河南省南阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔
书写，字体工整，笔迹清楚.
4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5．保持卷面清洁，不折叠、不破损.
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
（北师大选择性必修一第 140 页 A 组第 3 题）
2. 若 ，且 为直线 l 的一个方向向量， 为平面 的一个法向量，则 m 的值
为（ ）
A. B. C. D. 8
3. 已知圆 圆 则两圆的公切线条数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知事件 A，B 互斥， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 一批电阻 阻值 （单位： ）服从正态分布 ，根据行业标准，概率低于 0.003 视为小概
率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为 和 ，则下列结论正确
的是（ ）
A. 甲、乙两箱电阻均可出厂 B. 甲、乙两箱电阻均不可出厂
C. 甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D. 甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂
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6. 二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB，已知
，则该二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 用 1，2，3，4，5，6 这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字 1，3 相邻的条件下，数字 2，4 也相
邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 分别是双曲线 的左、右焦点，点 O 为坐标原点，过 的直线分别交
双曲线左、右两支于 A，B 两点，点 C 在 x 轴上， 平分 到渐近线的距离为 ，
则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A. 各项系数之和为 1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等
C. 常数项为 15 D. 有理项共有 4 项
10. 某同学投篮两次，第一次命中率 ．若第一次命中，则第二次命中率为 ；若第一次未命中，则第
二次命中率为 ．记 为第 i 次命中，X 为命中次数，则（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在棱长为 4 的正方体 中，O 为 和 的交点，点 在线段 上，
，E，F 分别为棱 和 的中点，则下列选项正确的是（ ）
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A. 若点 P 线段 上一动点，则直线 平面
B. 若点 Q 是平面 内一点，且满足 ，则点 Q 轨迹是抛物线
C. 若点 M 为平面 内一点，且满足 ，则 OM 的最小值为
D. 过线段 BD 且垂直于平面 的截面图形为等腰梯形
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率
为______．
13. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣
的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，
怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出
发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最
短总路程为__________.
14. 甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号 的卡片各 1 张，两人轮流从中不放回的
随机抽取 1 张卡片，直到其中 1 人抽到的卡片编号之和等于 12 或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽
卡，求甲抽了 3 张卡片时，恰好游戏结束的概率是______.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 直线 l 经过两直线 和 的交点．
（1）若直线 l 与直线 垂直，求直线 l 的方程；
（2）若直线 l 与圆 相切，求直线 l 的方程．
（北师大选择性必修一第 129 页第 4 题）
16. 已知：如图，三角形 ABC 为正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 ，F 为
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BE 的中点．
（1）求点 B 到平面 ADF 的距离；
（2）求平面 BDE 与平面 ABC 所成锐二面角 正弦值．
17. 甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少射中 8 环．根据统计资料
可知，甲击中 8 环、9 环、10 环的概率分别为 0.7，0.2，0.1，乙击中 8 环、9 环、10 环的概率分别为 0.6，
0.2，0.2，且甲、乙两人射击相互独立．
（1）在一场比赛中，求甲击中的环数多于乙击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，用 X 表示这三场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数的场数，求 X 的分布列
与数学期望．
18. 在平面直角坐标系 中，动点 P 与定点 的距离和它到定直线 的距离之比是常数 ，
记 P 的轨迹为曲线 E．
（1）求曲线 E 的方程；
（2）设过点 且互相垂直的两条直线分别与曲线 E 交于点 M，N（异于点 A），求证：直线 MN 过定
点．
19. 在 的展开式中，把 ， ，
， ， 叫做三项式系数．
（1）当 时，写出三项式系数 ， ， 的值；
（2）类比二项式系数性质 ，探究 ， ， ，
的等量关系，并给出证明；
（3）求 的值．
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