高考数学—指数函数与对数函数及函数与方程考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

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研究函数的性质，或求解与有关的函数与方程及不等式问题，不少同学常因忽略的隐含条件出现错误。
易错题【02】不会利用中间量比较大小
在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小，若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式(对数式)但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是，有时也可借助等中间量来比较大小.
易错题【03】不会构造函数比较大小
比较两个式子的大小，若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小。
易错题【04】确定函数零点所在区间，或零点个数或已知函数零点情况求参数满足条件，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，故提醒同学们研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”。
01
若在上是减函数，则的取值范围是
【警示】本题出错的主要原因是忽略定义域，不会由得出.
【答案】
【问诊】因为由，所以，此时在上是减函数，由复合函数单调性得，由，解得，所以的取值范围是。
【叮嘱】研究对数型函数的性质，一定不要忽略真数大于零的限制。
1. 函数在单调递增，求a的取值范围( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，二次函数抛物线的对称轴方程为，由复合函数的单调性可知，.又在上恒成立，所以，即，
所以，解可得，．故选C
2．(2021湖北武汉市第一中学高三月考)函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为( )．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，可得，则是减函数，
要使得函数为上的增函数，只需为减函数，且满足对于恒成立，所以，解得：，
所以实数的取值范围为，故选C.
02
(2019全国Ⅰ卷理T3)已知，则( )
A．B．C．D．
【警示】比较指数式与对数式的大小要重视利用中间量比较大小。
【答案】A
【问诊】由题意，可知，
，，所以最大，，都小于1，因为，，而，所以，即，所以，故选A．
【叮嘱】比较数与式的大小，当不能直接利用函数单调性时，要注意使用中间量。
1.(2021新高考2卷T7)已知，，，则下列判断正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，即.故选C.
2.(2020全国Ⅲ文T10)设，则()
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，故选A．
03
(2021全国卷乙卷理T12)设，，，则
A．B．C．D．
【警示】不会观察式子的结构通过构造函数求解。
【答案】B
【问诊】解法一：，，，
令，，
令，则，
，
，在上单调递增，
(1)，，，
同理令，
再令，则，
，
，在上单调递减，
(1)，，，．故选：．
解法二：由，则排除AD,结合选项BC，只需判断a,c的大小，故设，∴
，又∵
∴，∴，∴在上单增，∴，
∴，∴，故选B
【叮嘱】比较几个复杂式子的大小，常通过构造函数，利用函数性质求解。
1.(2020全国Ⅰ理T12)若，则()
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，∵，
∴，
∴，∴．
∴，
当时，，此时，有；当时，，此时，有，∴C、D错误，故选B．
2.(2020全国Ⅱ理T11)若，则()
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，
，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定，故选A．
04
(2018全国卷Ⅰ)已知函数．若存在2个零
点，则的取值范围是
A． B． C．D．
【警示】不会利用图象求解，导致解题失败.
【答案】C
【问诊】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．
【叮嘱】求解与零点个数有关问题，常利用函数图象的直观性求解。
1.(2021河南大学附属中学高三月考)定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的函数的所有零点之和为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，，由于函数为奇函数，所以作出函数图象如图所示，
由图象可知，即有5个零点，其中有2个关于直线对称，还有2个关于直线对称，所以4个零点的和为零，第5个零点是直线与函数交点的横坐标，即方程的解，
解得，故选C
2.(2021天津市第四十七中学高三月考)已知函数，(其中e是自然对数的底数)，若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，
方程或有三个不等实根，且，
作出图象如图所示：
那么，可得，，
所以，
构造新函数，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以,
所以的最大值为.
错
1．(2021江苏省泰兴中学高三期中)已知a=，，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【答案】B
【解析】因为在上为增函数，且，
所以，得，即，
因为在上为增函数，且，
所以，得，即，
因为在上为减函数，，
所以，得，即，
因为，故选B．
2．(2021山东烟台高三期中)设，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，所以，故选D.
3.(2020江西省信丰中学高三月考)若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解不等式，即，解得，
内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
而外层函数在定义域上为减函数，
由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，
由于函数在区间上单调递增，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选C.
4．(2021河南高三月考)设，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，∵，∴，
设，则，
则在区间上，，为增函数，在区间上，，为减函数，
∴，即，∴，
又∵，∴，∴，∴.故选D．
5.(2021黑龙江高三期中)已知，，，则( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
在上单调递增，，即，，
，即；令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
(当且仅当时取等号)，，
即(当且仅当时取等号)，，即；
综上所述：.故选D.
6.(2021四川攀枝花高三月考)定义在上的函数满足，且，给出如下四个结论：①的值域为；②当时，；③图象的对称轴为直线；④方程恰有个实数解，其中正确的结论个数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可得，所以是周期为的函数，
作出函数的图象如图所示：
由图知：或时，，当时，，根据周期性可得的值域为，故①正确；
，当时，，
，因为是周期为的函数，
所以，故②正确；
由图象以及周期性可知：、为函数的对称轴，所以图象的对称轴为直线，故③不正确；
方程恰有个实数解，可得与图象有个交点，
当时，，而，所以当时，方程无实根，
当时，由图知与图象有个交点，
所以与图象有个交点，即方程恰有个实数解，
当时，，此时与图象没有交点，故④不正确；
所以①②正确，正确的有个，故选B.
7．(2021吉林·高三月考)已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，可得，因为最多有两个实根，若恰有个不同实数根，则恰有三个实根，作出的图象，如图
由或可得：或或，且，
由即，，
由可得，
由即，，
由可得，
由即，，
由恒成立，
综上所述：，实数的取值范围为，故选A.
8．(多选题)已知函数，，则下列说法正确的是( )
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【解析】对于A，由题意知对恒成立，由于当时，不等式不恒成立，所以．当时，由解得，所以A正确；
对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，
则函数的最小值为4，则当时，
，解得，所以B错误；
对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；
对于D，若，则不等式等价于，
则，解得，所以D不正确．故选AC．
9.(多选题)(2021重庆九龙坡高三期中)已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是( )
A．点是函数的零点
B．，，使
C．是的极大值点
D．的取值范围是
【答案】BC
【解析】当时，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，且；
当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，
且恒成立，画出函数图象如下：
对A，由函数图象可得0是函数的零点，故A错误；
对B，由图可得，故，，使，故B正确；
对C，由图可得是的极大值点，故C正确；
对D，方程等价于或，
由图可得有1个实数根，所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根，则由图可得或，故D错误.故选BC.
10.(2021天津静海一中高三月考)已知，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题设，上，故值域为且单调递增；
上，故值域为且单调递减；
∴在上值域为且单调递减；在上值域为且单调递增；
要使与轴有3个不同的交点，即与有3个不同交点，它们的图象如下：
∴由图知：要使函数图象有3个交点，则与在上至少有2个交点，
由，，则，
此时，若与相切时，切点为，
∴，可得，
当过时，有，得，∴.