新高考数学二轮复习 专题03 空间几何 解答题 巩固练习四（2份，原卷版+教师版）

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(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】（1）证明：连接，，则，且，，
连接，，由圆柱的性质可得，
所以四边形是平行四边形，，所以为中点，
所以易知，平面，平面，所以平面；
（2）设，则，
，当且仅当时取等，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
，设平面的法向量为，
所以，令，，所以，
取平面的法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
2（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
【答案】(1)证明见解析；(2)最小值为，点为靠近的的四等分点
【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，
所以，，
因为，所以，即.
（2）设平面的法向量为，因为，，
所以，令，则，
平面的一个法向量为，设平面与平面DEF所成的二面角为，
则，
当时，取最小值为，此时取得最大值，所以，
所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由可知，又，故（三线合一），
又平面，平面，故，
又，平面，故平面，
又平面，故平面平面
（2）
在平面中，过作，垂足为，不妨设，由于，则，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设，则，，，.
设平面的法向量，由，即，则是其中一条法向量；
设平面的法向量，由，即，则是其中一条法向量.
设平面与平面夹角为，则，
当时，取到最大值，此时正弦值取到最小值为.
4.（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．

(1)求证：平面平面；
(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)1
【解析】（1）如图，设交于点，连接，
由已知可得，又，所以四边形为菱形，所以，
∵，，，∴，∴，
∴，又，所以，因为为的中点，∴，．
由余弦定理可得，
∴，所以，即，
又平面，，∴平面．
又平面，∴平面平面．

（2）由已知平面，平面，所以，
又，，平面，∴平面，
又平面，∴．
由（1）知，，平面，所以平面，
∴，又点为的中点，所以．以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，，，
设，则，∴，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，
则，
构建，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
∴时，取到最大值4．此时，取到最大值1.
另解：由，知，当时，，此时平面，
设直线与平面所成的角为，因为，当时，取到最大值1．
5．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．
(1)证明：；
(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)0
【解析】（1）证明：在中，设，因为，
由余弦定理可知：，
解得，所以，所以．
又因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面．由平面，所以.
（2）连交于点M，连接，，设交于点H．
在中，过P作的平行线交的延长线于N，
由，有，则，
所以点H为线段中点．在中，因为直线平面，平面平面，所以直线直线，且直线过点H，所以点E为线段中点．以点A为坐标原点，分别为轴，轴，过点A垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设．
则，，,，．
因为点E为线段中点，所以，设平面（平面）的法向量为，
因为，，由，得，
令，则．设平面（平面）的法向量为，
因为，，由，得．令，则．
所以，所以二面角的余弦值为0.