甘肃省武威市凉州区第十中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份甘肃省武威市凉州区第十中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）用配方法解方程x2+4x+2＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x+2）2＝﹣2D．（x﹣2）2＝6
2．（3分）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若代数式x﹣3y+7的值为5，则值一定为7的代数式是（ ）
A．x+y+5B．x+3y+2C．2x﹣6y﹣3D．﹣2x+6y+3
4．（3分）已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则x2﹣x的值为（ ）
A．6B．﹣2或6C．﹣2D．12
5．（3分）已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
6．（3分）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
7．（3分）若方程9x2+（k+2）x+4＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．﹣10或14B．﹣14C．10D．10或﹣14
8．（3分）在估算一元二次方程x2+2x﹣4＝0的根时，小晗列表如表：由此可估算方程x2+2x﹣4＝0的一个根x的范围是（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．1.3＜x＜1.4
9．（3分）如图所示，某小区规划在一个宽为9m，长为16m的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为112m2，设小路的宽为x m，那么x满足的方程是（ ）
A．2x2﹣25x+16＝0B．x2﹣25x+32＝0
C．x2﹣17x+16＝0D．x2﹣17x﹣16＝0
10．（3分）下列说法正确的是（ ）
①若，则一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为﹣2；
②已知关于x的方程有两实根，则k的取值范围是﹣1≤k≤3；
③一个多边形对角线的条数等于它的边数的4倍，则这个多边形的内角和为1620度；
④一个多边形剪去一个角后，内角和为1800度，则原多边形的边数是11或12．
A．①③B．①②③C．②④D．②③④
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11．（3分）已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣2）＝0，则a2+b2的值是 ．
12．（3分）抛物线y＝4x2+1关于x轴对称的顶点坐标为 ，对称轴为 ．
13．（3分）已知m、n满足m2﹣3m﹣1＝0，n2﹣3n﹣1＝0，则的值等于 ．
14．（3分）如图，A，B为抛物线y＝ax2上的两点，且AB⊥y轴于点（0，6）．若AB＝6，则该抛物线对应的函数解析式为 ．
15．（3分）如图，桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是（2，﹣1），当水位线在AB位置时，A到B的水面宽为12m，求水面离桥顶的高度h＝ ．
16．（3分）设a，b是方程x2+3x﹣2024＝0的两个实数根，则a2+4a+b的值为 ．
17．（3分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3月每个月生产成本的下降率都相同．则每个月生产成本的下降率是 ．
18．（3分）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为 7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为 ．
三、解答题
19．（12分）解下列方程：
（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0；
（2）﹣2x2+4x+6＝0（配方法）；
（3）x2﹣4x+3＝0．
20．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实根．
（1）求k的最大整数值；
（2）当k取最大整数值时，方程的根满足x2+mx﹣1＝0，求m的值．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值．
22．（6分）已知二次函数y＝ax2+k（a≠0）的图象经过点A（2，3），B（﹣1，6）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若点C（﹣3，m），D（n，5）也在函数的图象上，求m，n的值．
23．（6分）把一根长8米的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形．
（1）要使这两个正方形面积的和等于2平方米，应该怎么剪？
（2）这两个正方形面积的和可能等于平方米吗？请说明理由．
24．（6分）某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电面被感染．
（1）每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
（2）若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
25．（8分）某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．
（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？
26．（7分）如图，已知点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
（1）求a的值和点B的坐标；
（2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点P的坐标．
27．（9分）已知抛物线y＝+1具有如下性质：给抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y＝+1上一动点，则
（1）当△POF面积为4时，求P点的坐标；
（2）求△PMF周长的最小值．
2024-2025学年甘肃省武威十中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．【解答】解：由x2+4x+2＝0，得
x2+4x＝﹣2，
配方，得
x2+4x+22＝﹣2+22，
即（x+2）2＝2，
故选：B．
2．【解答】解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误；
B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误；
C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误；
D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．
故选：D．
3．【解答】解：∵x﹣3y+7＝5，
∴x﹣3y＝﹣2，
则﹣2x+6y+3＝﹣2（x﹣3y）+3
＝﹣2×（﹣2）+3
＝4+3
＝7，
故选：D．
4．【解答】解：设x2﹣x＝t，则方程变形为：t2﹣4t﹣12＝0，
即（t﹣6）（t+2）＝0，∴t＝﹣2或6，即x2﹣x＝﹣2或6；
当x2﹣x＝﹣2时，Δ＜0此方程无实数根（舍），
当x2﹣x＝6时，Δ＞0满足题意．
故选：A．
5．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2，
∴该二次函数的抛物线开口向下，且对称轴为：x＝0，即y轴．
∵a＜﹣1，
∴a﹣1＜a＜a+1＜0，
∵在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
6．【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝55，
整理，得：x2﹣x﹣110＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
7．【解答】解：∵9x2+（k+2）x+4是一个完全平方式，
∴（k+2）x＝±2×2•3x＝±12x，
∴k+2＝12或k+2＝﹣12，
∴k＝10或﹣14；
故选：D．
8．【解答】解：∵x＝1.2，x2+2x﹣4＝﹣0.16＜0；x＝1.3，x2+2x﹣4＝0.29＞0，
∴当x在1.2与1.3之间取一个数时，x2+2x﹣4＝0，
即方程x2+2x﹣4＝0的一个根x的范围为1.2＜x＜1.3．
故选：C．
9．【解答】解：设小路的宽度为x m，
那么耕地的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，、
整理得：x2﹣17x+16＝0，
故选：C．
10．【解答】解：①∵，
∴4a﹣2b+c＝0，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为﹣2，故①正确；
②∵于x的方程有两实根，
∴Δ≥0，即（）2﹣4（k﹣2）≥0，
解得k≤3，
∵k+1≥0，
∴k+1≥﹣1，
∴k的取值范围是﹣1≤k≤3，故②正确；
③设这个多边形的边数是n．
根据题意得： n•（n﹣3）＝4n，
解得：n＝11，
内角和是（11﹣2）•180°＝1620°．故③正确；
④设新多边形为n边形，
（n﹣2）•180°＝1800°，
解得n＝12，
∴原多边形的边数是11或12或13．故④错误．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
11．【解答】解：设x＝a2+b2（x≥0），则原方程转化为（x+1）（x﹣2）＝0．
所以x+1＝0或x﹣2＝0．
所以x＝﹣1（舍去）或x＝2．
所以a2+b2＝2．
故答案为：2．
12．【解答】解：因为抛物线的解析式为y＝4x2+1，
所以抛物线的顶点坐标为（0，1），对称轴为y轴．
故答案为：（0，1），y轴．
13．【解答】解：当m≠n时，
∵m、n满足m2﹣3m﹣1＝0，n2﹣3n﹣1＝0，
∴m、n是关于x的方程x2﹣3x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝3，mn＝﹣1，
则＝＝＝＝﹣11．
当m＝n时，原式＝2；
∴的值等于2或﹣11．
14．【解答】解：∵AB⊥y轴于点（0，6），AB＝6，
∴B（3，6），
将B（3，6）代入y＝ax2，
得a＝，
∴，
故答案为：．
15．【解答】解：桥拱是抛物线，上面有一点P，坐标是（2，﹣1），设y＝ax2，把（2，﹣1）代入得：
4a＝﹣1，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
把x＝6代入y＝﹣x2，
y＝﹣×62＝﹣9，
∴水面离桥顶的高度h为9m，
故答案为：9m．
16．【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2024＝0的两个实数根，
∴a2+3a＝2024，a+b＝﹣3，
∴a2+4a+b＝（a2+3a）+（a+b）＝2024﹣3＝2021．
故答案为：2021．
17．【解答】解：设每个月生产成本的下降率是x，
依题意，得400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．
故答案为：5%．
18．【解答】解：x2+12x＝m，
∵阴影部分的面积为64，
∴x2+12x＝64，
设4a＝12，
则a＝3，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，
得到大正方形的面积为64+32×4＝64+36＝100，
则该方程的正数解为10﹣6＝4，
故答案为：4．
三、解答题
19．【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，
3（2x﹣1）2＝12，
（2x﹣1）2＝4，
∴2x﹣1＝±2，
∴x1＝，x2＝﹣．
（2）﹣2x2+4x+6＝0，
x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，即（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（3）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3．
20．【解答】解：（1）根据题意知Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，
解得：k≤4，
∴k的最大整数值为4；
（2）∵k＝4，
∴方程为x2﹣4x+4＝0
则解得方程的根为x1＝x2＝2；
把x＝2代入方程x2+mx﹣1＝0得4+2x﹣1＝0，
∴m＝﹣．
21．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵+＝＝＝﹣，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m＝．
22．【解答】解：（1）将点A（2，3），B（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+k得：
，解得，
∴函数的解析式为：y＝﹣x2+7．
（2）∵点C（﹣3，m），D（n，5）在函数y＝﹣x2+7的图象上，
∴m＝﹣9+7＝﹣2，﹣n2+7＝5．
∴m＝﹣2，n＝．
23．【解答】解：（1）设剪成的一段为x米，则另一段就为（8﹣x）米，
由题意得，
解得：x1＝x2＝4．
答：剪成的一段为4米，则另一段就为4米；
（2）设剪成的一段为y米，则另一段就为（8﹣y）米，
由题意得，
变形为：y2﹣8y﹣9＝0，
解得：y1＝﹣1＜0，舍去，y2＝9＞8，舍去，
即：这两个正方形面积的和不可能等于．
24．【解答】解：（1）设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，
根据题意得：1+x+（1+x）x＝144，
即2（1+x）2＝288，
整理得：（1+x）2＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去），
答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑；
（2）由题意可知，2（1+x）2+2x（1+x）2＝2（1+x）3＝2（1+11）3＝3456（台），
答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台．
25．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：每次降价的百分率为10%．
（2）设每台冰箱的售价应定为y元，
依题意得：8+×4＝20，
解得：y＝2850．
答：每台冰箱的售价应定为2850元．
26．【解答】解：（1）由题意得：4a＝4，
解得：a＝1，
有抛物线是对称性得：B（2，4）；
（2）由（1）得：y＝x2，
设P（x，x2），
∴＝2，
解得：x＝±或x＝，
∴P的坐标为：（，5）或（，3）．
27．【解答】解：（1）设P点的坐标为（x， +1），
∵点F的坐标为（0，2），
∴OF＝2，
∴当△POF的面积为4时，×2×|x|＝4，
解得：x＝±4，
∴y＝×（±4）2+1＝5，
∴点P的坐标为：（﹣4，5）或（4，5）．
（2）解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y＝x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（，3），
∴ME＝3，FM＝＝2，
∴△PMF周长的最小值＝ME+FM＝3+2＝5．
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+2x﹣4
﹣1
﹣0.59
﹣0.16
0.29
0.76