（浙教版）数学七年级下册期末专题14 解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略（2份，原卷版+解析版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16569" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16569 \h 1
\l "_Tc29181" 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 PAGEREF _Tc29181 \h 1
\l "_Tc120" 【考点二 十字相乘法因式分解】 PAGEREF _Tc120 \h 3
\l "_Tc2276" 【考点三 分组分解法因式分解】 PAGEREF _Tc2276 \h 9
\l "_Tc17406" 【考点四 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc17406 \h 15
【典型例题】
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2023春·七年级单元测试）因式分解．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：____________．
2．（2023春·七年级单元测试）因式分解：=_______________．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，，则的值等于________．
4．（2023秋·甘肃金昌·八年级校考期末）因式分解：
5．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：．
7．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
8．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：．
9．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：．
【考点二 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）把下列各式因式分解：．
【变式训练】
1．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
3．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：．
4．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1) (2)
6．（2023春·八年级课时练习）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）用十字相乘法分解下列因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【考点三 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）教你一招：把因式分解．
解：原式
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1)；
(2)；
(3)．
4．（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)分解因式：．
(3)若多项式利用分组分解法可分解为，请求出的值．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
分成两组
分别分解
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①______．
②______．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【考点四 因式分解的应用】
例题：（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，运用公式法．当不能直接运用提取公因式法或公式法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：，根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且，观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
3．（2023春·江苏·七年级期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
(4)小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．
4．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
5．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
【尝试应用】
(2)求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
(3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若．
①当a，b，m满足条件：时，求m的值；
②若的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求的周长．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．