初中数学苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性课后练习题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性课后练习题，文件包含苏科版数学八上同步讲练专题24等边三角形的性质与判定原卷版doc、苏科版数学八上同步讲练专题24等边三角形的性质与判定解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共92页， 欢迎下载使用。
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；
2、利用等边三角形的性质解决相应数学问题
【教学重难点】
1、理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；
2、利用等边三角形的性质解决相应数学问题。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、含30°的直角三角形的特点。
【知识亮解】
知识点 等边三角形
定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。
性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°。
判定：
①三条边都相等的三角形是做等边三角形
②三个角都相等的三角形是等边三角形
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
总结：
等腰三角形和等边三角形对比
② 等腰三角形和等边三角形的判定
推论1：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
推论2：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。
亮题一、等边三角形的性质
1．（2022·福建漳州·八年级期末）如图，点在正五边形的内部，为等边三角形，则等于（ ）
A．36°B．48°C．54°D．60°
2．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·上海·七年级专题练习）如图，△ABC、△DEF和△GMN都是等边三角形，且点E、M在线段AC上，点G在线段EF上，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．90°B．120°C．150°D．180°
4．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，，，为等边三角形，连接，则_____，的面积为 _____．
5．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE＝∠C，②AQ＝BQ，③AD＝BE，④AE+BD＝AB，其中正确的说法有 _____．（填序号）
6．（2022·上海·七年级专题练习）已知：在△ABC中，∠CAB和∠ABC的平分线AD、BE交于点P．
(1)当△ABC为等边三角形（如图（1）时，求证：EP＝DP；
(2)当△ABC不是等边三角形，但∠ACB＝60°（如图（2））时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
亮题二、等边三角形的判定
1．（2022·广东中山·八年级期末）如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
2．（2022·山东滨州·八年级期末）已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
3．（2021·全国·八年级）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论个数是
A．1B．2C．3D．4
4．（2021·江苏·徐州市树人初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．
5．（2021·山东临沂·八年级期末）如图，∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点C，D分别是点P关于OA，OB的对称点，连接CD交OA，OB分别于点E，F；若△PEF的周长的为9，则线段OP＝_____
6．（2022·安徽·合肥寿春中学八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，垂足为D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F．
(1)求证：．
(2)若点E恰好在边AB的垂直平分线上，判断△CEF的形状，并说明理由．
亮题三、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【例1】★如图，在中，，点、分别为、的中点，则
A．4B．5C．8D．2.5
【例2】★★如图，中，，垂直平分，，，则的度数为
A．B．C．D．
【例3】★★已知：如图，四边形中，，与相交于点，、分别是、的中点．则 ．
【例4】★★如图，在四边形中，，、分别是、的中点，
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
亮题四、含30°角的直角三角形
1．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，∠BAC=120°，点E是斜梁AB的中点，立柱AD，EF，GH垂直于横梁BC，AB=8m，则EF等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山东德州·二模）如图，等边三角形△ABC中，BD＝CE，AE、CD相交于点P，CF⊥AE于F，PF＝3，PD＝1，则AE的长是( )
A．7B．6C．5D．4
3．（2022·河南信阳·二模）如图，点E在等边的边BC上，，射线于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当的值最小时，，则AC为（ ）
A．14B．13C．12D．10
4．（2022·北京·通州区运河中学八年级阶段练习）如图，三角形花园的边界，互相垂直，若测得，的长度为，则边界的中点与点B的距离是_________．
5．（2020·江苏盐城·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A 、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为________．
6．（2022·湖南长沙·中考真题）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为的斜坡，坡角于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为．
(1)求该斜坡的高度BD；
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【亮点训练】
1．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后，得到，连接C，则C的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．18
2．（2022·山西太原·八年级期中）如图，是等边三角形，点E，F分别在AB，AC边上，且．若，则EF的长为（ ）
A．6B．4C．3D．2
3．（2022·湖北鄂州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=10cm，DE=4cm，则BC的长为（ ）
A．7cmB．12cmC．14cmD．16cm
4．（2022·安徽阜阳·八年级期末）如图，，点是内的定点且，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点的动点，则周长的最小值是( )
A．3B．C．D．6
5．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，△ABC中，cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（ ）s后，可得到等边三角形△AMN．
A．4B．6C．8D．不能确定
6．（2022·广东广州·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，，BE垂直平分CD，交CD于点E，若，则CE的长为______．
7．（2022·贵州黔南·八年级期末）如图，P是∠AOB内的一点，C，D分别是点P关于射线OA，OB的对称点，连接CD分别交OA，OB于点E，F，连接PE，PF．若，△PEF的周长为8cm，则线段OP的长为______cm．
8．（2022·湖北武汉·八年级期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，，垂足为D，垂足为E，CD，BE交于点F，，则______．
9．（2021·吉林·长春外国语学校八年级期中）如图，，点C是BO延长线时的一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当__________时，△POQ是等边三角形．
10．（2021·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为 ___．
11．（2022·山东淄博·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE=CF，BD=CE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A=60°时，求∠EDF的度数；
12．（2022·安徽合肥·二模）知：A、B为直线l上两点，请用尺规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）；
(1)任作一个，使；
(2)作，使，且．
13．（2022·福建三明·八年级期中）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，，连接．
(1)求证：是等边三角形：
(2)若，求的长．
14．（2022·全国·九年级专题练习）已知：等边△ABC，过点B作AC的平行线l．点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60°交直线l于点D．
(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；
①求证：∠BDP=∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；
(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
15．（2022·福建漳州·八年级期末）【知识介绍】换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．均值换元法是换元法主要形式之一．
【典例分析】已知实数x，y满足x＋y＝4，试求代数式x2＋y2的最小值．
【分析】均值换元法：由x＋y＝4，得x与y的均值为2，所以可以设x＝2＋t，再代入代数式换元求解．
【解法】∵x＋y＝4，∴设x＝2＋t，y＝2﹣t，
∴x2＋y2＝（2＋t）2＋（2﹣t）2
＝2t2＋8≥8，
∴x2＋y2的最小值是8．
【理解应用】根据以上知识背景，回答下列问题：
(1)若实数a，b满足a＋b＝2，求代数式a2＋b2＋2的最小值；
(2)已知△ABC的三边长a，b，c，满足b＋c＝8，bc＝a2﹣8a＋32，请判断△ABC的形状，并求△ABC的周长．
【培优检测】
1．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（ ）

A．PD=DQB．2DE=ACC．2AE=CQD．PQ⊥AB
2．（2022·四川德阳·八年级期末）如图，中，，，，，，平分，与相交于点，则的长为（ ）
A．4B．13C．6.5D．7
3．（2021·河南·开封市第二十七中学八年级期末）如图，已知等边和等边，其中点、、在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，和交于点，则下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，过边长为4的等边的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．B．2C．D．
5．（2022·湖南长沙·八年级期末）如图，等边中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，，，在BD上有一动点E，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
6．（2022·江苏盐城·一模）如图，中，垂直平分交于，，，则 ______ ．
7．（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在中，，．点D为斜边AB上一动点，将沿直线CD折叠，当点B的对应点恰好落在边AC的垂直平分线上时，线段AD的长为______．
8．（2022·四川成都·八年级期末）如图，在中，，，，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点M，交于点N，则的长为_______．
9．（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠ACO=15°；
②∠APO+∠DCO=30°；
③△OPC是等边三角形；
④AC=AO+AP；
其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．
10．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上的一点，∠BAD=28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为________
11．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，，，，点E是线段AB上一点，，．
(1)证明：是等边三角形．
(2)若，，求AB和AD的长．
12．（2022·河南南阳·八年级期末）在△AMN中，∠MAN＞90°，AM的垂直平分线交MN于B，交AM于E，AN的垂直平分线交MN于C，交AN于F．
(1)若AM＝AN，∠MAN＝120°，则△ABC的形状是 ；
(2)去掉（1）中的“∠MAN＝120°”的条件，其他不变，判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(3)当∠M与∠N满足怎样的数量关系时，△ABC是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
13．（2022·山东临沂·模拟预测）问题探究：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
(1)证明：AD＝BE；
(2)求∠AEB的度数．
问题变式：
(3)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求出∠AEB的度数以及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
14．（2022·贵州遵义·八年级期末）已知△ABC是等边三角形，D是射线CA上一动点（不与点A，C重合），E是BA延长线上一点，且DE＝BD．
(1)如图1，若D是线段AC的中点，则CD______AE．（填“>”“