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一、单选题
1.(2023春·江苏无锡·八年级名校校考)已知点A(4,0),B(0,﹣4),C(a,2a)及点D是一个平行四边形的四个顶点,则线段CD的长的最小值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论,如果AB、CD为对角线,AB与CD交于点F,当FC⊥直线y=2x时,CD最小,根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式,进而通过求得点C坐标来求CD;如果CD是平行四边形的边,则CD=AB=,对比两种情况即可求得CD最小值.
【详解】解:如图,由题意点C在直线y=2x上,
如果AB、CD为对角线,AB与CD交于点F,当FC⊥直线y=2x时,CD最小,
易知直线AB为y=x﹣4,
∵AF=FB,
∴点F坐标为(2,﹣2),
∵CF⊥直线y=2x,
设直线CF为y=﹣x+b′F(2,﹣2)代入得b′=﹣1
∴直线CF为y=﹣x﹣1,
由 解得,
∴点C坐标(,).
∴CD=2CF=2×=.
如果CD是平行四边形的边,则CD=AB=>,
∴CD的最小值为.
故选B.
【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题,解本题的关键是找到何时CD最短.
2.(2023·陕西西安·八年级校考期末)甲、乙两车从A地出发,沿同一路线驶向B地.甲车先出发匀速驶向B地,40min后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时.由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了50km/h,结果与甲车同时到达B地.甲乙两车距A地的路程y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示,则下列说法中正确的有( )
①;②甲的速度是60km/h;③乙出发80min追上甲;④乙刚到达货站时,甲距B地180km.
A.4个B.3个C.2个D.1个
【答案】A
【分析】由线段DE所代表的意思,结合装货半小时,可得出a的值,从而判断出①成立;结合路程=速度×时间,能得出甲车的速度,从而判断出②成立;设出乙车刚出发时的速度为x千米/时,则装满货后的速度为(x-50)千米/时,由路程=速度×时间列出关于x的一元一次方程,解出方程即可得知乙车的初始速度,由甲车先跑的路程÷两车速度差即可得出乙车追上甲车的时间,从而得出③成立;由乙车刚到达货站的时间,可以得出甲车行驶的总路程,结合A、B两地的距离即可判断④也成立.综上可知①②③④皆成立.
【详解】∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时,
∴a=4+0.5=4.5(小时),即①成立;
40分钟=小时,
甲车的速度为460÷(7+)=60(千米/时),
即②成立;
设乙车刚出发时的速度为x千米/时,则装满货后的速度为(x−50)千米/时,
根据题意可知:4x+(7−4.5)( x−50)=460,
解得:x=90.
乙车发车时,甲车行驶的路程为60×23=40(千米),
乙车追上甲车的时间为40÷(90−60)=(小时), 小时=80分钟,即③成立;
乙车刚到达货站时,甲车行驶的时间为(4+)小时,
此时甲车离B地的距离为460−60×(4+)=180(千米),
即④成立.
综上可知正确的有:①②③④.
故选A.
【点睛】本题考查一次函数的应用——行程问题,解决此类题的关键是,要读懂图象,看清横纵坐标所代表的数学量,及每段图象所代表的情况.
3.(2023·广东深圳·八年级校联考期末)甲乙两车分别从A、B两地同时出发,甲车从A地匀速驶向B地,乙车从B地匀速驶向A地.两车之间的距离y(单位:km)与两车行驶的时间x(单位:h)之间的关系如图所示,已知甲车的速度比乙车快20km/h.下列说法错误的是( )
A.A、B两地相距360kmB.甲车的速度为100km/h
C.点E的横坐标为D.当甲车到B地时,甲乙两车相距280km
【答案】D
【分析】由函数图像可知:A、B两地相距360km,故A正确;设乙车的速度为xkm/h,则甲车的速度为,根据函数图像可求出乙车的速度为80km/h,则甲车的速度为100km/h,故B正确;
点E所对的横坐标是甲车到达B地的时间,点E横坐标为故C正确;
相遇之后,甲走的路程为:,乙走的路程为:,当甲车到B地时,甲乙两车相距288km.故D错误;
【详解】解:由函数图像可知:A、B两地相距360km,
故A正确;
设乙车的速度为xkm/h,则甲车的速度为,
由函数图像可知:经过2小时,甲乙相遇,
∴,解得:,
∴乙车的速度为80km/h,则甲车的速度为100km/h,
故B正确;
分析可知点E所对的横坐标是甲车到达B地的时间,
∴点E横坐标为,
故C正确;
甲乙相遇时,甲走的路程为:,乙走的路程为:,
相遇之后,甲还需要再走160km才能到达B地,故还需用时,
此时甲走的路程为:,乙走的路程为:,
∴当甲车到B地时,甲乙两车相距288km.
故D错误;
故选:D.
【点睛】本题考查一次函数的实际应用:行程问题,一元一次方程的实际应用,解题的关键是结合函数图象获取信息.
4.(2023·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末)甲、乙两支龙舟队沿安居古城涪江段进行比赛,早上9:00同时从起点出发.甲队在上午11:30分到达终点,乙队一直匀速前进.比赛时甲、乙两队所行驶的路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示.下列说法正确的是( )
A.甲队先达到终点
B.上午10:30分乙队追上甲队
C.甲、乙两队在上午10:00时相距最远
D.上午11:10乙队到达终点
【答案】C
【分析】甲队在上午11时30分到达终点,共花时间2.5小时,从图象上看,AB线是甲队的路程,所以是乙队花时间少,先到终点,从而判断A,D;从图象来看,乙队的路程与时间成正比例关系,甲队的路程与时间是一个分段函数,即在1小时内是正比例函数,在1到2.5小时是一次函数,可使用待定系数法分别求出.乙队追上甲队时,两队的路程相等,列出方程可求解,从而判断B;由图看出1小时之内,两队相距最远距离是4千米;乙队追上甲队后,两队的距离也可计算,相比较得出甲、乙两队在出发后1小时相距最远,从而判断C.
【详解】解:对于乙队,x=1时,y=16,所以y=16x,
到达终点用时35÷16=时=2时11分15秒,时间为11时11分15秒,
∵甲队在上午11:30分到达终点,
∴乙队先到达终点.
故A、D错误,不符合题意;
对于甲队,出发1小时后,设y与x关系为y=kx+b,
将x=1,y=20和x=2.5,y=35分别代入上式得: ,
解得: ,
所以y=10x+10
∴解方程组 得:x=.
即出发1小时40分钟后(或者上午10点40分)乙队追上甲队,
故B错误,不符合题意;
1小时之内,两队相距最远距离是4千米;
乙队追上甲队后,两队的距离是16x﹣(10x+10)=6x﹣10,当x为最大,
即x=时,6x﹣10最大,
此时最大距离为6×﹣10=3.125<4,
所以比赛过程中,甲、乙两队在出发后1小时(或者上午10时)相距最远,
故C正确,符合题意.
故选:C.
【点睛】本题考查一次函数的实际运用,利用待定系数法求一次函数关系式.当解决追程问题时,需注意的是两者路程相等.
5.(2023·辽宁丹东·八年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,直线相交于点,.下列四个说法:
;
为线段中点;
;
点的坐标为.其中正确说法的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【分析】先用待定系数法分别求出直线的解析式,再根据两条直线的斜率相乘是否等于即可判断;求出点的坐标,即可判断;用两点间的坐标公式求出的长,从而可以得出两个三角形的边的关系,从而可以判断;点为直线与轴的交点,根据解析式即可求出坐标,从而可以判断.
【详解】解:,
点坐标为,点坐标为,
设直线的解析式为:,
直线经过两点,
,
解得,
直线的解析式为:,
设直线的解析式为:,
直线经过两点,
,
解得,
直线的解析式为:,
,
,
,故正确,符合题意;
点为直线与轴的交点,
当时,,
点坐标为,
,
为线段中点,故正确,符合题意;
由图象得
,,
,
(SSS),故说法正确,符合题意;
点为直线与轴的交点,
当时,,
点的坐标为,故说法正确,符合题意;
故选:D.
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数解析式、判断两条直线垂直、判断点是线段的中点、三角形全等的判定、求点的坐标等知识点,解题的关键是先用待定系数法求出两条直线的解析式.
6.(2023·江苏镇江·八年级统考期末)定义:平面直角坐标系中,若点A到x轴、y轴的距离和为2,则称点A为“成双点”.例如:如图,点到x轴、y轴的距离分别为,距离和为2,则点B是“成双点”,点也是“成双点”.一次函数的图象经过点,且图象上存在“成双点”,则k的取值范围为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】取点,连接,在取点P作轴,轴,垂直分别为M,N,则,可得到均为等腰直角三角形,从而得到为等腰直角三角形,进而得到,继而得到线段上的点为“成双点”,线段上的点为“成双点”,可得到当一次函数的图象与线段或线段有交点时,一次函数的图象上存在“成双点”, 再分别求出当一次函数的图象经过点E时,当一次函数的图象经过点G时,k的值,即可求解.
【详解】解:如图,取点,连接,在取点P作轴,轴,垂直分别为M,N,则,
∴,
∴均为等腰直角三角形,
∴,
∴为等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴点P是“成双点”,
即线段上的点为“成双点”,
同理线段上的点为“成双点”,
∴当一次函数的图象与线段或线段有交点时,一次函数的图象上存在“成双点”,
∵一次函数的图象经过点,
∴,
解得:,
∴一次函数的解析式为,
当一次函数的图象经过点E时,
,解得:,
当一次函数的图象经过点G时,
,解得:,
∴k的取值范围为.
故选:D
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的性质,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题.
7.(2022·浙江·八年级期末)如图①,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,点D是AB边的中点,点P从点A出发,沿着AC﹣CB运动,到达点B停止.设点P的运动路径长为x,连DP,记△APD的面积为y,若表示y与x有函数关系的图象如图②所示,则△ABC的周长为( )
A.6+2B.4+2C.12+4D.6+4
【答案】A
【分析】设BC=x,在Rt△ABC中根据∠A=30°,可得AB=2BC=2x,即有,由图②可知△ADP的最大面积为,由图①易知,当P点行至C点时,△ADP的面积最大,此时根据AD=BD,可得,再在Rt△ABC中,有,即有,解得x=2,即有BC=2,AB=4,,则问题得解.
【详解】设BC=x,在Rt△ABC中,有∠A=30°,∠C=90°,
∴AB=2BC=2x,
∴利用勾股定理可得:,
由图②可知△ADP的最大面积为,
∵D点AB中点,
∴AD=BD,
由图①易知,当P点行至C点时,△ADP的面积最大,
此时根据AD=BD,可得,
即有,
又∵在Rt△ABC中,,
即有,
解得x=2(负值舍去),即BC=2,AB=4,,
则△ABC的周长为:,
故选:A.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象,勾股定理,含30°角的直角三角形的性质等知识,数形结合得出是解答本题的关键.
8.(2023春·广东深圳·八年级统考期中)如图,点P为直线上一点,先将点P向左移动2个单位,再绕原点O顺时针旋转后,它的对应点Q恰好落在直线上,则点Q的横坐标为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】可将点的平移和旋转转化为直线的平移和旋转,求出解析式后,联立两个函数解析式即可求出交点的横坐标.
【详解】∵点P为直线上一点,
∴点P向左移动2个单位后的解析式为,
∵绕原点O顺时针旋转后解析式为
∴,可得,
∴点Q的横坐标为.
故选:B
【点睛】此题考查一次函数,解题关键是将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转,然后求函数的交点坐标.
9.(2023春·江苏无锡·八年级名校校考)已知菱形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示,A(1,1),B(6,1),AC=4,点P是对角线AC上的一个动点,E(0,2),当周长最小时,点P的坐标为( ).
A.(2,2)B.(2,)C.(,)D.(,)
【答案】D
【分析】点D关于AC的对称点是点B,连接EB,交AC于点P,再得出EB即为EP+DP最短,解答即可.
【详解】解:连接,如图,
点关于的对称点是点,
,
即为最的小值,
即此时周长最小,
连接交于,过作于,
四边形是菱形,
,,
,
,
,
,,
轴,
直线与轴间的距离是1,
点的纵坐标为,
,
直线的解析式为:,
,,
直线的解析式为:,
解得:,
,.
故选:D.
【点睛】此题主要考查了轴对称—最短距离问题,菱形的性质,解题关键是根据一次函数与方程组的关系,得出直线的解析式,求出交点坐标.
10.(2023·浙江杭州·八年级校联考期末)甲、乙两车从地出发,匀速驶往地.乙车出发1后,甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达地并停留30分钟后,又以原速按原路线返回,直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止,两车之间的距离()与甲车行驶的时间()的函数关系的图象,则( )
A.甲车的速度是120/
B., 两地的距离是360
C.乙车出发4.5时甲车到达地
D.甲车出发4.5最终与乙车相遇
【答案】C
【分析】分析两车之间的距离()与甲车行驶的时间()的函数关系的图象,从图中找到关键信息点进行求解.
【详解】点中可知,乙1小时行驶了60,可求乙的速度60
点中可知,1.5后,甲追上乙,可求甲的速度100
点中可知,甲到地,且甲乙相差80,可以算
点中可知,休息30分钟,可求,
点中可知,甲乙再次相遇,
A,甲车的速度是120,错
B,已知甲3.5后到达B地,且甲速度为100,所以A,B两地为350,错
C,甲车3.5到达B地,乙车比甲车早出发1,所以是4.5,对
D,从上中和可知,甲出发1.5和与乙车相遇,错
【点睛】本题考查两车相遇问题,最大的难点在于会识图,从图中找到关键信息点.
二、填空题
11.(2023·山东济南·八年级统考期末)如图,平面直角坐标系中,已知直线上一点P(1,1),C为y轴上一点,连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD,过点D作直线AB⊥x轴.垂足为B,直线AB与直线交于点A,且BD=2AD,连接CD,直线CD与直线交于点Q,则点Q的坐标为_______.
【答案】
【详解】如图,过点P 作EF∥x轴,交y轴与点E,交AB于点F,则
易证△CEP≌△PFD(ASA),
∴EP=DF,
∵P(1,1),
∴BF=DF=1,BD=2,
∵BD=2AD,
∴BA=3
∵点A在直线上,∴点A的坐标为(3,3),
∴点D的坐标为(3,2),∴点C的坐标为(0,3),
设直线CD的解析式为,
则解得:
∴直线CD的解析式为,
联立可得
∴点Q的坐标为
12.(2023·四川成都·八年级校考期末)如图,平面直角坐标系中,已知直线上一点,连接,以为边做等腰直角三角形,,过点作线段轴,直线与直线交于点,且,直线与直线交于点,则点的坐标是_____.
【答案】
【分析】过作轴,交轴于,交于,过作轴,交轴于,,求出,证,推出,,设,求出,得出,求出,得出的坐标,由两点坐标公式求出,在中,由勾股定理求出,得出的坐标,设直线的解析式是,把代入求出直线的解析式,解由两函数解析式组成的方程组,求出方程组的解即可.
【详解】解:过作轴,交轴于,交于,过作轴,交轴于,
,
,,
,
,
,,
在和中,
,
,,
,
设,,
,
,
则,
,即.
直线,
,
点
,
在中,由勾股定理得:,
则的坐标是,
设直线的解析式是,
把代入得:,
即直线的解析式是,
组成方程组
解得:
点,,
故答案为:,.
【点睛】本题是一次函数综合题,考查了用待定系数法求出一次函数的解析式,全等三角形的性质和判定,解方程组,勾股定理,旋转的性质等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,但是有一定的难度.
13.(2023·江苏·八年级统考期末)如图.直线:与轴,轴分别交于点,,直线经过点,与轴负半轴交于点,且,则直线的函数表达式为______.
【答案】
【分析】过点作于点,由的解析式求出点,的坐标,由得,设,,根据勾股定理和等积法求出,,得出点坐标,最后设出解析式代入求解即可.
【详解】解:如图,过点作于点,
∵:与轴,轴分别交于点,,
∴,,
∴,
∵,
∴,
设,,则,,
由勾股定理得,即,
由等积法得,
∴,
联立,
解得或(舍去),
∴,
设:,
将点代入并解得,
∴的函数表达式为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了一次函数的几何综合,正确画出辅助线,熟练运用勾股定理和等积法是解题的关键.
14.(2023·四川成都·八年级四川省成都市七中育才学校校考期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知,,点A的坐标为,若直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点,则m的取值范围是______.
【答案】/
【分析】根据题意画出图形,求出点B的坐标,再求出过点A和点B且与直线平行的直线解析式,分别求出与x轴的交点坐标即可解决问题.
【详解】解:过点A作轴于点E,过点B作于点F,如图,
,
根据勾股定理得,,
又
对于,当时,,
,
∴直线与轴的交点坐标为;
设过点A且与直线平行的直线解析式为,
把代入,得:,
,
,
当时,,
∴直线与轴的交点坐标为
设过点B且与直线平行的直线解析式为
把代入得:,
当时,,
,
与轴的交点坐标为
∴直线沿x轴平移m个单位后与仍有公共点,则m的取值范围是,即,
故答案为:
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式,一次函数图像的平移,求出直线与x轴的交点坐标是解答本题的关键
15.(2022春·四川成都·八年级校考期末)定义在平面直角坐标系中,点,的折线距离.根据折线距离的定义,可以构造出许多美丽的图形.例如点,若平面中有一动点,满足到的折线距离为,则点的轨迹为以为中心,为边长的正方形(如图所示),若点,,动点满足(动点到点,的折线距离之和为11).已知动点的轨迹与轴、轴均有两个公共点.
动点的轨迹与轴公共点的坐标为______.
动点的轨迹交轴正半轴于点,交轴正半轴于点,在运动过程中,面积的最大值为______.
【答案】 或 17
【分析】设的轨迹与轴的交点坐标为:,可得出,进一步得出结果;
分类讨论,求出每一段的函数关系式,画出点的运动轨迹,进而求得结果.
【详解】解:设的轨迹与轴的交点坐标为,
由题意,可得,
解得 或,
∴点的轨迹与轴的交点坐标为:或.
故答案为:或;
设点,
,,
∴当时,
(1)当时,,
∴,
(2)当时,,
(3)当时,,
当时,
(4)当时,,
(5)当时,不合题意舍去,
(6)当时,,
当时,
(7)当时,,
(8)当时,,
(9)当时,,
∴的图像如下图,
设的解析式为,
∴,
∴,
∴,
当时,
,
∴,
∵,
∴,
则,
∴,
∴.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了在新定义的基础上如何分类讨论、绝对值、分段函数的解析式等知识,解题的关键理解题意,并运用分类讨论的思想分析问题.
三、解答题
16.(2022春·河南郑州·八年级校考期末)郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品,每个足球的进价比排球多元,用元购进足球和元购进排球的数量相同.商品将每个足球售价定为元,每个排球售价定为元.
(1)每个足球和排球的进价分别是多少?
(2)根据商店对运动用品市场调查,商店计划用不超过元的资金购进足球和排球共个,其中足球数量不低于排球数量的,该商店有几种进货方案?
(3) “六一”期间,该商店开展促销活动,决定对每个足球售价优惠元,排球的售价不变.假定这个球在“六一”期间能够全部卖完,在的条件下,请设计出的不同取值范围内,销售这个球获得的总利润最大的进价方案.
【答案】(1)每个足球的进价分别是元,每个排球的进价分别是元
(2)该商店有种进货方案
(3)当时,购进足球个,排球个获得利润最大;当时,,,,,,获得利润一样大;当时,购进足球个,排球个获得利润最大.
【分析】(1)设排球每个进价为x元,则足球每个进价为(x+40)元,根据用4000元购进足球和2400元购进排球的数量相同列出方程,姐方程即可;
(2)设商店购买足球a个,则购买排球(40-a)个,根据商店计划用不超过3000元的资金购进足球和排球共40个,其中足球数量不低于排球数量的,列不等式组,解不等式组即可;
(3)根据总利润=足球利润+排球利润列出函数解析式,再根据函数的性质求最值及此时进货方案.
【详解】(1)解:(1)设排球每个进价为x元,则足球每个进价为(x+40)元,
根据题意得:
,
解得:x=60,
经检验,x=60是原方程的解,
∴x+40=60+40=100(元),
答:每个足球的进价分别是100元,每个排球的进价分别是60元;
(2)解:设商店购买足球个,则购买排球个,
根据题意得:,
解得:,
是正整数,
的取值为,,,,,,
该商店有种进货方案;
(3)解:设该商店售完个球所获得的利润为元,
由题意得:,
当,即时,随的增大而增大,
当时,最大,
此时购进足球个,排球个;
当,即时,,
此时的进货方案为:购进足球个,排球个;购进足球个,排球个;购进足球个,排球个;购进足球个,排球个;购进足球个,排球个;购进足球个,排球个.
当,即时,随的增大而减小,
当时,最大,
此时购进足球个,排球个.
综上,当时,购进足球个,排球个获得利润最大;当时,,,,,,获得利润一样大;当时,购进足球个,排球个获得利润最大.
【点睛】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程、不等式和函数关系式.
17.(2022·浙江嘉兴·八年级统考期末)要从甲、乙两仓库向,两工地运送水泥.已知甲、乙两个仓库分别可运出吨和吨水泥;,两工地分别需要水泥吨和吨.从两仓库运往,两工地的运费单价如下表:
(1)设甲仓库运往工地水泥吨,求总运费关于的函数表达式及自变量的取值范围.
(2)当甲仓库运往工地多少吨水泥时,总运费最省?最省的总运费是多少元?
(3)若甲仓库运往工地的运费下降了元吨,则最省的总运费为多少元?
【答案】(1)
(2)甲仓库运往工地吨水泥时,总运费最省,最省的总运费是元
(3)甲仓库运往工地的运费下降了元吨,,则最省的总运费为元
【分析】(1)设甲仓库运往A工地水泥x吨,则甲仓库运往B工地水泥吨,乙仓库运往A工地水泥吨,乙仓库运往B工地水泥吨,根据表格列出函数表达式,根据实际情况列出不等式求得的范围;
(2)根据一次函数的性质即可求解;
(3)若甲仓库运往工地的运费下降了元吨.则,根据一次函数的性质结合的范围即可求解.
【详解】(1)设甲仓库运往A工地水泥x吨,则甲仓库运往B工地水泥吨,
乙仓库运往A工地水泥吨,乙仓库运往B工地水泥吨,
∵
,
由题意可得,,
∴,
∴总运费关于的函数表达式为
(2)∵
,
随的增大而增大,
当时,最小,最小值为,
故甲仓库运往工地吨水泥时,总运费最省,最省的总运费是元;
(3)若甲仓库运往工地的运费下降了元吨.则
,
当,即时,
∴当,时,取得最小值为,
当,即时,
此时,随的增大而减小,且越小,随的增大而减小得越多,
当,时,
取得最小值,最小值为,
综上,若甲仓库运往工地的运费下降了元吨,,则最省的总运费为元.
【点睛】本题考查了一次函数的应用,根据题意列出函数关系式是解题的关键.
18.(2022·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末)(1)如图1,在等腰直角中,,,为高上的动点,过点作于,则的值为 ;
(2)如图2,在平面直角坐标系中,直线与轴、轴分别交于点、.若点是直线上一个动点,过点作于,求的最小值.
(3)如图3,在平面直角坐标系中,长方形的边在轴上,在轴上,且.点在边上,且,点在边上,将沿翻折,使得点恰好落在边上的点处,那么在折痕上是否存在点使得最小,若存在,请求最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)3;(3)存在,
【分析】(1)根据等腰三角形的性质与判定可得出是等腰直角三角形,进而求解即可;
(2)作关于直线的对称点,连接,作轴于,连接,根据题意可得出,当,,共线时,最小,最小值为的长,利用一次函数的图象与性质和矩形的性质与判定求出此时的长即可;
(3)以为顶点,为一边,在右侧作,过作于,过作于,交于,作于,则是等腰直角三角形,得,从而得到,则当共线时, 最小,此时与重合,与重合,根据题目所给条件求出此时的长即可.
【详解】解:(1)∵,,
∴,
∵为高,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴;
故答案为:;
(2)作关于直线的对称点,连接,作轴于,连接,如图:
在中,令得,令得,
∴, ,
∴,
∴,
∴,,
∵,关于直线对称,
∴,,,
∴,,
∴,
当,,共线时,最小,最小值为的长,
在中, ,
∴,
∵,
∴四边形是矩形,
∴,
∴最小值为;
(3)在折痕上存在点,使得最小,
以为顶点,为一边,在右侧作,过作于,过作于,交于,作于,如图:
∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
当共线时,最小,即最小,此时与重合,与重合,的最小值为的长度,
∵四边形是长方形,,
∴,
∵,
∴,
∵将沿翻折,使得点恰好落在边上的点处,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴,,
∴,,,
∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴, ,
∴,
∴,
∴,
∴的最小值为.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系与几何综合,等腰三角形的判定与性质,一次函数的图象与性质,矩形翻折等问题,利用数形结合,构建正确的辅助线是解题的关键.
19.(2022·浙江绍兴·八年级统考期末)如图,直线与轴,轴分别交于点,.点在轴正半轴上,把沿折叠,点恰好落在轴负半轴上的点处.直线交直线于点.点是轴正半轴上的一动点,点是直线上的一动点.
(1)填空:点,,坐标分别为___________;___________;___________.
(2)求的面积.
(3)连结.与全等(点与点不重合),直接写出所有满足条件的点坐标.
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】(1)利用一次函数的解析式分别代入求出点的坐标,再利用勾股定理求出的值,设利用翻折的性质结合勾股定理列方程求解即可;
(2)利用待定系数法,设,代入点的坐标求解直线的解析式,并与直线解析式联立求出点的坐标,然后求解面积即可;
(3)分类讨论:当在的延长线时或在线段上,根据,分类讨论①当时,②当时,③当时,利用全等三角形的性质通过添加辅助线计算出点的横坐标,再代入解析式中求解即可.
【详解】(1)解:由题意得:
设,得,
;
设,得,
;
在中,,
设,则,
由折叠可知,
,
在中,,
∴,
解得,
.
(2)设直线表达式为,
把代入得,
解得
∴直线表达式为
联立方程组,
解得,
.
.
(3)解:∵,
∵
∴
∵与全等;
当在的延长线时
①当时,过点作轴,过点作轴
∵
把代入时,
解得
∴
②当时,过点作轴
由题意得:
∴把代入,
解得:
∴
当点在上时,
∵点与点不重合
∴不存在
③当时,
∴把代入,
解得:
∴
【点睛】本题主要考查一次函数与三角形综合,熟练运用分类讨论,勾股定理以及全等的性质,并能够将线段长度转化为坐标计算是解决本题的关键.
20.(2022春·广东惠州·八年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,直线分别与x轴,y轴点B,C且与直线交于点A,
(1)直接写出点B,C的坐标;B________;C________;
(2)若D是线段上的点,且的面积为6,求直线的函数表达式;
(3)在(2)的条件下,设P是射线上的点,在平面内是否存在点Q,使以O,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线的解析式为
(3)存在,点Q的坐标为或或(2,- 2)
【分析】(1)根据的表达式即可求出B、C两点的坐标.
(2)设点D的坐标为由,先求出D点的横坐标,再代入中求出纵坐标即可. 设直线的解析式为将D点坐标代入求出k的值,即可得到直线的函数表达式.
(3)设点,分情况讨论:①若以为边时,四边形是菱形,列出关于a的方程求出a的值,即可求出点Q的坐标.②当四边形 是菱形时,画出图形,先写出P点的坐标,则易得Q点的坐标.③当与互相垂直平分时四边形是菱形,画出图形,先写出P点的坐标,则易得Q点的坐标.
【详解】(1)由得,
时,
时,
∴点B的坐标为,点C的坐标为.
(2)设点D的坐标为
∵的面积为6,
∵D是线段上的点,
∴点
设直线的解析式为
∴直线的解析式为
(3)若以为边,设点
①如图1,
当时,四边形是菱形,
∴点
②如图2,当
四边形 是菱形时,
∴点
∴点
③若为对角线,如图3
当与互相垂直平分时以为顶点的四边形是菱形,
∴点P的纵坐标为2
∴点P的坐标
∴点
综上所述,点Q的坐标为或或
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的相关问题.利用图形的面积求点的坐标,以及用分类讨论法求特殊四边形中点的坐标.解题的关键是要学会分类讨论及数形结合法,正确的画出图形,不要漏解.
工地(元吨)
工地(元吨)
甲仓库
乙仓库
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