福建省宁德市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版）

这是一份福建省宁德市2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 数列1，，4，，的一个通项公式（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依次分析各项，寻找规律，求出结果.
【详解】数列1，，4，，中，
，
，
，
，
，
……，
故选：.
2. 用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个.
A. 4B. 10C. 12D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
【详解】当个位数字为0时，偶数共有个，
当个位数字为2时，偶数共有个，
所以偶数共有个．
故选：B.
3. 已知直线：，：，若，则实数a的值为（ ）
A. 0B. C. 0或D. 1或2
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．
【详解】直线：，：，，
则，解得或
故选：C.
4. 已知为等差数列的前n项和，若，则（ ）
A. 42B. 56C. 60D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】由已知结合等差数列的性质及求和公式即可求解．
【详解】等差数列中，，
则
故选：C.
5. 若，则（ ）
A. 10B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件得，结合二项式定理，即可求解．
【详解】由题意，
，
则.
故选：A.
6. 过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解.
【详解】
法一：设直线的参数方程为，其中t为参数，
代入椭圆方程可得：，
则，
则
故选：A.
法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得：
，整理得：，
设交点则有
则
故选：A.
7. 加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（ ）
A. 椭圆M的离心率为B. 椭圆M的蒙日圆方程为
C. 若G为正方形，则G的边长为D. 长方形G的面积的最大值为14
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的性质，结合矩形的面积公式及基本不等式的应用求解．
【详解】已知椭圆，则，，，
结合题意得，该椭圆的“蒙日圆”的半径为，
对于A，椭圆M的离心率为，正确；
对于B，椭圆M的蒙日圆方程为，正确；
对于C，若G为正方形，设G的边长为m，则，即，正确；
对于D，G的长为m，宽为n，则，则，
当且仅当时取等号，即长方形G的面积的最大值为28，错误．
故选：D
二、多选题：本题共4小题，共23分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
8. 已知直线l：，圆C：，则（ ）
A. 直线l过定点
B. 圆上的点到l的距离最大值为
C. 当l与圆C相切时，直线l方程为
D. 当时，圆C上有三个点到l的距离为1
【答案】BC
【解析】
【分析】将l的方程化为，可知l经过直线与的交点，从而判断出A项的正误；求出圆心C到直线l距离的最大值，进而算出圆上的点到直线l距离的最大值，由此判断出B项的正误；根据切线的性质、点到直线的距离公式，算出直线l与圆C相切时的斜率k值，进而判断出C项的正误；当时，圆心C恰好在直线l上，结合圆的半径，判断出D项的正误．
【详解】对于A，直线l：可化为，
所以直线l经过直线与直线的交点，故A项不正确；
对于B，圆C：的圆心为，半径
根据直线l经过定点，可知点C到直线l的最大距离为
因此，圆C上的点到l的距离最大值为，故B项正确；
对于C，当l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离，
即，解得，可得直线l的方程为，即，故C项正确；
对于D，当时，直线l方程为，此时圆心C恰好在直线l上，
根据圆的半径，可知圆C上仅有两个点到l的距离等于1，故D项不正确．
故选：BC.
9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有20种
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用捆绑法求出A选项中结果，利用特殊优先求出B选项结果，利用插空法求出C选项结果，由排列组合求出D选项结果.
【详解】A，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确；
B.B，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确；
C，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误；
D，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故D正确．
故选：ABD
10. 数列的前n项和为，下列判断正确的是（ ）
A. 若，则数列是等差数列
B. 若，则取最大值时或
C. 若，则
D. 若，，则数列是等比数列
【答案】BC
【解析】
【分析】由数列前n项和与通项的关系求出数列的前3项，由等差数列的定义可判断A，由数列的函数特性可判断B，由累加法可判断C，由等比数列的定义可判断D.
【详解】对于A，若，则，
，，
所以数列不是等差数列，故A错误；
对于B，若，又n为正整数，
故当或时，取最大值，故B正确；
对于C，若，
则
，故C正确；
对于D，若，当时，有，
两式相减，有，
变形可得，
当时，有，
故数列不是等比数列，故D错误．
故选：BC.
11. 已知A为双曲线上位于第一象限内一点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，点F为双曲线C的左焦点，则（ ）
A. 若，则B. 若，则的面积为2
C. D. 的最小值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，可得四边形为矩形，进而可判断选项A；结合双曲线的定义、勾股定理和三角形面积公式即可判断选项B；在中，得到的表达式，结合渐近线方程即可判断选项C；易知，当且仅当时，取到最小值，最小值为4，此时可判断选项D.
【详解】
设双曲线右焦点为，根据双曲线是中心对称图形可知四边形为平行四边形，
因为双曲线C的方程为，所以，，，
对于选项A：因，所以，
即四边形为矩形，则，故选项A正确；
对于选项B：由双曲线定义可知：，又，
若，此时四边形为矩形，
则，所以，
即，解得，所以，
则，故选项B错误；
对于选项C：在中，，
易知双曲线的渐近线方程为，所以，
此时，即，故选项C正确；
对于选项D：因为，
当且仅当时，取到最小值，最小值为4，故选项D正确．
故选：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量是直线l的一个法向量，则直线l的倾斜角为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据法向量的定义，以及直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【详解】因为向量是直线l的一个法向量，
所以直线l的斜率，设直线l的倾斜角为，
则，又，
所以直线l的倾斜角.
故答案为：.
13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则其展开式中含 项的系数为_______.
【答案】240
【解析】
【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可.
【详解】由题意可知：，解得，
则的展开式的通项为，
令，解得，
所以展开式中项的系数为.
故答案为：240.
14. 已知圆O：，MN为圆O的动弦，且满足，C为弦MN的中点，两动点P，Q在直线l：上，且，当MN运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，即可得点C的轨迹方程，设PQ的中点E的坐标，由恒为锐角，可得以O为圆心，以1为半径的圆与以E为圆心，1为半径的圆外离，从而可得，解得a的范围即可．
【详解】由题意，圆O：圆心为，半径，C为弦MN的中点，
因，可得，
所以点C在以为圆心，1为半径的圆上，
又由两动点P，Q在直线l：上，且，
设PQ的中点，因为当M，N在圆O上运动时，恒为锐角，
所以以O为圆心，以1为半径的圆与以E为圆心，1为半径的圆外离，
则，解得或，
所以线段PQ中点的横坐标的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C经过三点
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l与圆C交于A，B两点，且，求直线l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设圆的一般方程，将三点的坐标代入可得参数的值，即求出圆的方程，化简为标准方程即可；
（2）由弦长公式可得圆心C到直线的距离d，分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，设直线的方程，由点到直线的距离公式，可得参数的值，即求出直线的方程．
【小问1详解】
设圆C的方程为：，
将代入圆的方程得，
解得，，，
所以圆的方程为：，
即圆C的标准方程为：.
【小问2详解】
由（1）可得圆心，半径，
设圆心C到直线l的距离为d，由题意可得，
可得，即，
当直线l的斜率不存在时，则过点的直线，
此时圆心C到直线的距离为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，
设过点的直线l的方程为，即，
则圆心C到直线l的距离，解得，
即直线l的方程为，即
综上所述，直线的方程为：或
16. 已知数列的首项，且满足
求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
记，求数列的前项和为．
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】
【分析】由，得，由此可判断为等差数列，可求，进而得到;求出，利用错位相减法可求．
【详解】由，得，
又，
为等差数列，首项为1，公差为2，
，
．
，
，
，
得，
，
．
【点睛】该题考查等差数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练．数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．
17. 已知点T分别与两点，连线的斜率的乘积为，
（1）求点T轨迹的方程；
（2）已知直线与交于A，B两点，，求k的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，代入斜率公式求解即可；
（2）设出直线l的方程，将直线方程与轨迹方程联立，利用韦达定理求出线段AB的中点坐标，将，转化成直线PD与直线AB垂直，代入斜率公式求解即可．
【小问1详解】
设，
因为，，所以，，
由，得，整理得，
则点T的轨迹的方程为.
【小问2详解】
设直线l的方程为，，，
联立，消去y并整理得，
此时，
由韦达定理得，
所以，
此时AB中点，
因为，所以直线PD与直线AB垂直，
所以，即，
解得，
则 .
18. 已知是等差数列，是正项等比数列，且，，，
（1）求数列，的通项公式：
（2）记
（i）求数列的前2n项和；
（ii）记，求数列的前n项和
【答案】（1），
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，进而得到所求；
（2）（i）利用并项求和法，结合等差数列的求和公式计算即可；
（ii）由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，可得所求．
【小问1详解】
由题意，是等差数列，设公差为d，
是正项等比数列，设公比为q，，
由，，，，
可得，，
解得，
则，.
【小问2详解】
（i）由（1）可得，，
则，
则数列的前2n项和；
（ii），
则数列前n项和
19. 已知抛物线C：，点在C上.按照如下方式依次构造点、3、：过点作斜率为的直线与C交于点令为关于x轴的对称点，记的坐标为
（1）求弦长；
（2）证明：数列是等差数列，并求和；
（3）记为的面积，求
【答案】（1）
（2）证明见解析，，
（3）
【解析】
【分析】（1）代入求得p和抛物线的方程，由直线的方程与抛物线的方程联立，求得，得到，由两点的距离公式，可得所求；
（2）求得过点且斜率为的直线方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（3）由（2）可得，同理可得，，由两点的距离公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可得所求值．
【小问1详解】
由点在抛物线C：上，可得，解得，
则抛物线的方程为，可得直线的方程为，
由，解得，即，可得，
则；
【小问2详解】
设过点且斜率为的直线为，
与抛物线的方程，联立可得，
由韦达定理可得，即，
则数列是首项和公差均为1的等差数列，
可得，；
【小问3详解】

由（2）可得，同理可得，，
，，
，
直线的方程为，即，
设点到直线的距离为d，
则，
所以.
【点睛】关键点点睛：设出过点且斜率为的直线为，与抛物线方程联立后，结合韦达定理可得，从而利用等差数列的定义证明即可.