2024年高考数学一轮复习-空间向量及其应用（原卷版）

这是一份2024年高考数学一轮复习-空间向量及其应用（原卷版），共12页。试卷主要包含了空间向量的有关概念，空间向量的有关定理，空间向量的数量积，空间位置关系的向量表示等内容，欢迎下载使用。

知识点总结
1.空间向量的有关概念
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝ .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使p＝ .
(3)空间向量基本定理：如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .
3.空间向量的数量积
(1)两向量的数量积：设两个空间非零向量a，b，把|a||b|cs〈a，b〉叫作a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝ .
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
4.空间位置关系的向量表示
[常用结论]
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.在利用eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.
典型例题分析
考向一 空间向量的线性运算及共线、共面定理
1 (1)(多选)已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，则下列四式中正确的有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))B.eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(B′C′,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→))
C.eq \(AA′,\s\up6(→))＝eq \(CC′,\s\up6(→))D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(C′C,\s\up6(→))＝eq \(AC′,\s\up6(→))
(2)(多选)下列说法中正确的是( )
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则AB∥CD
C.A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,8)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
D.若P，A，B，C为空间四点，且有eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))＋μeq \(PC,\s\up6(→))(eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件
感悟提升 1.(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.
(2)解题时应结合已知和所求观察图形，正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及平行四边形法则，就近表示所需向量.
2.(1)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，若x＋y＝1，则点P，A，B共线.
(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法.
①eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→)).
②对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋zeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可.
考向二 空间向量的数量积及应用
2 如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，试采用向量法解决下列问题：
(1)求eq \(EF,\s\up6(→))的模长；
(2)求eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))的夹角.
感悟提升 由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和
〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.
3. 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求BD1与AC夹角的余弦值.
4.(教材改编)如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN＝eq \f(1,2)ON，AP＝eq \f(3,4)AN，则eq \(OP,\s\up6(→))＝________(用向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示).
考向三 利用空间向量证明(判断)平行与垂直
5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
感悟提升 1.利用向量法证明(判断)平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素).
2.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
6.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则( )
A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
基础题型训练
一、单选题
1．若向量，，且与的夹角的余弦值为，则实数等于（ ）
A．1B．C．1或D．0或
2．已知点，，，，若，，，四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
4．平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为( )
A．－2B．－8C．0D．－6
5．如图所示，已知，，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（ ）.
A．B．C．D．
6．如图，棱长为的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为
A．B．C．D．
二、多选题
7．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 ，则 或
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．在正方体 中，
D．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则
8．已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，两两共面，则，，共面
C．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得
三、填空题
9．在正方体中，给出以下向量表达式：
①； ②；
③； ④.
其中能够化简为向量的是______________（填序号）.
10．已知向量，若，则______.
11．在空间直角坐标系中，轴上有一点到已知点和点的距离相等，则点的坐标是______．
12．已知空间三点坐标分别为，，，点在平面内，则实数的值为________．
四、解答题
13．已知，求证：四边形为平行四边形．
14．已知空间两个动点，，求的最小值．
15．已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，＝k，＝k．求证：四点E，F，G，H共面.
16．如图，三棱柱中，，，平面ABC，，，D，E分别是AC，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求DE与平面夹角的正弦值.
提升题型训练
一、单选题
1．如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）
A．B．C．D．
2．若构成空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．以上都不行
3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1B．C．D．
4．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知、、、为空间中不共面的四点，且，若、、、四点共面，则实数的值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四面体ABCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．已知为正方体，则下列说法正确的有（ ）
A．；
B．；
C．与的夹角为；
D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条
8．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量，，满足，，则有
B．若，，是空间的一组基底，且，则 四点共面
C．任意向量，，满足
D．已知向量，，若，则为锐角
三、填空题
9．是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
10．已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则______．
11．已知在四面体ABCD中，，，则______．
12．如图，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，，，则对角线的长为___________________．
四、解答题
13．空间向量，，不共面是否可以推出其中任意两个向量均不平行？
14．判断下列点P是否在直线l上：
(1)点，直线l经过和两点；
(2)点，直线l经过和两点．
15．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，．点在侧棱上，且．
（1）求证：平面；
（2）设为的中点，求六面体体积．
16．已知在平行六面体中，，，，∠ BAD=90°，∠BAA＇=∠DAA＇名称
定义
空间向量
在空间中，具有 和 的量
相等向量
方向 且模 的向量
相反向量
方向 且模 的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
共线
b＝λa(a≠0，λ∈R)
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2
l1∥l2
l1⊥l2
直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，l⊄α
l∥α
l⊥α
平面α，β的法向量分别为n1，n2
α∥β
α⊥β