2025保定高二上学期1月期末考试数学（A卷）含解析

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注意事项：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答
题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以
上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是正确的.
1. 直线 与直线 的距离 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 直线 的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 在 2 与 18 中间插入 7 个数使这 9 个数成等差数列，则该数列的第 5 项是（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4. 过三点 的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 等比数列 的前 项和为 ， ，则数列 的公比 （ ）
A. B. 2 C. D.
6. 在平行六面体 中， 与 交于点 ，设 ，则 （
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）
A. B.
C D.
7. 抛物线 与圆 交于 、 两点， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知 分别为椭圆 的左，右焦点，点 为直线
与椭圆 的一个公共点，满足 ，且 ，则椭圆 的方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列数列 中，一定是单调递增数列 是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 为 线段的中点，点 在底面四边形
内（包括边界）移动，且 ，则（ ）
A. B. 点 到平面 的距离为
C. 点 的轨迹长度为 D. 为线段 上的点，则 的最小值为
11. 当半径为 的动圆沿着半径为 的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点 的轨迹为
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星形线.如图所示现有一个星形线 ，下列说法正确的是（ ）
A. 点 在曲线 的外部 B. 曲线 所围成的封闭区域的面积小于 128
C. 曲线 上的点到原点的距离最小值为 4 D. 直线 与曲线 有三个交点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 抛物线 上与焦点的距离等于 的点的纵坐标为_________.
13. 设 是数列 的前 项和， 且 ，则 __________.
14. 在棱长为 2 的正方体 中， 为平面 内一动点， 与 所成的角为 ，则
动点 所在曲线的焦距为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知曲线 的方程为 ．
（1）若曲线 表示圆，求 取值范围；
（2）当 时，直线 与曲线 交于 两点，求
16. 在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 .点 分别在 上，且
分别为 中点.
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（1）求证： 平面 ；
（2）当 ，求平面 与平面 的夹角.
17. 已知数列 满足 ，且 .数列 的前 和为 ， .
（1）证明：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
18. 古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆
的中心为原点，焦点 均在 轴上， ，其面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2） 分别是椭圆 的左，右顶点， 分别是椭圆 的上、下顶点，设 为第二象限内椭圆 上
的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，判断直线 的斜率是否为
定值，若是求出这个值；若不是，说明理由.
19. 从 点引出三个不共面的向量 ，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架
构成右手标架，如图所示.规定： 为一个向量，它的长度为 ，它的方向与向
量 均垂直，且使 构成右手标架.该运算满足：
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. 为单位正交基底，且 符合右手标架，
以 的正方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，若 ，则记
.
（1）证明： ；
（2）已知向量 ，求 的坐标表示；
（3）①三棱锥 中， ，求三棱锥 的体积 ；
②请结合“ ”与“数量积”的几何意义，用 表示平行六面体 的体积.
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