广东省湛江市2024-2025学年高一上学期1月期末调研考试数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项：
1．考查范围：必修第一册．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．
3．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案信息点．作答非选择题时，必须用黑色字迹的钢
笔或签字笔将答案写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；答案不能答在试卷上．不按以
上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 设集合，则（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义求解．
【详解】由已知，
故选：B．
2. 函数的一个零点所在区间为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题易得 ,结合函数零点存在性定理可得到答案.
【详解】由题意知，，，
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，，，
因为，
所以是函数的零点所在的一个区间.
故选：C.
3. 清朝末年，面对清政府的腐朽没落，梁启超在《少年中国说》中喊出“少年智则国智，少年富则国富，少
年强则国强”的口号．其中“国强”是“少年强”的（）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】少年强则国强；国强不一定少年强，
所以“国强”是“少年强”的必要条件.
故选：B
4. 函数图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断.
【详解】的定义域为，
，为奇函数，排除 C、D；
，排除 A.
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故选：B.
5. 已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式，可得，计算化简，即可得答案.
【详解】由，得，
所以．
故选：B
6. 已知函数，，则下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确
结论.
【详解】任取，则
∵ ，∴ ，则在上单调递增．
又，所以．
故选：D.
7. 某放射性物质在衰变过程中，其质量（单位：克）与年数满足关系式（为初始质量，
为常数，）.已知经过 3 年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，再经过 6 年，该放射性物
质的质量变为初始质量的（）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，时，求时的值.
【详解】经过 3 年，这种放射性物质的质量变为原来的一半，即时，，
则再经过 6 年，， .
故选：D
8. 函数（且）的图象恒过定点，若且，，
则的最小值为（）
A. 9 B. 8 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由函数过定点求出定点坐标，再利用常值代换法，借助于基本不等式即可求得.
【详解】由的图象恒过定点，可得，，则；
因，
当且仅当时等号成立，
由，可解得，
故当时，的最小值为 8.
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分．
9. 下列等式成立的是（）
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A. B.
C D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用公式对每个选项进行三角恒等变换，计算结果，即可判断.
【详解】因为，A 项正确；
，B 项正确；
，C 项错误；
，D 项正确.
故选：ABD.
10. 函数的部分图象如图，则（）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于点对称
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C. 在上单调递增
D. 在上有 2 个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用五点法确定函数的解析式，然后根据正弦函数性质判断各选项．
【详解】由题意，，，又，∴ ，
由五点法，，
所以，
最小正周期为，A 正确；
，B 正确；
时，，在此区间是递减，C 错；
结合选项 B 和周期知，D 正确，
故选：ABD．
11. 已知，则下列结论正确的是（）
A.
B. 函数单调递增区间为
C. 当时，方程有三个不等实根
D. 当且仅当时，方程有两个不等实根
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数的解析式求出，再求出即可判断 A；根据函数的图象，利用数形结合
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的数学思想即可判断 B、C、D.
【详解】A：，所以，故 A 正确；
B：作出函数的图象，如图，由图象可知，函数在和上单调递增，
但不连续，所以不能用“ ”的符号，故 B 错误；
C：由图象可知，当时，函数与的图象有 3 个交点，方程有 3 个不等
的实根，故 C 正确；
D：由图象可知，当或时，函数与的图象有 2 个交点，方程有 2 个
不等的实根，故 D 错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 命题，则是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.
【详解】因为命题为全称量词命题，则是 .
故答案为：．
13. 已知，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】分子分母同除以，求解即可.
【详解】由，
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解得 .
故答案为： .
14. 若，满足对任意，都有成立，则的取值范围
是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数在上是增函数，则每一段都是增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解
.
【详解】函数的定义域为，
对任意，都有成立，
则函数是上的单调递增函数，
解得，
的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）计算；
（2）计算；
（3）已知，求式子的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
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【分析】（1）根据指数运算的性质进行求解即可；
（2）根据对数的运算性质进行求解即可；
（3）运用完全平方公式，结合指数运算的性质进行求解即可.
【详解】（1）
；
（2），，
；
（3），，，
且，
， .
16. 已知．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的关系，平方化简可得，计算即可得答案.
（2）由题意得，可得或，根据的范围，可求得的值，代入即可得答案.
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【小问 1 详解】
由，可得
所以，即，
所以
【小问 2 详解】
由，可得，
解得或，
而，所以，解得，
所以．
17. （1）已知，求的最大值；
（2）若正数 x，y 满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求得正确答案.
（2）先化简已知条件，然后利用基本不等式求得正确答案.
【详解】（1）由于，所以，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最大值为 .
（2）依题意，正数 x，y 满足，
所以，
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所以，
当且仅当时等号成立，
所以最小值为 .
18. 已知函数的最小正周期为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）函数的单调减区间为，单调增区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）利用求得 .
（2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间.
（3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.
【小问 1 详解】
由函数的最小正周期为，，所以，可得，
【小问 2 详解】
由（1）可知，
当，有，，
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当，可得，
故当时，函数单调减区间为，单调增区间为．
【小问 3 详解】
当，有，，
可得，
有，
故函数在区间上的值域为．
19. 已知函数的定义域，且对任意，当时，
恒成立，则称为上的函数.
（1）若定义在上的函数为减函数，判断是否为上的函数，并说明理由；
（2）若为上的函数，且，求不等式的解集；
（3）若为上的函数，求的取值范围.
【答案】（1）为上的函数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据减函数确定，，得到答案.
（2）变换得到，构造新函数，确定函数单调递减，得到，
得到，解得答案.
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（ 3）确定在上为减函数，换元，得到
，解得答案.
【小问 1 详解】
设任意，且，因为定义在上的函数为减函数，
所以，所以 .
因为，且，所以，则，
所以恒成立，故为上的函数.
【小问 2 详解】
，得，
为上的函数，故在上为减函数.
因为，所以 .
因为，所以，即，
所以，解得，
则的解集为 .
【小问 3 详解】
为上的函数，
所以在上为减函数.
设，则在上为减函数，
则，即，因为为上的增函数，且，所以，
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即的取值范围为 .
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