浙江省湖州市2024-2025学年九年级上学期1月期末 数学试题（含解析）

这是一份浙江省湖州市2024-2025学年九年级上学期1月期末 数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中，是的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4 cm
3．已知，则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．小颖从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，她已经掷了三次硬币，结果都是“反面朝上”．那么，小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性的大小为（ ）
A．“正面朝上”的可能性大B．“反面朝上”的可能性大
C．两者的可能性相同D．无法确定
5．如图，在中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，四边形内接于，，连接，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点，连结，在线段上找一点，使得点把线段分成的两条线段”．以下分别是小吴和小王的作法，则（ ）
A．只有小吴的作法正确B．只有小王的作法正确
C．小吴和小王的作法都正确D．小吴和小王的作法都错误
9．如图，点在等腰直角的腰上运动，以为腰，点为直角顶点作等腰直角与交于点，连结，当与的面积比为时，的值是（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数，则下列说法中正确的是（ ）
①当时，则方程有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点，则该图象的对称轴为直线；
③当时，若二次函数的图象与负半轴交于和，且，方程的解为，若，则有．
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，且，则．
A．①②B．①④C．①③D．③④
二、填空题（本大题共6小题）
11．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 ．
12．已知抛物线经过点和，则 （填“”“”或“”）．
13．如图，将绕点逆时针旋转得到，已知，则 ．
14．如图，在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在墙面上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把从点挪动到了点的位置，使其倾斜角变为．如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了 米．（结果保留根号）
15．莱洛三角形广泛应用于建筑，工业，包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为5，分别以和为圆心，5为半径作和交于点，此时阴影部分的周长为 ．
16．数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为 ．

三、解答题（本大题共8小题）
17．计算．
18．已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)判断点是否在二次函数图象上，并说明理由．
19．如图，在中，半径，．
(1)求扇形的面积．
(2)求的度数．
20．为更好保护，传承和发扬浙江美食文化，“味美浙江•百县千碗”2024全省非遗美食挑战赛中，湖州多道美食上榜．例如：“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”
(1)小红想从以上这4道美食中随机选择1道品尝，则他选中“吴均汤包”的概率为__________；
(2)湖州某中学拟从这4道美食中选择2道作为美食节特色菜肴，若用分别表示“练市羊肉”，“吴均汤包”，“鲜菱虾茸”，“南浔定胜糕”，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率．
21．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．在“综合与实践”活动中，瑶瑶计划借助无人机测量月亮酒店大楼的高度，她设计了如下测量方案：
如图，瑶瑶站在离月亮酒店大楼水平距离为40米的广场高地处，处高出湖面的距离米，无人机旋停在点正上方的点处，测得月亮酒店大楼的顶部处的俯角的正切值是，此时无人机离湖面的高度为120米，已知瑶瑶的目高（眼睛到地面的距离）米．
(1)求月亮酒店大楼的高度．
(2)若无人机保持现有高度沿平行于的方向，以4米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过12秒时，无人机是否离开瑶瑶的视线？请说明理由．
22．小明在综合实践课上折一个等腰直角三角形纸片，，将沿着折叠，使得点落在边上的点，DE和交于点．
(1)如图1，若点恰好是的中点，他发现，则__________．
(2)如图2，当时，求证：，并求出的值．
(3)当时，，则__________．
23．已知二次函数的图象过点，点和点．
(1)若点，求二次函数表达式．
(2)当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，求的值．
(3)若且，求证：．
24．如图1，在中，直径是上的动点，过点作交于点．连结，取的中点，连结交于点，延长交于点．
(1)如图2，连结，求证：．
(2)如图3，当点与圆心重合时，求线段的长度．
(3)在点的运动过程中，当时，求的面积．
参考答案
1．【答案】C
【分析】二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．据此判断即可．
【详解】解：．，是的一次函数，故该选项不符合题意；
．，是的一次函数 ，故该选项不符合题意；
．，是的二次函数 ，故该选项符合题意；
．，是的反比例函数，故该选项不符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】A
【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可．
【详解】解： ∵点A在半径为2cm的圆内，
∴点A到圆心的距离小于2cm，
故此题答案为A．
3．【答案】B
【详解】解：A、由，得，故选项不符合题意；
B、由，得，故选项符合题意；
C、由，得，故选项不符合题意；
D、由，得，故选项不符合题意；
故此题答案为B．
4．【答案】C
【分析】根据概率的意义和概率的计算公式计算即可．
【详解】解：由于硬币质地均匀，
所以小颖第四次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相同，都是．
故此题答案为C．
5．【答案】B
【分析】根据直角三角形中正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴．
故此题答案为B
6．【答案】C
【分析】先根据同圆中同弧所对的圆周角相等得出再由圆内接四边形对角互补求出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∴，
故此题答案为C．
7．【答案】B
【分析】由表格信息得出当时的函数值为0，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可得出结果．
【详解】解：由表格信息可得：当时的函数值为0，
∴当时，则，即，
∴是的一个解，
故此题答案为B
8．【答案】C
【分析】小吴的作法，连接，取格点H，K，组成，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果；小王的作法，连接并延长交网格于点D，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图所示，小吴的作法，连接，取格点H，K，组成，
根据题意得：，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，小吴的作法正确；
小王的作法，连接并延长交网格于点D，如图所示：
根据题意得：点M和点A分别为的中点，
∴，
由网格得：，，
∴，
∴，小王的作法正确；
故此题答案为C．
9．【答案】D
【分析】由等腰直角三角形可得，，，，进而得到，，从而证得，因此，即可得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，从而，根据勾股定理求出，再根据得到，进而即可解答．
【详解】解：∵，是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，即，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴．
故此题答案为D
10．【答案】B
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的性质，作出相应草图，依次判断即可．
【详解】解：①，，
∴，
∴方程有两个不同的实数根，正确；
②，当x=0时，，
∵二次函数的图象过点，
∴该图象的对称轴为直线，错误；
③如图所示，画草图如下：
方程的解可看作与交点的横坐标，
由图可得：，错误；
④当时，二次函数图象与一次函数图象有两个交点，，
∴当时，即有两个根，
对应的二次函数为，开口向下，
∵，，且，
∴当x=2时，，整理得，正确；
综上可得：正确的有①④，
故此题答案为B．
11．【答案】/0.6
【分析】盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，从盒子里任意摸到1个红球的概率即为红球的个数3除以总的个数5即可．
【详解】解：盒子里面有黄球2个、红球3个，一共5个，
从盒子里任意摸到1个红球的概率是．
12．【答案】
【分析】分别把和代入，求出，，即可求解．
【详解】解：当时，，
当时，，
∴．
13．【答案】60°/60度
【分析】由旋转可得，再根据角的和差即可求解．
【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴．
14．【答案】
【分析】通过解直角三角形求出，的长，进而即可解答．
【详解】解：如图
由题意可得米，，，，
∴在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
即行走的通道拓宽了米．
15．【答案】
【分析】连接，，根据作图可得是等边三角形，得到，根据弧长公式求出，，进而即可解答．
【详解】解：连接，，
由作图可得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∴阴影部分的周长为．
16．【答案】40
【分析】根据题意设，再由相似三角形的判定和性质得出，，利用全等三角形的判定和性质得出，，利用正切函数的定义得出，结合图形求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，
∴，
根据题意得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长交的延长线于点K，过点 M作，如图所示：

同理得：，
∴，
∴，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
根据题意得：四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
解得：x=1，
∴阴影部分小正方形的边长为：，
面积为：
17．【答案】
【分析】代入特殊角的三角函数值进行计算，即可得到答案．
【详解】解：原式
=1．
18．【答案】(1)
(2)在，理由见解析
【分析】（1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可；
（2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上．
【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为
将点代入得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴点在这条抛物线的图象上．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同弧所对圆心角是圆周角的两倍，可以算出的度数，利用扇形的面积公式代入数据计算即可；
（2）根据角的和差求出，再根据同弧所对圆心角是圆周角的二倍，即可求得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴扇形的面积为：；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
20．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用概率计算公式求出即可；
（2）先画出树状图或列表，得到所有可能结果数及恰好选中“练市羊肉”“吴均汤包”的结果数，即可求得概率．
【详解】（1）解：选中“吴均汤包”的概率为：，
（2）解：画出树状图如下：
所有等可能结果有12种，其中恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的可能结果有2种，
∴恰好选中“练市羊肉”，“吴均汤包”的概率为：．
21．【答案】(1)100米
(2)无人机还未离开瑶瑶的视线
【分析】（1）过点B作于点G，根据题意可得：，米，，米，通过证明四边形为矩形，得出米，进而得出米，最后根据线段之间的和差关系可得，即可求解；
（2）连接并延长，交于点M，先求出米，米，在中，，进而在中，（米），再求出无人机飞行12秒的路程，与比较即可得出结论．
【详解】（1）解：过点B作于点G，
根据题意可得：，米，，米，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴米．
答：月亮酒店大楼的高度为100米．
（2）解：连接并延长，交于点M，
∵米，米，米，米，
∴（米），
（米），
∵米，
∴在中，，
∴在中，（米），
∵无人机以4米/秒的速度飞行，
∴飞行12秒时，飞行了（米）
∵，
∴无人机还未离开瑶瑶的视线．
22．【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）由中点的定义可得，进而可得出的值；
（2）过点作于点，设，利用锐角三角函数以及角度的转化，求出AD，，，CF，进行判断和求解即可；
（3）由（2）可知，进而可得，即，于是得解．
【详解】（1）解：∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作于点，
设，
∵折叠，
∴垂直平分，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，
即：
23．【答案】(1)
(2)2或
(3)见详解
【分析】根据题意设二次函数解析式为，将代入解得a即可；
根据题意可知二次函数的对称轴为，分情况：若，则，，即可解得a；若，则，，即可解得a；
根据题意设二次函数解析式为，将化简为，结合即可判断．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，点，
设二次函数解析式为，
将代入得：，
解得：，
二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数的图象过点，点，
∴二次函数的对称轴为，
①若，
当时，，，
∵，
∴，解得；
②若，
当时，，，
∵，
∴，解得；
综上所述，为2或；
（3）解：根据题意设二次函数解析式为，则
∵，
∴．
24．【答案】(1)见解析
(2)1
(3)
【分析】（1）根据垂径定理的性质即可证明；
（2）连接BD，根据垂径定理的性质得出，再由等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解；
（3）过点P作，设，根据相似三角形的判定和性质得出，，，，再由题意确定为等腰直角三角形，表示出，，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵直径，，
∴AB垂直平分CD，
∴；
（2）连接BD，如图所示：
∵点与圆心重合，的中点为，
∴垂直平分，
∴，
由（1）得，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点P作，如图所示：
设，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，
在中，即，
解得：，
∴，
∴．
1
2
3
4
0
5