甘肃省张掖市甘州区2024-2025学年上学期九年级 数学期末试卷（含解析）

这是一份甘肃省张掖市甘州区2024-2025学年上学期九年级 数学期末试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．半径为5的⊙O，圆心在直角坐标系的原点O，则点P（3，4）与⊙O的位置关系是（ ）．
A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，已知点的坐标是，将绕原点顺时针旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．同时抛两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，点，，在上，，过点作的切线交的延长线于点，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示的是反比例函数和一次函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．反比例函数的解析式是B．一次函数的解析式为
C．当时，最大值为1D．若，则
9．如图，正五边形内接于，则的度数是（ ）
A．B．C．30°D．
10．用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（ ）
A．9B．8C．6D．不能确定
二、填空题（本大题共5小题）
11．若等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是 ．
12．点，是反比例函数图象上的两点，那么，的大小关系是 ．
13．设实数a，b满足，则 ．
14．如图，正方形ABCD的边长为6，以D为圆心，4为半径作圆弧．以C为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为S1,S2，则S1﹣S2＝ ．（结果保留π）
15．如图，，，，．．．是分别以，，，…为直角顶点且一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边中点，，，…均在反比例函数的图象上的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
16．解方程：．
17．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于x轴对称的；
(2)画出关于原点O顺时针旋转后的；
(3)求在（2）变化中点C到经过的路径长．
18．某单位食堂为全体名职工提供了四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：
在抽取的人中最喜欢套餐的人数为 ，扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的大小为 ；
依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢套餐的人数；
现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．
19．如图，直线分别与x轴，y轴相交于A，B，与反比例函数y=的图象相交于点，作轴于C，已知△APC的面积为9．
（1）请分别求出直线l与反比例函数的表达式；
（2）将直线l上下平移，平移后的直线与x轴相交于点D，与反比例函数的图象交于点Q，作轴于E，如果的面积是的面积的2倍，求点D的坐标．
20．如图，在中，，以AB为直径的交于点，点在的延长线上，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径长及的值．
21．两地有一条直道，小王和小李先后从地出发沿这条直道去地．设小李出发第分钟时，小李、小王离地的距离分别为与之间的函数表达式是与之间的函数表达式是．
(1)两地相距多少；
(2)小李出发时，小王地的距离为多少；
(3)小李出发至小王刚到达地这段时间内，求两人之间的最近距离．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-4ax+1（a＞0）．
(1)抛物线的对称轴为 ；
(2)若当1≤x≤5时，y的最小值是-1，求当1≤x≤5时，y的最大值；
(3)已知直线y=-x+3与抛物线y=ax2-4ax+1（a＞0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当-2≤x1＜-1时，求a的取值范围．
23．如图，将边长为正方形纸片沿折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交于点F，边AB折叠后与边交于点G．
(1)当H与CD中点重合时（如图1），直接写出DE的长度．
(2)试猜想当H在边CD上运动时，的周长是否为定值．如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
(3)试探究当取何值时，的面积有最大值，并求出这个最大值．
参考答案
1．【答案】A
【分析】可以使用配方法将一般式化为顶点式求解，也可以利用顶点坐标公式进行求解．
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为．
故此题答案为A．
2．【答案】A
【分析】首先求得点P与圆心O之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点P与 O的位置关系．
【详解】由勾股定理得：OP==5，
∵O的半径为5，
∴点P在O上.
故此题答案为A.
3．【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义即可求解；
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误；
B、是中心对称图形，故选项正确；
C、不是中心对称图形，故选项错误；
D、不是中心对称图形，故选项错误．
故此题答案为B
4．【答案】C
【分析】过作轴于，连接，过点作轴于，则，证明，由点的坐标是得到，，根据在第四象限即可得到点的坐标；
【详解】解：如图，过作轴于，连接，过点作轴于，则，
点绕坐标原点顺时针旋转后得到点，
，，
，
即，
，
点的坐标是，
，，
点在第四象限；
点的坐标为；
故此题答案为C
5．【答案】B
【分析】列举出所有情况，看一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数占总情况数的多少，利用概率所求情况数与总情况数之比即可．
【详解】解：画树形图得：
由树形图可知共4种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，
故此题答案为B．
6．【答案】B
【分析】设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据“今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元”即可列出方程．
【详解】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，由题意可得
，
故此题答案为B
7．【答案】D
【详解】解：∵CD与相切，
∴，
∴，
∵，
∴由圆周角定理可知：，
∴，
故此题答案为D．
8．【答案】D
【分析】结合图象，求出两个函数的解析式，再逐一进行判断即可。
【详解】解：A、由图象可知，两个函数图象相交于两个点，其中一个点坐标为，
把代入得，，
，选项错误，不符合题意；
B、当时，，
另一个交点坐标为：，
直线解析式为：，分别代入，，得：
，
解得，
，选项错误，不符合题意；
C、由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，，选项错误，不符合题意；
D、由图象可知， ，直线在双曲线的下方，，选项正确，符合题意；
故此题答案为D．
9．【答案】A
【分析】连接，，求出中心角，再根据圆周角定理即可求出的值
【详解】解：如图所示，连接，，
，
，
，
故此题答案为A．
10．【答案】C
【分析】根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值
【详解】设窗框的长为，
根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，
即
故此题答案为C．
11．【答案】或10/10或11
【详解】解：方程，
移项得：，
∴，
∴，
当4为腰，3为底时，三角形周长为；
当3为腰，4为底时，三角形周长为，
综上，这个三角形的周长是或10．
12．【答案】
【分析】根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内随的增大而增大，
∵点，是反比例函数图象上的两点，且，
∴
13．【答案】0或
【分析】若一元二次方程的两个根为，则． 根据题意可得a、b为方程的两个根，分类讨论①a、b不相等时、②当时两种情况即可求解．
【详解】解：根据题意可得a、b为方程的两个根，
将方程化为一元二次方程的一般形式为．
①a、b不相等时，
∴
∴；
②当时，得．
综上所述，0或
14．【答案】13π﹣36
【详解】解：由图可知，
，
，
,
即.
15．【答案】
【分析】根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，，得到，然后再求和即可．
【详解】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、，

则，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
，
其斜边的中点在反比例函数，
，即，
，
，
设，则，
此时，代入得：，
解得：（负值舍去），即：，
同理：，
，
∴，
16．【答案】
【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
17．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)点C到经过的路径长为
【分析】（1）根据轴对称的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点的位置，顺次连接即可；
（3）利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）∵，
∴点C到经过的路径长为．
18．【答案】（1）60，108°；（2）336；（3）
【分析】（1）用最喜欢套餐的人数对应的百分比乘以总人数即可，先求出最喜欢C套餐的人数，然后用最喜欢C套餐的人数占总人数的比值乘以360°即可求出答案；
（2）先求出最喜欢B套餐的人数对应的百分比，然后乘以960即可；
（3）用列举法列出所有等可能的情况，然后找出甲被选到的情况即可求出概率．
【详解】（1）最喜欢套餐的人数=25%×240=60（人），
最喜欢C套餐的人数=240-60-84-24=72（人），
扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为：360°×=108°
（2）最喜欢B套餐的人数对应的百分比为：×100%=35%，
估计全体名职工中最喜欢套餐的人数为：960×35%=336（人）；
（3）由题意可得，从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人，总共有6种不同的结果，每种结果发生的可能性相同，列举如下：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，
其中甲被选到的情况有甲乙，甲丙，甲丁3种，
故所求概率P==．
19．【答案】（1），；（2）（，0）
【分析】（1）利用三角形面积即可求得A的坐标，根据待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）设平移后的直线的表达式为，由平移可知，△APC∽△DQE，根据相似三角形的性质即可求得Q的坐标，进而求得平移后的直线解析式，令y=0，即可求得D的坐标．
【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上，
，，，
反比例函数的表达式为，
的面积为9，
，
，
，
点的坐标为，
把点，代入得，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）设平移后的直线的表达式为，点的纵坐标为，
由题意可知，，
的面积是的面积的2倍，
，
，
代入得，
，，
代入得，，
，
，
令，得，
点的坐标为，．
20．【答案】(1)见解析
(2)的半径为；
【分析】（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得AD是角平分线，进而得出，由三角形的内角和定理得出即可；
（2）过点作，垂足为，由锐角三角函数可求出AB进而得出半径的值，再根据平行线分线段成比例，求出，，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】（1）证明：如图，连接AD，
是的直径，
，即，
，
，
平分，即，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作，垂足为，
AB，
由可得，
，
，
10，
即的半径为；
，，
，
，
，
AB，
，
，，
10，
．
21．【答案】(1)两地相距
(2)小李出发时，小王离地的距离为
(3)小李出发第时，两人相距最近，最近距离是
【分析】（1）在中，当时，，即可得出答案；
（2）在中，当时，，再作差即可得出答案；
（3）设小李出发第分钟时，两人相距，先表示出，再根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：，
当时，，
两地相距；
（2）解：，
当时，，
小李出发时，小王离地的距离为；
（3）解：设小李出发第分钟时，两人相距，
则，
当时，取得最小值，此时，
答：小李出发第时，两人相距最近，最近距离是．
22．【答案】(1)x=2
(2)y的最大值是
(3)≤a＜
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x=2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y的最小值是-1，得顶点坐标为（2，-1），把顶点（2，-1）代入y=ax2-4ax+1，可得a的值，进而可得y的最大值；
（3）当x=-2时，P（-2，5），把P（-2，5）代入y=ax2-4ax+1，当x1=-1时，P（-1，4），把P（-1，4）代入y=ax2-4ax+1，分别求出a的值，再根据函数的性质即可得a的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：x=-=2，
故答案为：x=2；
（2）解：∵抛物线的对称轴直线为x=2，
∴顶点在1≤x≤5范围内，
∵y的最小值是-1，
∴顶点坐标为（2，-1）．
∵a＞0，开口向上，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
即x=5时，y有最大值，
∴把顶点（2，-1）代入y=ax2-4ax+1，
∴4a-8a+1=-1，
解得a=，
∴y=x2-2x+1，
∴当x=5时，y=，
即y的最大值是；
（3）解：当x=-2时，P（-2，5），
把P（-2，5）代入y=ax2-4ax+1，
∴4a+8a+1=5，
解得a=，
当x1=-1时，P（-1，4），
把P（-1，4）代入y=ax2-4ax+1，
∴a+4a+1=4，
解得a=，
∴≤a＜．
23．【答案】(1)DE
(2)的周长是定值，定值为，理由见解析
(3)当取时，的面积有最大值，最大值为
【分析】（1）设，，在直角三角形中，即可根据勾股定理建立方程求解；
（2）连接，作于M，证得，再证得即可求解；
（3）设直角边分别为a、b，则斜边为c，根据可得结论：当时，取最大值； 由（1）中结论结合勾股定理可得，，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是边长为的正方形，
∴，
设，则，
由折叠的性质得：，
∵H为CD的中点，
∴，
∵
解得：
∴DEcm
（2）解：的周长是定值，理由如下：
∵∵四边形是边长为的正方形，
∴，
连接，作于M，如图2所示：
∵，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，即，
∵，
∴
又∵
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的周长：，
（3）解：设直角边分别为a、b，则斜边为c，
∵
∴，即：
当时，，
∴当时，取最大值，
由勾股定理得：，
∴，
由（2）得：，
∴，
∴，
整理得：
∴
即：
令，
当时，解得
∵二次函数的图象开口向上，
∴的解为：或，
∵
∴
∵，
∴当时，有最大值，最大值为：
此时，
即：当取时，的面积有最大值，最大值为