河南省南阳市名校联考2024-2025学年九年级上学期12月期末 数学试题（含解析）

这是一份河南省南阳市名校联考2024-2025学年九年级上学期12月期末 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值可能是（ ）
A．16B．0C．2D．任意实数
2．一元二次方程的解为（ ）
A．B．C．，D．，
3．下列说法正确的是（ ）
A．“将油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件
B．某奖券的中奖率为，则买5张奖券一定会有一张中奖
C．“明天降雨的概率是”说明明天将有的地区降雨
D．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA＝B．tanA＝C．csA＝D．tanB＝
5．电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（ ）
A．B．C．D．
6．在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市大力开展植树造林活动．如图，若在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）为，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离为（ ）
A．B．C．D．
8．把抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图所示，在中，点D．E分别是的中点，则下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0个
10．如图①，E为矩形的边上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿运动到点C停止，它们的运动速度都是，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x(s),△BPQ的面积为ycm2,y与x的对应关系图象如图②所示，则矩形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题）
11．计算：−52= .
12．写出一个关于的一元二次方程，使其一次项系数为，你写出的一元二次方程是： ．
13．一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别．现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是 ．
14．如图，在中，，，，那么 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，点A的坐标是1,0，．若将这个菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，则点的坐标是 ．

三、解答题（本大题共8小题）
16．（1）求值：；
（2）先化简，再求代数式的值，其中．
17．用适当的方法解下列方程:
(1)；
(2)；
18．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线轴 ，的顶点均在格点上．
(1)作关于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线对称的图形和；
(2)分别写出、、点的坐标为：______，______、______；
(3)可以看作是绕点顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；可以看作是向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．
19．如图所示，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为E，若．
(1)求的长；
(2)求的正切值．
20．为落实“双减”政策，丰富课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供选择：（合唱社团）、（硬笔书法社团）、（街舞社团）、（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
(1)小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表或画树状图法，求他俩选到相同社团的概率；
(2)学校计划从这四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图法求出学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的概率．
21．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求D到的距离．
(2)求古塔的高度（结果保留根）．
22．如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且．
(1)求抛物线的解析式和b值；
(2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．
23．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．
(1)问题背景
如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点A落在点处，当时， ；
如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则 ；
(2)探究迁移
如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由；
(3)拓展应用
如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．
参考答案
1．【答案】B
【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到a的值．
【详解】解：∵，
而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得．
故此题答案为B．
2．【答案】C
【详解】，
，
，
或，
∴，；
故此题答案为．
3．【答案】D
【详解】解：A、“将油滴入水中，油会浮在水面上”是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意；
B、某奖券的中奖率为，则买5张奖券不一定会有一张中奖，故本选项说法错误，不符合题意；
C、“明天降雨的概率是”说明明天降雨的可能性大，但不一定明天将有的地区降雨，故本选项说法错误，不符合题意；
D、“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件，故本选项说法正确，符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误；
tanA＝，故选项B错误；
csA＝45，故选项C正确；
tanB＝43，故选项D错误．
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：在中，，，
则：；
故此题答案为B．
6．【答案】C
【分析】利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设根据题意得：．
故此题答案为C．
7．【答案】B
【详解】∵坡比为，株距（相邻两树间的水平距离）为，
∴铅直高度为米，
由勾股定理得，斜坡上相邻两树间的坡面距离为，
故此题答案为．
8．【答案】A
【分析】根据二次函数图像平移规律判断即可．
【详解】将先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的函数表达式为．
故此题答案为A．
9．【答案】B
【分析】根据三角形的中位线性质推出，推出，即可判断①；根据相似三角形性质推出比例式，即可判断②③．
【详解】解：∵点D、E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，∴①正确；
∴，∴②正确；
，∴③错误；
正确的有2个，
故此题答案为B．
10．【答案】D
【分析】由题意知，运动分三段完成，运动10秒，P到点E，继续运动点Q到点C，点P自己运动到点D，结合图像信息求解即可．
【详解】解：由图象可知，时，P、E重合，
根据题意，得
，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由图象可知，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：．
故此题答案为D．
11．【答案】5
【解析】−52=52=5 .
12．【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：依题意，（答案不唯一）
13．【答案】
【分析】根据题意画出树状图，再利用概率公式进行求解．
【详解】解：画树状图为
由此可得，一共有9种等可能的情况，两次摸出的球都是“红球”的有4种，
∴两次摸出的球都是“红球”的概率为．
14．【答案】8
【分析】证明，推出，可得，求出BD，再利用勾股定理求出AD．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．【答案】
【分析】过点作于点E，由菱形的性质结合旋转的性质得，，，，由勾股定理得，，继而可求坐标．
【详解】解：如图，过点作于点E，

∵四边形是菱形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴.
16．【答案】（1）；（2），
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着约分得到原式，然后把1代入计算计算．
【详解】解：（1）
．
（2）
．
当时，原式．
17．【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
，．
18．【答案】(1)见解析
(2)；；
(3)；8
【分析】（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，然后顺次连接即可得出；再作出点，，，关于轴和直线l的对称点，然后顺次连接即可得出和；
（2）根据图形写出点、、的坐标即可；
（3）根据图形得出与之间的关系，与之间的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，，，为所求作的三角形；
（2）解：根据图形可知，、、点的坐标分别为：；；；
（3）解：可以看作是绕点顺时针旋转得到；可以看作是向右平移8个单位得到．
19．【答案】(1)7
(2)6
【分析】（1）根据锐角三角函数可得的长，从而得到的长，再由，可得，即可求解；
（2）过点A作于点F，根据，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
，
∴．
（2）解：过点A作于点F，如图所示．
∵是边上的中线，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∴，
∴．
∴．
20．【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）画树状图，再由概率公式求解即可；
（）画树状图，再由概率公式求解即可
【详解】（1）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团（街舞社团），列树状图如下：

可能的结果共有种，他俩选到相同社团的情况共有种，
∴他俩选到相同社团的概率为；
（2）列树状图如下：

可能的结果共有种，学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的情况共有种，
∴学校同时选中（合唱社团）和（街舞社团）的概率为．
21．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可；
（2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，
∴．
（2）过点作，垂足为点．
由题意得，，
∵ ，
∴四边形为矩形，
∴，，
由（1）知：，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴．
答：古塔的高度．
22．【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)存在，点P的坐标为或
(3)n的取值范围为
【分析】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值；
（2）求出点B坐标，由直线的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可；
（3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交点为，
∴，，
∴，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
将代入得，
解得；
（2）解：存在；
令，
解得，，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴，
当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1，
把代入得，
∴此时，
当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点，
∴点E的横坐标为，
∴点P的横坐标为，
把代入得，
∴此时，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或；
（3）解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为，
当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得，
解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，可得，
即只有一个实数解，
∴，
解得；
∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为．
23．【答案】(1)，2
(2)，理由见详解
(3)
【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解；
（2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可；
（3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长．
【详解】（1）解：（1），
，
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
又，
，
又，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
，
，
，
，即
（2），理由如下：
由（1）可知，，，
，
；
（3）过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图，
，
，，，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
设，
四边形为菱形，
，
，
，
，，
，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，即的长为．