（人教版）数学七年级下册期末考点练习专题16 二元一次方程的整数解及其应用（2份，原卷版+解析版）

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【例题讲解】
阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．
问题：
(1)请你直接写出方程的正整数解___________．
(2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值．
(3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
【详解】（1）解：∵，∴，解得： ，∵、为正整数，
∴是3的倍数，且，∴0＜y＜4，∴y=1，
∴方程的正整数解为；故答案为：
（2）解：∵为自然数，x为正整数，∴x-2取6或3或2或1，
∴x取8或5或4或3；
（3）解：解方程组得：，
∵方程组的解是正整数，∴8是的倍数， ∴4-k=8或4或2或1，
∴k取-4或0或2或3，
当k=-4时，，符合题意；当k=0时，，符合题意；
当k=2时，，符合题意；当k=3时，，不符合题意；
综上所述，整数的值为-4或0或2．
【综合解答】
1．为安置50名培训人员入住，需要同时租用6人间和4人间两种客房，若每个房间都住满，则租房方案共有（ ）
A．4种B．5种C．6种D．7种
2．方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
3．在“双减”政策下，王老师把班级里43名学生分成若干小组，每组只能是4人或5人，则分组方案有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
4．嘉琪购买铅笔和钢笔两种笔共用去18元，已知钢笔4元/个，铅笔2元/个，有（ ）种购买方案．
A．2B．3C．4D．5
5．某地突发地震，为了紧急安置名地震灾民，需要搭建可容纳人或人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好既不多也不少能容纳这名灾民，则不同的搭建方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
6．方程的非负整数解有（ ）
A．无数个B．个C．个D．个
7．关于x和y的二元一次方程，2x+3y＝20的正整数解有（ ）组．
A．1B．2C．3D．4
8．班级要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号口罩必须都买，已知A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，在钱全部用尽的情况下，购买方案有( )
A．2种B．3种C．4种D．5种
9．为迎接2022年北京冬奥会，清华附中初二级部开展了以“绿色冬奥，人文冬奥，科技冬奥”为主题的演讲比赛，计划拿出240元钱全部用于购买奖品，奖励优胜者，已知一等奖品每件15元，二等奖品每件10元，则两种奖项齐全的购买方案有（ ）
A．6种B．7种C．8种D．9种
10．二元一次方程的正整数解有（ ）
A．一个B．二个C．三个D．无数多个
11．二元一次方程的正整数解的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．二元一次方程的整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数个
13．二元一次方程3x+y＝8的非负整数解共有（ ）
A．2对B．3对C．4对D．5对
二、多选题
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
三、填空题
14．凤翔中学准备了270元活动经费用于购买即将到来的校园歌手大赛奖品，现有两种笔袋可选，甲每个24元，乙每个30元，现经费正好全部用完，那么有 _____种购买方案．
15．二元一次方程3x+y=9的所有正整数解有______组．
16．写出方程x=3y的一个整数解______．
17．小颖在我国数学名著《算法统宗》看到一道题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”她依据本题编写了一道新题目：“大、小和尚分一百个馒头，大和尚每人吃三个，小和尚三人吃一个，问大、小和尚各多少人？”写出一组能够按照新题目要求分完一百个馒头的和尚人数：大和尚______人，小和尚______人．
18．方程x+2y=3的非负整数解是_________________．
19．请写出满足方程 3y－x＝5 的一组整数解：________．
20．二元一次方程的正整数解为________．
21．关于x，y的二元一次方程2x＋3y＝12的非负整数解有______组．
四、解答题
22．某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球，若购买2个足球和3个篮球需220元；若购买4个足球和2个篮球需280元．
(1)求出足球和篮球的单价分别是多少？
(2)已知该年级决定用800元购进两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明．
23．综合与实践：
问题情境：我们知道：任何一个二元一次方程都有无数个解，但在实际问题中，我们常常只需要知道二元一次方程的正整数解即可，数学课上，王老师给出如下问题：有12个同学去公园划船，共有两种型号的船只，小船一只可乘2人，大船一只可乘3人，若同时租用两种船只，问应租用几只小船，几只大船？
思路引导：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，只要找到这个二元一次方程的正整数解即可．
解法示范：设需要x只小船，y只大船，由题意可得：2x+3y＝12，
∴，
∵x，y均为正整数，
∴，解得：0＜y＜4，
又∵为正整数，
∴y只能为2的倍数，
∴y＝2，代入得x＝3，
∴方程2x+3y＝12的正整数解为，即应租用3只小船，2只大船．
理解运用：
（1）请你写出方程2x+y＝5的所有正整数解；
解决问题：
（2）果农王大叔有苹果25吨，计划同时租用A、B两种型号的货运车一次运送到冷库保存，且每辆车都载满已知1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运4吨．
①请你帮王大叔设计所有可能的租车方案；
②若1辆A型车的租金为100元/次，1辆B型车的租金为120元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．