高考数学—平面向量考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

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在判断两向量的夹角大小时,要注意把两向量平移到共起点,这样才不至于判断错误．特别要注意在△ABC中，的夹角不是角B，而是角B的补角，夹角是角B。
易错题【02】不会通过建立坐标系把向量问题转化为代数问题
平面向量中有很多与平面几何交汇的问题，当所给平面图形为等腰三角形、直角三角形、矩形、直角梯形时常通过建立坐标系，把平面向量问题转化为代数问题求解，特别是求平面向量有关的最值与范围问题，常通过建立坐标系，转化为函数求最值，或利用基本不等式求最值。另外若题中有互相垂直的单位向量，也可建立坐标系，利用向量的坐标运算把向量问题转化为代数问题。
易错题【03】忽略向量共线致误
在解决两向量夹角问题时,一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为θ,则①θ为锐角⇔a·b>0且a,b不同向，特别提醒：不要忽略a,b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角⇔a·b0，忽略共线的情况
【答案】eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2))
【问诊】∵θ为锐角,∴0－\f(1,2)且λ≠2)).
【叮嘱】利用向量共线求参数的值或范围，要注意排除共线情况。
1.(2022届河北省邢台市“五岳联盟”高三上学期12月联考)已知向量，则下列说法不正确的是( )
A．若，则的值为B．若，则的值为2
C．的最小值为1D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
【答案】D
【解析】A选项，若，则，A选项说法正确.
B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.
C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.
D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.故选D
2.(多选题)(2022届福建省泉州高三上学期期中)已知平面向量，，，下列说法正确的是( )
A．若//，则
B．若⊥，则
C．若，则
D．若向量与向量夹角为锐角，则
【答案】BC
【解析】，，,
若//，，故A不正确；
若⊥，，故B正确；
若，则，，，，故C正确；若向量与向量夹角为锐角, 则
若向量与向量平行，则，，故向量与向量夹角为锐角时且.故D不正确；故选BC
04
给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
【警示】本题出错主要原因是对平面向量基本定理理解不准确，导致判断失误
【答案】A
【问诊】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),当a,b均为零向量时可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时不存在,(3)是假命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立.
【叮嘱】注意平面向量基本定理中的基底是两个不共线的向量
1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线.其中错误的命题的个数为( )
A．0B．1
C．2D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误，当＝0时，不论λ为何值，λ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λ＝μ＝，此时，与可以是任意向量.
故错误的命题有3个.故选D
(2022届上海市嘉定区高三上学期质量检测)下列各组向量中.可以作为基底的是()
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于，因为，与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故错误；对于，因为，两向量共线，不能做基底，故错误；对于，因为，两向量共线，不能做基底，故错误；故选．
错
1．(2022届广东省江门市高三上学期调研)在边长为3的等边中，若，则( )
A．B．C．3D．6
【答案】D
【解析】
如图，由可得，
又，为等边三角形，
所以.故选D
2．(2022届四川省攀枝花市高三统一考试)在△中，，，，，且点是的中点，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设，，
，
∴，又，
∴.故选A
3．(2021届宁夏中卫市高三联考)已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，，，且，
因为，所以，设，，
，，所以，
由于，故．故选D．
4．已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是( )
A．2B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
∴，
∴
，
设，则，
即的最大值是2.故选A.
5．(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)下列说法中正确的是( )
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，，可以作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量和，满足，且两个向量是同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为30°
【答案】D
【解析】，因为与的夹角为锐角，所以，解得：且，故A错误；，所以∥，不能作为平面内所有向量的一组基底，B错误；两个向量的模长可以比较大小，但两个向量是不能比较大小的，故C错误；不妨令则，所以，则，所以
∴
因为，所以，D选项正确.故选D
6．(多选题)(】河北省邢台市高三上学期联考)已知点为所在平面内一点，且满足，则( )
A．当在内部时，B．当在外部时，
C．当时，直线一定过的重心D．当且仅当时，
【答案】ACD
【解析】对A，取边BC上的点D，且满足，当在内部时，.因为三点共线，所以存在唯一实数对，使得，于是，则.A正确；
对B，取边BC的中点E，则，设，易知点P在三角形外部，所以，则.B错误；对C，时，，由答案B中的推理，点重合，则直线一定过的重心.C正确；由题意，对D，，则.故选ACD.
7．(多选题)(2022届江苏省镇江市高三上学期期中)已知向量，，则下列说法正确的是( )
A．若，则B．若，则
C．的最小值为6D．若与的夹角为锐角，则
【答案】BC
【解析】A：若，故可得，解得或，故A错误；
B：当时，，此时，则，故B正确；
C： ，故，当时，取得最小值，故C正确；D：若与的夹角为锐角，则，解得；
当与共线时，，解得，故，故D错误；
综上所述，正确的选项是.故选BC.
8．(2022届江苏省无锡市高三上学期期中)已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，角A为直角，点P为平面ABC上的一点，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】以A为原点，AC, AB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，C(1,0)，设

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.
9．(2022届河北省石家庄市高三上学期质量检测)已知等腰三角形的顶角，，，，，则___________.
【答案】
【解析】因为等腰三角形的顶角，，故.
故.
10．(2022届黑龙江省桦南县高三上学期期中)已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是________．
【答案】8
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，易知圆半径为，圆方程为，设，则，
，设，则，代入圆方程并整理得，此方程有实数解，所以，，所以的最大值是2，所以的最大值是8．