数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念一课一练

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念一课一练，文件包含第01讲61平面向量的概念知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练原卷版docx、第01讲61平面向量的概念知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
知识点01 向量的概念
（1）向量
在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.
①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.
②向量与向量之间不能比较大小.
【即学即练1】（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（ ）
A．体积B．距离
C．拉力D．质量
（2）数量
只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等
（3）向量与数量的区别
①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小
②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).
知识点02 向量的几何表示
(1)有向线段
具有方向的线段叫做有向线段
①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以为起点、为终点的有向线段记作(如图所示),线段的长度也叫做有向线段的长度,记作. 表示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.
②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.
（2）向量的表示
①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.
②字母表示:向量可以用字母,,,…表示
（3）向量的模
向量的大小称为向量的长度(或称模),记作.
（4）两种特殊的向量
零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作.
单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量
①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.
②要注意0与的区别与联系:0是一个实数,是一个向量,且有；书写时表示零向量,一定不能漏掉0上的箭头.
③单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同.
④在平面内,将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到同一点,则它们的终点构成一个半径为1的圆.
知识点03:相等向量与共线向量
(1)平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有.
(2)相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
向量与相等,记作.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
（3）共线向量
任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线.
共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（ ）
A．若，则B．若与共线，则与方向相同或相反
C．若为单位向量，则D．与非零向量共线的单位向量是
题型01 向量的有关概念
【典例1】下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）温度､速度､位移､功都是向量
（2）零向量没有方向
（3）向量的模一定是正数
（4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量
A．0B．1C．2D．3
【典例2】（多选）在下列结论中，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量
C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等
【变式1】下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【变式2】下列四个命题正确的是（ ）
A．两个单位向量一定相等B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
【变式3】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法正确的是
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
题型02 向量的几何表示
【典例1】已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°的方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行km到达D地．
(1)作出向量，，，；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
【典例2】按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1）
(1)正北方向，且模为2的向量；
(2)长度为，方向为北偏西45°的向量；
(3)向量的负向量.
【变式1】在如图所示的坐标纸中(每个小正方形的边长均为1)，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)，点A在点O北偏西45°方向；
(2)，点B在点O正南方向．
【变式2】一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛．
（1）试作出向量；
（2）求．
题型03 向量的模
【典例1】（23-24高一·全国·课后作业）已知圆O的周长是，是圆O的直径，C是圆周上一点，于点D，则 .
【典例2】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1】如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 .
【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
题型04 零向量与单位向量
【典例1】下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
【典例2】若为单位向量，，则可用表示 .
【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）下列说法：
①零向量是没有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量与任意一个向量共线.
其中，正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【变式2】单位向量
长度为 的向量称为单位向量．对于任一非零向量，都可得到与它方向相同的唯一单位向量．
题型05 相等向量
【典例1】（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形中，，则必有（ ）
A．B．C．D．
【典例2】设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.
(1)与相等的向量；
(2)与相等的向量；
(3)与的模相等且平行的向量（除外）.
【变式1】（23-24高一下·北京·期中）以下命题中正确的个数是（ ）
①两个相等向量的模相等；
②若和都是单位向量，则；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④零向量是唯一没有方向的向量；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2】设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.

【变式3】如图，分别是各边的中点，分别写出图中与、、相等的向量.
题型06 共线向量
【典例1】给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则与的方向相同或相反
B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件
C．若，则
D．“”的充要条件是“且”
【典例2】（多选）关于非零向量，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则.B．若，则.
C．若，则.D．若，则.
【典例3】如图，E、F、G依次是正三角形ABC的边AB、BC、AC的中点.
(1)在以A、B、C、E、F、G为起点或终点的向量中，找出与向量共线的向量；
(2)在以A、B、C为起点，以E、F、G为终点的向量中，找出与向量模相等的向量；
(3)在以E、F、G为起点，以A、B、C为终点的向量中，找出与向量相等的向量.
【变式1】（多选）下列说法错误的是（ ）
A．向量可以用有向线段表示
B．非零向量与非零向量共线，则与的方向相同或相反
C．向量与向量共线，则，，，四点在一条直线上
D．如果，那么
【变式2】（多选）下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．向量共线与的意义是相同的
C．就是所在的直线平行于所在的直线
D．若，则与不共线
【变式3】（多选）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量：
（1）与相等的向量： ；
（2）的负向量： ；
（3）与共线的向量： .
第01讲 6.1平面向量的概念
A夯实基础
一、单选题
1．下列说法错误的是（ ）
A．B．所有的单位向量的模均相等
C．零向量与任何向量共线D．相等向量必为共线向量
2．如图，在圆中，向量，，是（ ）
A．有相同起点的向量B．相反向量
C．模相等的向量D．相等向量
3．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（ ）
A．海拔B．压强C．重力D．温度
5．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）下列结论正确的是：（ ）
A．若与都是单位向量，则．
B．若与是平行向量，则．
C．若用有向线段表示的向量与相等，则点M，N重合
D．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量
6．下列结论中，正确的是（ ）
A．零向量的大小为0，没有方向 B．
C．起点相同的单位向量，终点必相同 D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）下列叙述中正确的是（ ）
A．已知向量，，且，则与的方向相同或相反
B．若，则
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
8．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
二、多选题
9．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．零向量是没有方向的向量B．零向量的长度为0
C．相等向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小
10．（多选）如下四个命题中，说法正确的是（ ）
A．向量
B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量
D．向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
三、填空题
11．（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ；
（2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ．
12．（24-25高一·全国·课后作业）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.

四、解答题
13．如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：
(1)找出与相等的向量；
(2)分别找出与，，相反的向量．
14．如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中

(1)与相等的向量；
(2)与平行的向量；
(3)与模相等的向量；
(4)的负向量．