山东省2024-2025学年高三下学期开年检测联考数学试题

这是一份山东省2024-2025学年高三下学期开年检测联考数学试题，共5页。试卷主要包含了若，，，则，设随机变量，若，则，已知，则，已知函数，记为的导函数，若，则等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．利用微信转账余额提醒这一小程序从数据库中得到某人一天内的网上交易额如下：26，32，7，13，42，114，则该组数据的平均数为（ ）
A．36B．39C．40D．41
2．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列的前n项和，则（ ）
A．66B．77C．88D．99
4．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．设随机变量，若，则（ ）
（附：若随机变量，则，）
A．0.1359B．0.1456C．0.2718D．0.3174
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．寒假期间某校6名同学打算去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择，若每个景区中至少有1名同学前往打卡，则不同方案的种数为（ ）
A．180B．360C．450D．540
8．三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”．公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”．某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角∠AOB的顶点与坐标原点O重合，点B在第四象限，且点B在双曲线T：的一条渐近线上，而OA与T在第一象限内交于点A．以点A为圆心，为半径的圆与T在第四象限内交于点P，设AP的中点为Q，则．若，，则a的值为（ ）
A．B．8C．D．10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（ ）
A．外接圆的面积为B．若，则
C．面积的最大值为D．周长的最大值为
10．已知函数，记为的导函数，若，则（ ）
A．B．在区间上有3个零点
C．在区间上单调递减D．
11．如图，在三棱锥的平面展开图中（重合于点P），是边长为4的等边三角形，，于点C，，则在三棱锥中（ ）
A．
B．当时，平面平面BDC
C．直线BD与平面PAC所成最大角的正切值为
D．若四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，．若，则m的取值范围是______．
13．已知函数若关于x的方程有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______．
14．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，焦距为，点P为C在第一象限上一点，直线与y轴交于点M，，若直线的斜率为，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知偶函数和奇函数均为幂函数，，且．
（1）若，证明：；
（2）若，，且，求实数k的取值范围．
16．（15分）如图所示，在几何体中，四边形为正方形，，，且，，．
（1）证明：平面ABC；
（2）若，求平面AEF与平面夹角的余弦值．
17．（15分）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于点M（M异于原点），且．
（1）求C的方程；
（2）设P是C上位于x轴上方的一点，且轴，直线l：与C交于A，B两点，当直线PA，PB关于直线PF对称时，求实数m的值．
18．（17分）在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球．
（1）记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列；
（2）若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值．
（参考数据：，）
19．（17分）数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合中的元素称为四元数，其中i，j，k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．两个四元数的乘法定义为：，，，，四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
（1）设，四元数．记表示的共轭四元数．
（ⅰ）计算；
（ⅱ）若，求；
（ⅲ）若，，证明；；
（2）设，．证明：．