人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

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知识点1平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理: 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.
（2）基底:我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一个基底,记作
重难点1对基底概念的理解及辨析
1．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】由零向量与任意向量共线判断A，根据判断B，设，建立方程，根据方程解的情况判断C，根据判断D.
【详解】对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C.
2．下面三种说法中正确的是（ ）
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基；
③零向量不可作为基中的向量.
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】利用平面向量基底的概念进行判断.
【详解】由于同一个平面内任意不共线的向量，都可以作为表示这个平面内所有向量的基，故①错误，②正确；
由于零向量与任何向量平行，所以零向量不可作为基中的向量，故③正确.
故选：B
3．（多选）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若实数m，n使，则
B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数
C．对于m，，不一定在该平面内
D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使
【答案】AB
【分析】根据基底的定义逐项判断即可.
【详解】解：根据基底的定义知AB正确；
对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；
对于D，m，n是唯一的，故D错误.
故选:AB.
4．已知为平面内所有向量的一组基底，，则与共线的条件为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】根据向量共线定理即可.
【详解】与共线，
，
且平面内所有向量的一组基底，所以不共线，
.
故选：B.
5．（多选）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使；
B．给定向量和，总存在实数和，使；
C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；
D．若，存在单位向量和正实数，使，则.
【答案】ABD
【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.
【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，
即，显然存在，所以A正确.
对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：
总存在实数和，使，故B正确．
对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，
当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.
对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.
故选：ABD
6．已知与不共线，是一组基底，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由是一组基底，可得两个向量不共线，利用平面向量共线定理结合平面向量基本定理求出时的值，即可得解.
【详解】当时，
则存在唯一实数，使得，
所以，解得，
因为是一组基底，
所以两个向量不共线，
所以.
故答案为：.
重难点2用基底表示向量
7．在中，点满足，点满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用、作为一组基底表示出、，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
【详解】因为点满足，所以为的中点，
所以，又，
所以，
所以，又，
因为，所以，
即，
所以，解得，所以.
故选：C
8．已知在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】结合图形，根据向量的线性运算即得.
【详解】因为，，，，四边形为平行四边形，
则，
故选：D.
9．在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.
【详解】..
故选：C
10．在中，为边上的中线，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案.
【详解】
因为，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故选：A.
11．已知为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】选取为基底，表示出，结合平行向量基本定理设，即可求解.
【详解】选取为基底，
，
，
，
设
，
，，
即.
故选：A
12．在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，若，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，则
故答案为：
重难点3利用平面向量基本定理求参数
13．在中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】借助平面向量的线性运算与基本定理即可得.
【详解】由，则，则，
，
故、，故.
故选：A.
14．如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【分析】表达出，利用平面向量基本定理求出，即可求出的值.
【详解】由题意及图可得，
∵，
∴，
∵，
∴,．
∵，
∴，，解得：，，，
故选：C．
15．在中，是延长线上一点，是的中点.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算即可得解.
【详解】因为中，是的中点，，

所以，
则，又，
所以，所以.
故选：A.
16．如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上一点，且，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，化简得到，结合题意，列出方程组，求得，得到，即可求解.
【详解】由等腰梯形中，，，点为线段的中点，
由点是线段上一点，设，
则
，
因为，可得，解得，
所以，所以.
故选：C.

17．在三角形ABC中，点D是AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则的值为（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】直线CD和直线BE交于点F，根据向量加，减法的法则，共线定理求出，再利用三点共线，设，根据系数对应相等可得的值.
【详解】由已知，
则
同理可得，
因为直线CD和直线BE交于点F，
所以设
即
解得.
故选：C.

18．如图所示，中为重心，过点，，，则 ．

【答案】3
【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论；
【详解】设
根据题意，；
，，，三点共线，则存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案为：3
重难点4平面向量基本定理的应用
19．在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．10B．4C．7D．13
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
，
当且仅当，即时取等.
故选：D.
20．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，在菱形中，，以菱形的四条边为直径向外作四个半圆，P是这四个半圆弧上的一动点，若，则的最大值为（ ）
A．5B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，再结合图形，代入计算，即可得到结果．
【详解】
如图，设，，设P是直线EF上一点，
令，则，
，又，所以
因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时，取得最大值，
设线段AB的中点为M，线段AC的中点为O1，
连接MP，连接并延长使之与EF交于点，
过M作，垂足为N，
因为，设，则，
，
则，由，得，
故的最大值为．
故选：D．
21．在中，D为上一点，若（，），当取得最小值时，三角形与三角形的面积比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三点共线的，结合基本不等式可得时，取得最小值，结合图形即可求与三角形的面积比.
【详解】由D为上一点，则，则
，
当且仅当且，即，时等号成立，取得最小值.
则，则根据平面向量基本定理知，为靠近的三等分点，
则，则.
故选：B
22．如图，在中，M，N分别为AB，AC边上的中点，P是线段MN上的一个动点（不含端点），CP与AB交于点D，BP与AC交于点E，，，则的最小值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】设，则，利用三角形相似得到，，表达出，利用基本不等式求出最值即可.
【详解】设，则，
因为M，N分别为AB，AC边上的中点，所以，，
故，
因为∽，所以，
设，则，，
故，故，
同理可得，，
因为∽，所以，
设，则，
，，
故，，
则
因为，由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故.
故选：C
23．（多选）在中，，为中点，交于点，则（ ）
A．
B．
C．四边形的面积是面积的
D．和的面积相等
【答案】AB
【分析】根据向量的运算法则，可判定A正确；设，求得，结合三点共线，求得，可判定B正确；设的面积为，根据三角形的面积公式，求得四边形的面积为，可判定C不正确；根据题意，得到，可判定D错误.
【详解】对于A，因为，即为（靠近点）的三等分点，
所以，所以A正确；
对于B，设，
由点为的中点，可得，
可得，
因为三点共线，可得，
所以，可得且，
解得，即，所以B正确；
对于C，设的面积为，因为，可得，
又因为为中点，且，可得，
所以四边形的面积为，所以C错误；
对于D，由，可得，所以，
所以和的面积不相等，所以D错误.
故选：AB
知识点2平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量,有且仅有一对实数x,y,使得，则有序数对叫做向量的坐标.
（4）坐标表示.
（5）特殊向量的坐标:
知识点3平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量则有下表
知识点4平面向量共线的坐标表示
（1）条件: ,其中；
（2）结论:当且仅当时,向量共线.
重难点5用坐标表示向量
24．若，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标.
【详解】设，故，而，
故，故，故，
故选：A.
25．已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【分析】先确定向量与轴正方向的夹角，再利用旋转的角度可求答案.
【详解】因为，所以向量与轴正方向的夹角为，
向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为，
此时点在轴上，点的横坐标为0.
故选：C.
26．如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．

【答案】答案见解析
【分析】根据基底和向量的坐标等知识求得正确答案.
【详解】由图可知：
，对应坐标为；
，对应坐标为；
，对应坐标为；
，对应坐标为.
27．如图，设，，，P（x，y）是平面直角坐标系中的4个点，且，．求在基下的坐标．

【答案】．
【分析】根据平面向量基本定理，结合基底的定义进行求解即可.
【详解】，分别是x轴和y轴上的单位向量，并且相互垂直，因此不共线，则，组成平面上的一组基．
在轴上取与横坐标相同的点，则与轴平行或共线．
在轴上取与纵坐标相同的点，则与轴平行或共线．
因此．
由，的坐标可知，，
因此，即在基下的坐标为．
28．如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．

【答案】．
【分析】根据平行四边形法则，结合直角三角形的性质进行求解即可.
【详解】如图，

作平行四边形OBAC，则．
因为，，
所以，在中，，．
所以，即．
因此在基下的坐标为．
重难点6平面向量线性运算的坐标表示
29．已知向量，，，若正实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得，从而得解..
【详解】因为，，，
所以，
所以，解得，
所以.
故选：A.
30．如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设第四个顶点为，
当是对角线时，则有，
当是对角线时，则有，
当是对角线时，则有，
故选：A
31．已知向量满足，，，则（ ）
A．-1B．0C．1D．
【答案】B
【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，.
【详解】设，，又，，
所以，且，
解得，，即，.所以，则，解得，故.
故选：B.
32．（多选）已知一平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，则第四个顶点坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】分别设点，，，第四个顶点为，再分、、三种情况讨论，分别计算可得.
【详解】分别设点，，，第四个顶点为，
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
若，即，则，解得，即；
故选：ACD
33．解答下列各题：
(1)设向量，，求；
(2)已知两点和，点P满足，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示求解；
（2）由向量的坐标表示求解.
【详解】（1）．
（2）由已知两点和，可得，
设点P的坐标是，则．
由已知，可得，
∴解得∴点P的坐标是．
重难点7线段的定比分点
34．已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能.
【详解】因为，，可得，
又因为点是线段的三等分点，则或，
所以或，
即点的坐标为或.
故选：C.
35．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.
【详解】由题意得，点为中点，设点，则
，解得，
所以点的坐标为.
故选:B．
36．在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则 ．
【答案】
【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得的坐标，由，列方程组，解方程组可得和的值即可求解.
【详解】建立如下图的平面直角坐标系，
由已知得，，，，
由得，
设，则，
可得，解得，所以，，
又因为，
所以，解得，，则.
故答案为：.
37．的重心为，顶点，则 ．
【答案】1
【分析】先利用三角形重心坐标公式求得的值，进而求得的值
【详解】的重心为，顶点
则，解之得，则
故答案为：1
重难点8向量共线的坐标表示
38．下列向量中，与向量共线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据共线向量定理的坐标运算得到，验证即可.
【详解】与向量共线的向量需满足.
故选：C
39．已知命题，，与共线，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标表示，结合必要条件与充分条件的定义，可得答案.
【详解】充分性：由与共线，则，解得或0，p是q的不充分条件；
必要性：当，时，由，则与共线，p是q的必要条件.
故选：B.
40．（多选）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由向量基底的定义对各选项一一判断即可求出答案.
【详解】对于A，假设存在存在实数使得，
即，即，无解，
则不共线，所以可以作为一组基底.
对于B，假设存在实数使得，
即，即，无解，
则不共线，所以可以作为一组基底.
对于C，，所以共线，所以不可以作为一组基底.
对于D，，所以共线，所以不可以作为一组基底.
故选：AB.
41．已知向量，，若，则 .
【答案】或
【分析】根据平面向量共线坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以有，或，
故答案为：或
42．如果三点共线，则的值为 .
【答案】3
【分析】由得出的值.
【详解】因为三点共线，所以存在使得.
即，解得.
故答案为：3
43．已知空间四点,,和,求证:四边形是梯形.
【答案】证明见解析
【分析】根据平面向量的坐标运算得,由,与不共线即可证明.
【详解】依题意有,
同理,,,
因为,所以,
则,且,
又与不共线,
所以四边形是梯形.
重难点9用向量坐标解决几何问题
44．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求点B的坐标；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据结合，根据直角三角形中的关系结合求解即可；
（2）先求得，再根据向量平行的性质证明即可
【详解】（1）由题意，因为，，故，故，即点B的坐标为
（2）由题意，，又，故，且不共线，故
45．如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标.
【答案】(3，3)
【分析】设P(x，y)，可得，根据共线向量的坐标表示即可求出 x、y的值.
【详解】设P(x，y)，则=(x，y)，因为=(4，4)，
且共线，所以，即x=y.
又=(x-4，y)，=(-2，6)，且共线，
则得(x-4)×6-y×(-2)=0，解得x=y=3，
所以点P的坐标为(3，3).
46．如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点.
求证：（1）；
（2）D，M，B三点共线.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）建立平面直角坐标系，证明四边形为正方形，分别写出各点的坐标，然后利用向量共线证明即可；
（2）用向量证明，结合与有公共点，即可求证
【详解】以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.
令，则，因为，，
所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为
.
（1）因为，，
所以，即.
（2）因为M为的中点，所以，
所以，，
所以，所以.
又与有公共点，所以D，M，B三点共线.
47．如图，在平面直角坐标系中，，，
（1）求点的坐标；
（2）求证：四边形为等腰梯形．
【答案】（1）；；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标；
（2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得.
【详解】解：（1）设，则，
，
，
，
；
（2）证明：连接,
，，
，且，
又，，
,
四边形为等腰梯形.
48．如图所示，已知的顶点，，．

(1)求顶点D的坐标；
(2)已知点，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明．
【答案】(1)；
(2)A，M，C三点共线；详见解析.
【分析】（1）由平行四边形可得，然后根据向量的坐标运算即得；
（2）根据坐标关系可得，进而即得.
【详解】（1）由平行四边形可得：，又，，，，
所以，
∴D的坐标为；
（2）A，M，C三点共线；
因为，，，
所以，又有公共点，
所以A，M，C三点共线.
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知,则