天津市南开区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份天津市南开区2024-2025学年九年级上学期期末考试 数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．6666B．9999C．6669D．6699
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．射击运动员射击一次，命中十环
B．任意一个五边形的外角和等于
C．任意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等
D．个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
3．如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列图象中，是反比例函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知方程的两个根分别为和，则的值为（ ）
A．B．C．2D．6
6．如图，正方形剪去四个角后成为一个边长为1的正八边形，则正方形的周长（ ）
A．4B．C．8D．
7．两年前生产1kg某种药品的成本是50元，随着生产技术的进步，现在生产1kg这种药品的成本是30元，如果这种药品成本的年平均下降率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，中，弦相交于点，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（ ）
A．mB．2mC．mD．1m
12．如图，在中，，，．的内切圆与，分别相切于点，连接．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交于两点；分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法错误的是（ ）
A．平分B．点在射线上
C．D．的半径为1
二、填空题（本大题共5小题）
13．如图，一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、蓝、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右侧的扇形）．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向蓝色扇形的概率为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点在反比例函数（为常数，）的图象上，连接，过点作轴，垂足为，若的面积为2，则 ．
15．两个相似三角形的最短边分别为和，它们的周长之和为，那么较小三角形的周长为 （）．
16．圆的半径为13，、是圆的两条弦，，，，则与之间的距离为 ．
17．如图，点是圆上一动点，弦，是的平分线，．当 （度）时，四边形的面积最大，最大面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题）
18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点．均在格点上，点为线段与网格线的交点．
（Ⅰ）的长为 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，分别在线段上画出点，使得最小．简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ．
19．在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，小球上分别标有数，，，．
(1)摇匀后，从口袋中随机摸出一个小球．若将摸出的小球上所标的数恰好是正数记为事件，求事件的概率；
(2)摇匀后，先从口袋中随机摸出一个小球（不放回），再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．若将两次摸出的小球上所标的数之和等于记为事件．用列表或画树状图的方法，求事件的概率．
20．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上．
(1)求：反比例函数的解析式和的值；
(2)填空：
①函数的图象在第________象限；
②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________；
③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________．
21．在四边形中，，连接，点在上，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，，，，求的度数和的长．
22．已知中，，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图1，连接，若，直径与相交于点，求和的大小；
(2)如图2，若，，垂足为，与相交于点，，求线段的长．
23．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为40m的栅栏围住．设边长为m，绿化带的面积为．
(1)如图1，若墙长为19m．
①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②当绿化带的面积为时，求的值；
③填空：当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）；
(2)填空：如图2，若墙长为24m，当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）．
24．在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，点恰在轴上．
(1)如图1，当时，求点的坐标和的长；
(2)如图2，当时，求点的坐标；
(3)当点组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为．用含有的式子表示，并写出的取值范围（此问直接写出结果即可）．
25．抛物线（为常数，）的顶点为，抛物线与轴相交于和两点，抛物线与轴相交于点．
(1)若，点在抛物线上，设点的横坐标为，且．
①求抛物线的解析式和顶点的坐标；
②若的面积与的面积相等，求的值；
(2)和是轴上的两动点，当的最小值为时，直接写出和的值．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义作答即可．
【详解】将图形旋转180度后与原图重合的只有D项，故D项符合要求，
故此题答案为D．
2．【答案】D
【分析】随机事件是指这个事件有可能发生，也有可能不发生；必然事件是指这个事件一定会发生；不可能事件是指这个事件一定不会发生．解决这个问题的关键是根据定义进行判断．
【详解】解：A选项：射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故A选项不符合题意；
B选项：因为任意一个凸多边形的外角和都等于，所以任意画一个五边形的外角和等于，是不可能事件，故B选项不符合题意；
C选项：作意画两个面积相等的三角形，这两个三角形全等是一个随机事件，故C选项不符合题意；
D选项：闰年有天，所以个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，这个事件是必然事件，故D选项符合题意．
故此题答案为D．
3．【答案】A
【分析】利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论．
【详解】解：四边形和四边形相似，
，，，，
又，
．
故此题答案为A．
4．【答案】C
【分析】根据反比例函数的图象为双曲线，，图象过二，四象限，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数的图象为过二，四象限的双曲线．
故此题答案为C．
5．【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴．
故此题答案为C．
6．【答案】D
【分析】求出正八边形的一个内角的度数，进而得到减去的为等腰直角三角形，勾股定理求出减去的直角边的长，进而求出正方形的边长，乘以4即可得解．
【详解】解：如图，
由题意，得：，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
同理：，
∴，
∴正方形的周长；
故此题答案为D．
7．【答案】C
【分析】根据平均变化率的等量关系，增长为，下降为，列出方程即可．
【详解】解：由题意，可列方程为：；
故此题答案为C．
8．【答案】B
【详解】解：，
故此题答案为B．
9．【答案】B
【分析同弧所对的圆周角相等，根据三角形的外角的性质，求出的度数，同弧所对的圆周角相等，得到，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故此题答案为B．
10．【答案】D
【详解】解：记与相交于一点H，如图所示.
∵中，将绕点顺时针旋转得到，∴,
∵，∴在中，，∴.
故D选项是正确的，符合题意；
设，∴
∵，∴,
∴,
∵不一定等于，∴不一定等于，∴不一定成立，
故B选项不正确，不符合题意；
∵不一定等于，∴不一定成立，
故A选项不正确，不符合题意；
∵将绕点顺时针旋转得到，∴，∴,
故C选项不正确，不符合题意.
故此题答案为D.
11．【答案】A
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可．
【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入抛物线解析式得：，
∴，
∴，
∴当时，，
即：水管的长为m；
故此题答案为A．
12．【答案】D
【分析】连接，根据作图可知平分，为三角形的内切圆，根据内心是三角形三条角平分线的交点，证明四边形为正方形，圆周角定理求出的度数，切线长定理求出的半径，逐一进行判断即可．
【详解】解：由作图可知：平分，故选项A正确；
∵是的内切圆，
∴点为三角形三条角平分线的交点，
∴点在射线上，故选项B正确；
连接，则：，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，，
∴，故选项C正确；
∵，，，
∴，
设的半径为，则：，
∴，
∴，
∴，故选项D错误；
故此题答案为D．
13．【答案】
【分析】根据概率公式直接进行计算即可．
【详解】解：任意转动转盘1次，共有6种等可能的结果，其中指针指向蓝色扇形的情况有2种，
∴
14．【答案】4
【详解】解：∵点A在反比例函数（k为常数，）的图象上，轴，垂足为，
∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：，
∴，
∵的面积为2，
∴，
∵，
∴
15．【答案】18
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，根据题意，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的最短边分别为和，
∴相似比为：，
∴两个三角形的周长比为：，
设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为，
则：，
解得：，
∴较小三角形的周长为
16．【答案】7或17
【分析】当在圆心O的同侧，作，交于点E，交于点F，连接，根据垂径定理得，，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案；
当在圆心O的异侧，作，，连接，根据垂径定理得，，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案．
【详解】如图所示，当在圆心O的同侧，过点O作，交于点E，交于点F，连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，
在中，，
∴；
如图所示，当在圆心O的异侧，过点O作，交于点E，作，交于点F，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴点E，O，F三点共线．
在中，，
在中，，
∴．
所以与之间的距离是7或17．
17．【答案】
【分析】先求得，再根据已知条件得，当最大时，四边形面积最大，求出，从而计算出最大面积；
【详解】平分，
，
，
如图所示，过点作于点，
，
在中，＝30°，则，AB＝，
，
，
，为定值，
∴当最大时，四边形面积最大，
在中，AB边不变，其最长的高为过圆心与AB垂直（即AB的中垂线）与圆交于点，此时四边形面积最大．
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∵为圆的直径，
∴，
，
，
四边形的最大面积为．
18．【答案】 5 见详解
【分析】（Ⅰ）根据网格和勾股定理求解即可；
（Ⅱ）取格点E，J，连接，，、交网格线于点F，K，连接，可知，则，那么，,结合垂线段最短可知点即为所求．
【详解】解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）如图，
取格点E，J，连接，，延长交于点M，交于点N，连接，点M，点N即为所求．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】根据个数中一共有个正数，可以求出摸出的小球的数为正数的概率；
画树状图可知一共有个等可能的结果，和为的结果一共有个，可以求出任意摸出个小球和为的概率．
【详解】（1）解：在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球，小球上的数可能是，，，共种，
这些数出现的可能性相等．
又出现的数为正数的可能有种，分别为或，
；
（2）解：画树状图如下图所示：
从树状图可以看出共有个可能的结果，即
这些结果出现的可能性相等，
两次摸出小球上的数之和等于的结果有个，
即和（第一次摸出，且第二次摸出，或是第一次摸出，且第二次摸出），
．
20．【答案】(1)，
(2)①二，四；②增大；③
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）①根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；②根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；③根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，反比例函数的解析式为：；
（2）∵，，
∴双曲线过二，四象限，在图象的每一支上，随的增大而增大；
∵点和在双曲线上，且，
∴
21．【答案】(1)见解析
(2)；
【分析】（1）由平行得到，结合，即可得证；
（2）根据相似三角形的性质，结合等边对等角，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵，
∴，即，
∴．
22．【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据切线性质得出于点，即，根据平行线的性质得出，求出，根据垂径定理得出，，求出，得出，根据圆周角定理得出；
（2）连接，求出，根据直角三角形的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，即可得出，求出x的值即可．
【详解】（1）解：如图1所示，
∵为的切线，且为直径，
∴于点，即，
∵，
∴，
∴，
即于点，
∵于点，且为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，
由（1）可知，且，
∵，，
∴，
∴在中，，，
∴，
设，则，
∴由勾股定理，
即，
解得，负值舍去，
即线段的长为．
23．【答案】(1)①，其中；②16③19，199.5
(2)20，200
【分析】（1）①根据矩形的面积公式，列出函数解析式，根据墙长求出的取值范围即可；
②令，进行求解即可；
③利用二次函数求最值即可；
（2）根据墙长为24m，得到，利用二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：①由题意，，
∴，
∵墙长为19m，
∴；
②∵，
当时，，
解得：，
∵不合题意；
∴；
③∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值为：
（2）由题意，得：，
∴当时，有最大值为：200；
24．【答案】(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变且对应线段夹角为旋转角，通过设点的坐标，利用勾股定理和旋转性质来求解点的坐标和的长；
（2）依据旋转的性质，可得，再根据边角关系可得，求出点的坐标；
（3）根据四边形的面积公式，通过分析，，时四边形的组成部分来用含的式子表示面积．
【详解】（1）解：如图1，过点作轴于点，
∵是由逆时针旋转得到，且点在轴上，
∴，
∴，
且，
∴，
∴，
由勾股定理可知
解得；
∴点的坐标为；
（2）解：如图2，由（1）可知，且，
∵是由旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
（3）解：如图， 当时，
绕点逆时针旋转得到，且轴，，，
轴，
，，
；
如图，当时，
绕点逆时针旋转得到，，，
，
；
如图，当时，
绕点逆时针旋转得到，，，
，，
．
25．【答案】(1)①，；②，或，或
(2)
【分析】（1）①，和代入，求得，配方 ，得；②求出，解析式，根据
，得，求出解析式，得，解得，点A关于点B的对称点为，则，同理得解析式为，则，解得，或；
（2）和代入，求得，得， ，取点C关于x轴的对称点，向右作线段，，连接，则，， ，当N运动到上时， 取得最小值，，，∴解得，得，，求出直线的解析式，当时，，得，解得．
【详解】（1）解：①，和代入，
得，
解得，
∴，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
设解析式为，
则，
解得，
∴
∵，
∴，
当点Q在下面时，
设解析式为，
则，
∴，
∴，
∵点Q为与抛物线的交点，
∴，
解得，或（舍去）；
当点Q在上面时，
作点A关于点B的对称点，
则，
同理可得的解析式为，
则，
解得，或；
综上，，或，或；
（2）解：和代入，
得，
解得，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
取点C关于x轴的对称点，
向右作线段，使，连接，
则，，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
当N运动到上时，，取得最小值，
∵，的最小值为，
∴，
∵，
∴解得，
∴，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
解得，．