（苏科版）数学八年级下册期末考点复习练习专题42 即学即用之复合二次根式的化简（2份，原卷版+解析版）

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1．像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．
例1：
；
例2：
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且为正整数，求a的值．
2．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的康康进行了以下探索：
设（其中、、m、n均为正整数），
则有（有理数和无理数分别对应相等），
∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法．
请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________；
(2)若，且、均为正整数，试化简：；
(3)化简：．
3．观察下列各式及其化简过程：
，
．
(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；
(2)化简；
(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．
4．像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，且，，为正整数，求的值．
5．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．
例如：
．
解决问题：化简下列各式
(1)；
(2)．
6．小明在解决问题：已知a＝，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝＝＝2－，
所以a－2＝－.
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： = － .
(2)计算：＋…＋；
(3)若a＝，求4a2－8a＋1的值．
7．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简
（1），（2）．
8．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵
∴；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
(1)；
(2)
9．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中a、b、m、n均为正整数），则有，
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简：．
10．同学们，我们以前学过完全平方公式，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：，反之，，∴，∴
求：（1）；
（2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
11．阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解：；
（2）化简：；
（3）化简：．
12．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、取长补短、威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（+3）（﹣3）＝﹣4，像（+3）和（﹣3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．再如（）与（）也互为有理化因式．于是，下面二次根式除法可以这样运算：＝＝7+4．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化．
解决问题：（1）2+3的一个有理化因式是 ，分母有理化结果是 ；
（2）计算：+．
13．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则______，_______；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
（3）当时，化简_______．
14．先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的．
例如：
仿照上例完成下面各题：
填上适当的数：

②试将予以化简．
15．先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，使得，，那么便有：
例如：化简
解：首先把化为，这里，由于，即：，，
所以。
问题：
① 填空：，；
② 化简：（请写出计算过程）