（浙教版）数学七年级下册期末专题11 乘法公式(平方差、完全平方公式)压轴题八种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12699" 【典型例题】 PAGEREF _Tc12699 \h 1
\l "_Tc8399" 【考点一 运用平方差公式进行计算】 PAGEREF _Tc8399 \h 1
\l "_Tc20377" 【考点二 平方差公式与几何图形】 PAGEREF _Tc20377 \h 2
\l "_Tc26806" 【考点三 运用完全平方公式进行运算】 PAGEREF _Tc26806 \h 5
\l "_Tc7391" 【考点四 求完全平方式中的字母系数】 PAGEREF _Tc7391 \h 6
\l "_Tc29208" 【考点五 整式的混合运算——化简求值】 PAGEREF _Tc29208 \h 6
\l "_Tc3262" 【考点六 通过对完全平方公式变形求值】 PAGEREF _Tc3262 \h 8
\l "_Tc24460" 【考点七 完全平方公式在几何中的应用】 PAGEREF _Tc24460 \h 9
\l "_Tc27095" 【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】 PAGEREF _Tc27095 \h 12
\l "_Tc16899" 【过关检测】 PAGEREF _Tc16899 \h 16
【典型例题】
【考点一 运用平方差公式进行计算】
例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个B．个C．个D．个
【变式训练】
1．（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等式中，括号里应填的多项式是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：
3．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x＝1，y＝2；
【考点二 平方差公式与几何图形】
例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．
(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式： ；
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：
①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．
【变式训练】
1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为 ；宽为 ；面积为 ．
（2）由（1）可以得到一个公式： ．
（3）利用你得到的公式计算：．
2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a，b的等式表示）
(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知，2m＋n＝4，则2m－n的值为______；
②计算：；
(3)【拓展】计算：．
【考点三 运用完全平方公式进行运算】
例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：
【变式训练】
1．（2022秋·天津东丽·八年级统考期末）下列多项式是完全平方式的是（ ）
A．B．C．D．
1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中x=-1，y=2．
【考点四 求完全平方式中的字母系数】
例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若是完全平方式，则k的值为____________．
【变式训练】
1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x2﹣4x+m是一个完全平方式，则m的值为_____．
2．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）若是完全平方式，则n的值为（ ）
A．6B．或6C．1D．
【考点五 整式的混合运算——化简求值】
例题：（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
【变式训练】
1．（2023春·七年级单元测试）先化简后求值：
(1)，其中
(2)，其中，．
2．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）（1）已知，求代数式的值；
（2）已知，求的值．
【考点六 通过对完全平方公式变形求值】
例题：（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．10B．17C．26D．33
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）已知，则_________．
2．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a+b=5，ab=4，
(1)求a²+b²的值
(2)求（a-b）²的值
【考点七 完全平方公式在几何中的应用】
例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b的形状拼成一个正方形．
(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
(2)求出图b中阴影部分的面积_______．
(3)观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：，，．
(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若，，则_______．
【变式训练】
1．（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
(1)自主探究：如果用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是_____．
(2)知识运用：若x﹣y=5，xy=6，则=_____．
(3)知识迁移：设A=，B=x+2y﹣3，化简的结果．
(4)知识延伸：若，代数式（2021﹣m）（m﹣2022）=_____．
【考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题】
例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为，因为，所以，即的最小值是3．
问题：
(1)小丽的求解过程正确吗？
(2)你能否求出的最小值？如果能，写出你的求解过程；
(3)求的最大值．
【变式训练】
1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道，所以代数式的最小值为学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：，
又，，的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：____________；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．
2．（2022·江苏·靖江市实验学校七年级期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当x＝____时，代数式的最小值是_____；
(2)知识运用：若，当x＝____时，y有最____值（填“大”或“小”），这个值是____；
(3)知识拓展：若，求y+2x的最小值．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）下列多项式乘法中，不能用平方差公式进行计算的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·七年级单元测试）若，则的结果是（ ）
A．23B．25C．27D．29
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）关于x的二次三项式可化为一个二项式的平方，m的值是（ ）
A．8B．16C．8或D．16或
4．（2023春·七年级单元测试）如图，由图形的面积关系能够直观说明的代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）三种不同类型的地砖如图所示，其中A类4块，B类12块，C类若干块，小明想用这些地砖刚好拼成一个大正方形（无缝隙且不重叠），那么小明所用C类地砖（ ）
A．4块B．6块C．9块D．12块
二、填空题
6．（2022秋·陕西渭南·八年级校考阶段练习）计算：=___________．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，，那么的值为_____．
8．（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
9．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________．
10．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，，以，为边分别作正方形和正方形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．
三、解答题
11．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）先化简再求值：，其中，；
12．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中，．
13．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）计算：
(1)； (2)．
14．（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1) (2)
15．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)先化简，再求值：，其中．
16．（2023秋·湖南长沙·八年级校考期末）已知实数m，n满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．（2023春·七年级单元测试）已知，．
(1)分别求与的值；
(2)求代数式的值．
18．（2023春·江西吉安·七年级校考阶段练习）观察下列各式：
……
(1)按以上等式的规律填空：（_____________）；
(2)根据规律可得____________（其中为正整数）；
(3)利用上面的结论，完成下面两题的计算：
①
②
19．（2023春·七年级单元测试）利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据以上结论解决下列问题．
(1)如图②，点是线段上的一点，以、为边向外作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积为__________．
(2)若x满足，求的值．
20．（2023春·福建福州·八年级校考阶段练习）阅读材料：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛应用．
例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下
．
，
．
因此，该式有最小值1．
②已知：将其变形，，
，可得．
(1)按照上述方法，将代数式变形为的形式；
(2)已知，，是的三边，且满足，试判断此三角形的形状并说明理由；
(3)已知．
①若，，则代数式________；
②若，求代数式的最小值．