数 的函数坐标；（填函数表达式）
(2)已知，两点在同一直角坐标系中，则线段的最短距离是 ；
(3)如图，已知直线与两坐标轴分别交于，两点，与直线交于点，是直线上的动点，点横坐标为，过点作轴的平行线，交直线于点，且，求点的坐标；
(4)在（3）的条件下，点在的内部（不包括边界），则t的取值范围是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）直接根据定义即可得出答案；
（2）由定义可得：点在直线上，点在直线上，且，根据平行线间的距离即可求得答案；
（3）由题意得：，，可得，根据题意列方程求解即可；
（4）根据点在的内部（不包括边界），列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：根据定义可得坐标是函数的函数坐标；
（2）解：，，
点在直线上，点在直线上，
如图，
直线经过点，直线经过点，
则，
，
，
，，
直线与直线的距离为线段的长度，即线段的最短距离为线段的长度，
在中，；
（3）解：由题意得：，，
，
，
，
解得：或1，
当时，，
当时，，
综上所述，点的坐标为或；
（4）解：如图，由（2）知：点是直线上的动点，
由题意得，
解得：，
，，
在中，令，得，
解得：，
，
点在的内部（不包括边界），
，
解得：．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组及一元一次不等式之间的联系，平行线间距离等，运用数形结合与方程思想是解答本题的关键．
18．（2023·四川成都·八年级统考期末）已知直线：平行于直线，且过点．
(1)求直线的解析式；
(2)在如图的坐标系中，画出直线和：的图象，并根据图象直接写出方程组的解；
(3)若直线与x轴的交点为B，直线和的交点为C，以为边作，在第一象限是否存在点P，使得的面积为面积的2倍？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)方程组的解为；
(3)在第一象限存在点P，使得的面积为面积的2倍，P的坐标为或．
【分析】（1）根据两直线平行可知k的值，再将A点坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）画出图象，根据图象即可求解；
（3）由可得，即得，，设，
分两种情况：①当C为直角顶点时，，有（Ⅰ），又（Ⅱ），得出；②当B为直角顶点时，同理可得 ，即可得出．
【详解】（1）解：∵直线平行于，
∴，
将点代入，
得，
解得，
∴一次函数解析式：；
（2）画出直线：和：的图象，如图：
由图象可知，方程组的解为；
（3）在第一象限存在点P，使得的面积为面积的2倍，如图：
由可得，
∵，，
∴，，
设，
①当C为直角顶点时，
∵的面积为面积的2倍，
∴，
∴，
∴（Ⅰ），
∵，
∴（Ⅱ），
由（Ⅰ）（Ⅱ）可解得或，
∵P在第一象限，
∴；
②当B为直角顶点时，
同理可得 ，
解得或，（舍去），
∴，
综上所述，P的坐标为或．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，涉及直角三角形，解题的关键是用数形结合的思想解决问题．
19．（2023春·北京东城·八年级北京二中名校校考）已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)将一次函数的图象向下平移n个单位得到一次函数，若平移后的函数图象经过点，求n的值；
(3)在（2）的条件下，对于自变量x的每一个值，一次函数，和所对应的函数值分别记为，，．若当时，恒成立，请你直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）求出一次函数的图象与x轴交点，与y轴交点即可；
（2）根据平移得出，把代入求出n的值即可；
（3）根据一次函数的增减性，分或两种情况讨论，分别列出不等式组，求出m的取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴A点的坐标为，
把代入得：，
∴B点的坐标为；
（2）解：∵将一次函数的图象向下平移n个单位得到一次函数，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴平移后的函数解析式为，
∴将一次函数的图象向下平移3个单位得到一次函数，
∴n的值为3；
（3）解：∵函数与中，随的增大而增大，
∴在的范围内，，，
当时，函数中随的增大而增大，
∴在的范围内，，
∵在的范围内，恒成立，
∴
解得：，
∴此时；
当时，函数中随的增大而减小，
∴在的范围内，，
∵在的范围内，恒成立，
∴
解得：，
∴此时；
综上分析可知，当或时，在的范围内，恒成立．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴交点的问题，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，列出不等式．
20．（2022·四川成都·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：yx+3交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2⊥l1于点B．已知位于第三象限的点C在直线l2上，且AB＝BC．
(1)求点C的坐标；
(2)已知点N（，0）在x轴负半轴上，点M是AB上一点，连接MN，MC，则MN+MC的值最小，求点M的坐标；
(3)在（2）的条件下，若x轴上有一点P，使以M，N，P为顶点三角形是等腰三角形，直接写出满足条件的P点的坐标．
【答案】(1)点C的坐标为（-3，-1）；
(2)M点坐标为（，）；
(3)P点坐标为（-，0）或（--，0）或（，0）或（，0）．
【分析】（1）求出A点、B点的坐标，过点C作CD⊥y轴于点D，证明△BCD≌△ABO（AAS），由边的对应关系可求点C的坐标为（-3，-1）；
（2）求出直线BC的解析式为y=x+3，作C点关于直线AB的对称点C'，连结C'N交AB于点M，连结CM，此时MN+MC的值最小，先求出C'的坐标为（3，7），再求直线C'N的解析式为y=2x+1，则直线C'N与直线l1的交点即为点M；
（3）设P（t，0），求出MN2=（）2+（）2，MP2=（-t）2+（）2，NP2=（+t）2，分三种情况讨论：①当MN=MP时，P点坐标为（，0）；②当MN=NP时，P点坐标（-，0）或（--，0）；③当PM=PN时，P（，0）．
（1）解：∵令x=0，则y=3，∴B的坐标为（0，3），令y=0，则x=4，∴A的坐标为（4，0），∴AO=4，BO=3， 如图1，过点C作CD⊥y轴于点D，∴∠BDC=∠AOB=90°，∵直线l2⊥l1，∴∠ABC=90°，∴∠CBD=∠BAO，∵AB=BC，∴△BCD≌△ABO（AAS），∴BD=AO=4，CD=BO=3，∴点C的坐标为（-3，-1）；
（2）解：∵点B（0，3）和点C（-3，-1）直线l2上，设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴y=x+3，如图2，作C点关于直线AB的对称点C'，连结C'N交AB于点M，连结CM，由对称性可知，CM=C'M，∴MN+MC=MN+MC'≥NC'，此时MN+MC的值最小，∵l2⊥l1，∴B是C与C'的中点，设C'（x，y），∴x=3，y=7，∴C'的坐标为（3，7），直线C'N过C'（3，7）和N（-，0），设直线C'N的解析式为y=k'x+b'，∴，∴，∴直线C'N的表达式为y=2x+1，由题意，直线C'N与直线l1的交点即为点M，联立方程组，解得，
∴M点坐标为（，）；
（3）解：设P（t，0），∴MN2=（）2+（）2，MP2=（-t）2+（）2，NP2=（+t）2，①当MN=MP时，（）2+（）2=（-t）2+（）2，解得t=，∴P点坐标为（，0）；②当MN=NP时，（）2+（）2=（+t）2，解得t=-或t=--，∴P点坐标（-，0）或（--，0）；③当PM=PN时，（-t）2+（）2=（+t）2，解得t=，∴P（，0）；综上所述：P点坐标为（-，0）或（--，0）或（，0）或（，0）．
【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．