北京市海淀区2024-2025学年九年级上学期期末 数学试题（含解析）

这是一份北京市海淀区2024-2025学年九年级上学期期末 数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
3．若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A．2B．4C．D．
4．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．近年来我国新能源汽车出口量快速增长，2021年出口量为31万辆，2023年出口量为120.3万辆．设新能源汽车出口量的年平均增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，以点为圆心的两个同心圆中，点，在大圆上，点，在小圆上，和的长度分别是，．若扇形与扇形的面积相等，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
8．如图，点A是上一点，点，为上与点A不重合的两点．若再从下列三个表述中选取一个作为题设，以作为结论，则所有能组成真命题的表述的序号是（ ）
①垂直平分；
②四边形是平行四边形；
③．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题（本大题共8小题）
9．在平面直角坐标系中，点A（-4，1）关于原点对称的点的坐标是 ．
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是 ．
11．如图，为的直径，内接于．若，则 ．
12．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，则一元二次方程的解为 ．
13．图1和图2分别为可移动休息舱及其截面示意图．已知截面底部宽为2.4米，该截面所在圆的半径为2米，则最高点到的距离为 米．
14．小明看到公园地面上有一个心形封闭图形，为了研究图形的面积，设计了一项试验：在图形外部绘制一个半径为1米的圆，如图所示，向这个圆内随机投掷石子．假设石子落在圆内的每一点都是等可能的（不考虑边界），记录的试验数据如下：
随着投掷次数的不断增多，石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为 ；由此估计图形的面积为 平方米．
15．二次函数中的自变量与函数值的部分对应值如下：
若，写出一个符合题意的的值为 ．
16．学校即将举办为期一天的“科学节”系列活动，“科普实验”“机器人体验”等精彩纷呈的主题活动将在不同时段陆续展开，下图为此次活动的海报．同学们可以根据自己的兴趣和时间，选择心仪的活动参与．参加每个主题活动时需全程参与，之后可获得相应的积分用于兑换纪念品．例如，小明参加“科普实验”活动时，需从8:00至10:00全程参与，之后可获得7个积分．
回答下列问题：
（1）如果小明计划至少参加三个主题活动，且其中之一为人工智能展，那么他参加活动的方案可以为 （填活动序号，写出一种即可）；
（2）如果小明希望在活动中获得至少27个积分用于换取纪念品，那么他参加活动的方案共有 种．
三、解答题（本大题共12小题）
17．解方程.
18．已知，求的值．
19．已知：如图，是的弦．
求作：上的点，使得．
作法：①连接并延长交于；
②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
③作直线交于点，，连接，．
所以，点，就是所求作的点．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：连接，．
，，
（______）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（______）（填推理的依据）．
．
20．关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．
21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为．
(1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形；
(2)______；
(3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______．
22．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过和两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点在抛物线上，且与点不重合．过点作轴的垂线交直线于点．若点位于点的上方，则点的横坐标的取值范围是______．
23．2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：
(1)从这12个班级中任意选取1个班级．
①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；
②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______；
(2)某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率．
24．如图，，分别与相切于，两点，的延长线交弦于点，，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
25．某兴趣小组通过实验研究发现：当音量（单位：dB）满足时，听觉舒适度与音量之间满足二次函数关系．当音量为时，听觉舒适度为6；当音量为时，听觉舒适度达到最大值．

(1)求该二次函数的解析式，并在图1的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)在家听音乐时，小明听到的音量与所坐位置到音箱的距离（单位：）的关系如图2所示．若她希望听觉舒适度不小于9，根据此实验研究结果，请写出小明所坐位置到音箱的距离的取值范围______（结果保留小数点后一位）．
26．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上不重合的两点．
(1)当，时，求的值；
(2)若对于，都有，求的取值范围．
27．在中，于点，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，当时，补全图形，并求的长；
(2)如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”．
(1)如图，点，直线与交于点，．
①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”；
②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______；
(2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故此题答案为B．
2．【答案】A
【分析】根据上加下减求解作答即可．
【详解】将抛物线向下平移1个单位，
得到的抛物线的表达式为．
故此题答案为A．
3．【答案】D
【分析】把代入一元二次方程中即可解得的值．
【详解】解：把代入一元二次方程中得：，
解得：．
故此题答案为D．
4．【答案】D
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】A．抛物线开口向下，
，故本选项错误；
B．抛物线的对称轴在轴左侧，
，
，故本选项错误；
C．抛物线与y轴的交点在正半轴上，
，故本选项错误；
D．抛物线与x轴的两个交点，
，故本选项正确．
故此题答案为D．
5．【答案】C
【分析】设新能源汽车出口量的年平均增长率为，则2022年的出口量是万辆，2023年的出口量是万辆，然后根据2023年的出口量列方程即可．
【详解】解：设年平均增长率为，
由题意得：．
故此题答案为C．
6．【答案】D
【分析】根据旋转的性质解答即可得出结论．
【详解】解：由旋转的性质可得：，，，
而得不到，
故此题答案为D．
7．【答案】B
【分析】设大圆半径为，小圆半径为，得到，则，即可得答案．
【详解】解：设大圆半径为，小圆半径为，
则扇形的面积，扇形的面积，
∵扇形与扇形的面积相等，
∴，
∵
∴，
即，
故此题答案为B
8．【答案】A
【分析】①根据线段垂直平分线的性质可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；②根据题意易证平行四边形是菱形，即可证和都为等边三角形，得出，即，即说明原命题为真命题；③分类讨论：当点A在优弧上时，由圆周角定理可直接得出；当点A在劣弧上时，在优弧取点D，连接，，由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质得出，即说明原命题为假命题．
【详解】解：①题设：垂直平分；结论：．
如图，连接，，
∵垂直平分，，
∴，
∴和都为等边三角形，
∴，
∴，即此时为真命题；
②题设：四边形是平行四边形；结论：．
如图，
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，
∴．
∵，
∴和都为等边三角形，
∴，
∴，即此时为真命题；
③题设：；结论：．
分类讨论：当点A在优弧上时，如图，
∴；
当点A在劣弧上时，如图，在优弧取点D，连接，，
∴，
∴．
综上可知当时，或，故原命题为假命题．
故此题答案为A．
9．【答案】（4，-1）
【分析】由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】解：由平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特点：横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点A（-4，1）关于坐标原点O对称点A′的坐标是（4，-1）．
10．【答案】4
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴△=42﹣4a=16﹣4a=0，
解得：a=4．
11．【答案】50
【分析】连接，首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后由直径得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】如图所示，连接
∵
∴
∵为的直径
∴
∴．
12．【答案】，
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴当或时，，
即一元二次方程的解为，
13．【答案】3.6
【分析】连接，根据垂径定理得米，由勾股定理得米，根据可得结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，且米，
∴米，
又米，
∴在中，，
∴米，
∴米
14．【答案】 0.4
【分析】（1）大量试验时，频率可估计概率；
（2）利用概率，根据图形A的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积．
【详解】解：（1）因为石子落在图形内的频率逐渐稳定在0.4左右，因此估计石子落在图形内的概率为0.4
（2）∵圆的半径为1米，
∴它的面积为，
∵石子落在图形内的概率为，
∴估计图形的面积为平方米
15．【答案】1（答案不唯一，可取大于0的任何数）
【分析】抛物线的对称轴是，根据和抛物线的对称性，点关于对称轴的对称点为，且，根据抛物线过x轴上的两点及点0,2可知抛物线开口向下，结合二次函数的图像可以判断n符号，即可解答此题．
【详解】解：抛物线的对称轴是，
关于直线的对称点为，
，
，
抛物线开口向下，
在抛物线上，
当时，
可取大于0的任意一个数
如图所示，
16．【答案】 （或或） 1
【分析】（1）三项活动的时间不能有冲突，由此可解；
（2）根据各项活动的积分可得，要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，再判断时间是否冲突，即可求解．
【详解】解：（1）由表格可知，活动G，H的开始时间比F（人工智能展）的结束时间早，不能参加，
活动E的结束时间比F（人工智能展）的开始时间晚，不能参加，
所以需要从活动A，B，C，D中选两项，其中A与B时间冲突，B与C时间冲突，C与D时间冲突，
可选A和C，或A 和D，B和D，
故他参加活动的方案可以为：（或或）；
（2）参加活动最高可得积分：，第二可得，
所以要想获得至少27个积分，需参加积分为10，9，8的三项活动，即或，
又因为H与F时间冲突，
所以他参加活动的方案只能是，共1种
17．【答案】，
【分析】原方程运用公式法求解即可．
【详解】解：，
，，，
，
，
，.
18．【答案】
【分析】先根据已知等式可得，再利用平方差公式、单项式乘以多项式计算，代入求值即可得．
【详解】解：由得：，
则
．
19．【答案】(1)见解析
(2)三线合一，圆周角定理
【分析】（1）根据题干中的作图方法作图即可；
（2）首先由三线合一得到，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，点，即为所求．
（2）证明：连接，．
，，
（三线合一）（填推理的依据）．
．
，，，都在上，
，（圆周角定理）（填推理的依据）．
．
20．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，进行作答即可；
（2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
解得，，，
∵该方程的实数根均为非负数，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为．
21．【答案】(1)见解析
(2)90
(3)
【分析】（1）线段和的中垂线的交点即为点O，再确定点的位置，最后连线即可得“L”形旋转后所得到的图形；
（2）由（1）中的图示可得；
（3）点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，线段和的中垂线的交点即为点O，
“L”形旋转后所得到的图形如图所示；
（2）解：由（1）中的图示可得
（3）解：点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，
由题意得，
∴点所经过的路径长，
22．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次函数图象上的点的坐标以及待定系数法解决此题．
（2）设点C的坐标为，得到直线解析式为，当时，，即点P的坐标为，由点位于点的上方得到，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点．
∴，
解得
抛物线的表达式为；．
（2）设点C的坐标为，设直线解析式为，
∴
解得
∴直线解析式为，
当时，，即点P的坐标为
∵点位于点的上方，
∴，
∴或，
解得．
23．【答案】(1)①随机；②4，1
(2)
【分析】（1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可；
②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件；
②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，
∴，
∴，
故答案为：①随机；②4，1；
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
24．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得，再由四边形内角和得，由平角的性质得，进而得，再由垂径定理得，继而可得结论；
（2）过点C作于点M，先由已知得四边形是矩形，进而得，，，结合（1）易得是等腰直角三角形，进而可得，，再由即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，分别与相切于，两点，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，平分，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点C作于点M，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为2，即，
∴，
∴，，
∴．
25．【答案】(1)，图象见解析；
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，再画出二次函数的图象即可；
（2）当时，，解得或，由图2可得，当时，，当时，，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可设，，
当音量为时，听觉舒适度为6；
∴，
解得，
∴该二次函数的解析式为；
图象如下：

（2）当时，，
解得或，
由图2可得，当时，，当时，，
∴小明所坐位置到音箱的距离的取值范围
26．【答案】(1)0
(2)或
【分析】（1）由求出，，再根据得到，代入计算即可；
（2）的对称轴为，根据二次函数的增减性判断即可，注意根据开口方向分类讨论．
【详解】（1）解：当时，，，
将代入得，，即
∵，
∴，
将代入得，，
解得：或，
∵点A、B不重合，
∴；
（2）解：∵的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
当时，抛物线开口向上，在对称轴右边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴，都在对称轴右侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
当时，抛物线开口向下，在对称轴左边时，即当时，随增大而增大，
∴，
∵，
∴
∴，都在对称轴的左侧，
∵对于，都有，
∴，解得，此时；
综上所述，的取值范围为或．
27．【答案】(1)
(2)，证明见详解
【分析】（1）先作出图形，取的中点，连接、、，由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理即可求解；
（2）取的中点，连接、，延长至，使，连接，延长交于，由等腰三角形的判定及性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，等量代换得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，
取的中点，连接、、，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
由旋转得：，，
，
，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
，
；
（2）解：；
理由如下：
取的中点，连接、，延长至，使，连接，
延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由（1）同理可证：，
，
，
是的中点，
，
在和中
，
（），
，，
，，
在和中
，
（），
，
．
28．【答案】(1)①，是；②；
(2)或
【分析】（1）①连接，设与轴交于点，勾股定理求得的长得出点的坐标，进而勾股定理求得得出，是等边三角形，结合新定义，即可求解；
②根据新定义可得，则是等边三角形，根据点是线段上的点，最小值即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得轴，根据等边三角形的性质可得，即可得出点的坐标；
（2）设是上任意一点，根据新定义将顺时针60°得到的点在上，分析旋转后的线段与圆弧的位置关系，以及点的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得的范围，即可求解．
【详解】（1）解：①连接，设与轴交于点，
∵的半径为2，
∴，，
∴
∴
∵，
∴，则，
∵
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴点是点关于弦的“等边旋转点”
②根据新定义可得，则是等边三角形，
∴到的距离最小值即的长，
∵，，
∴的最小值为；
如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合，
∵是等边三角形，
∴
∴
（2）解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部，
如图所示，连接，则，
当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环
∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点，
∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针60°得到的点在上，即是等边三角形，
∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意，
如图所示，
当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内，
当与重合，且时，在半径为的上，此时
当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点，
∵是等边三角形，，，
∴，
在中，
∴
解得：（负值舍去）
∴
当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内，
先求得最小值，即的最大值，则重合，
如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值，

如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接，
∴，
∵
∴
解得：
∴
综上所述：的取值范围为：或
掷石子的总次数
50
100
200
500
…
石子落在图形内的次数
15
43
80
201
…
石子落在阴影部分的次数
35
57
120
299
…
0
2
0
2
科学奇遇记
序号
主题活动
开始时间
结束时间
积分
A
科普实验
8:00
10:00
7
B
设计工坊
9:00
11:00
8
C
微观世界
10:30
11:50
5
D
机器人体验
11:30
13:30
9
E
温室生态展
13:00
14:40
7
F
人工智能展
14:00
16:45
8
G
梦幻剧场
15:00
17:30
5
H
创意荟
16:00
19:00
10
跑步量达标率
班数
7