新高考数学二轮复习 专题02 数列 解答题 巩固练习一（2份，原卷版+教师版）

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(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)（）(2)
【解析】（1）因为，（），所以，（），
所以，，，…，，（且），
所以（且），
整理得：（且），即，（且），
又因为，所以，（且），当时，适合上式，
所以，（ ）.
（2）由（1）知，，
所以，
即.
2.（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列中，，，数列的前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，(2)
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，，数列的前项和为，且，
当时，则有，当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.
（2）解：因为，则，①
可得，②
①②得，
故.
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
(2)若______，求数列的前n项和．
从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析，(2)答案见解析
【解析】（1）由，得，且，（i）
所以当时，，（ii）
（i）（ii），得，所以．
当时，，即，
又，所以，所以，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以．
（2）若选①：，则，
所以，
所以，所以．
若选②：，
则
若选③：因为，
所以，
所以数列是以27为首项，为公比的等比数列，所以．
4．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列和各项均为正数的等比数列满足：，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列是由数列和中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，(2)15220
【解析】（1）根据条件，设，，
又，解得，故，.
（2）当时，，由，得，，
又，，，，故在数列的前100项中含有数列中的4项，
所以，
所以.
5．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知数列中，，是与9的等差中项，记为数列的前项和，满足（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求实数的最小值.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）依题意，，，当时，，两式相减得，即，
当时，，又，有，则当，，
因此数列是首项为3，公比的等比数列，
而，即，解得，则，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，数列是首项为，公比为的等比数列，，
于是不等式化为：，设，
，
当时，，当时，，
即当时，数列递增，当时，数列递减，
从而，则，所以实数的最小值为.
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记为数列的前n项和，已知.
(1)求数列{}的通项公式；
(2)数列{}满足且，的前n项和为，证明:.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）由，由可得，
则时，两式相减可得，
化为，因为，所以，数列{}是首项与公差都是2的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，又，
所以，
所以
，
，