江苏省南京市鼓楼实验中学2024-2025学年九下数学第一次月考前模拟练习题【含答案】

这是一份江苏省南京市鼓楼实验中学2024-2025学年九下数学第一次月考前模拟练习题【含答案】，共22页。

A．60°B．65°C．70°D．75°
2．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
3．如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，P是CD边上的一个动点，E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为（ ）
A．﹣1B．+1C．D．+1
4．如图，在边长为12的等边△ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，F为边AC上一点，连接EF、DF，M、N分别为EF、DF的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A．B．2C．2D．4
5．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝﹣的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（ ）
A．4B．﹣4C．8D．﹣8
6．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，3），点D是边OC上的一点，点E在直线OB上，连接DE、CE，则DE+CE的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
7．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．1D．2.5
8．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，则四边形ADFE面积的值是（ ）
A．12.5B．6C．25.5D．12.25
二．填空题（共7小题）
9．如图，在菱形ABCD中，sinB＝，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，的值是 ．
10．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象交于A（n，3）和B（﹣6，﹣1）两点，若y1＞y2，则x的取值范围是 ．
11．如图，正方形ABCD的边长为，点F在线段CE上，且四边形BFED为菱形，则CF的长为 ．
12．如图，P为第一象限内一点，过P作PA∥x轴，PB∥y轴，分别交函数y＝于A，B两点，若S△BOP＝4，则S△ABO＝ ．
13．若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为 ．
14．如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度为 ．
15．如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得∠ABC＝90°，点D在线段AC上也在反比例函数的图象上，且满足2CD＝3AD，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k的值为 ．
三．解答题（共3小题）
16．如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象经过点A（8，3），交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），与y轴交于点D．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是第一象限内抛物线上一点，直线PO交直线CD于点Q，过点P作x轴的垂线交直线CD于点T，若PQ＝QT，求点P的坐标；
（3）在x轴的正半轴上找一点E，过点E作AE的垂线EF交y轴于F，若△AEF与△EFO相似，求OE的长．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D在边AC上，将△ABD沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，连接AE．
（1）当AD＝2CD时，求证：点D是△ABE的外心；
（2）若△ADE与△BCD相似，求AE的长．
18．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
2．【解答】解：根据题意可知，直线CD经过△ABC的AB边上的中线，直线AD经过△ABC的BC边上的中线，
∴点D是△ABC重心．
故选：A．
3．【解答】解：作点E关于DC的对称点E'，设AB的中点为点O，连接OE'，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E'关于DC对称，
∴DE'＝DE＝1，PE＝PE'，
∴AE'＝AD+DE'＝2+1＝3，
在Rt△AOE'中，OE'＝＝＝，
∴线段PE+PM的最小值为：
PE+PM
＝PE'+PM
＝ME'
＝OE'﹣OM
＝﹣1．
故选：A．
4．【解答】解：∵BC＝12，BD＝CD，
∴BD＝4，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝2，
由勾股定理得：DE＝＝＝2，
∵M、N分别为EF、DF的中点，
∴MN＝DE＝，
故选：A．
5．【解答】解：可以设点C的坐标是（m，n），
设AB与x轴交于点M，则△BMO∽△BAD，
则，
因为AD＝2+m，AB＝2+n，OM＝2，BM＝n，
因而得到，
即mn＝4，
点（m，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，
代入得到：n＝，
则k＝﹣2mn＝﹣8．
故选：D．
6．【解答】解：如图，连接AC交OB于K，连接AE，作AH⊥OC于H．
∵四边形ABCO是菱形，
∴AC⊥OB，AK＝3，OK＝4，
∴OA＝OC＝5，
∵A、C关于OB对称，
∴AE＝EC，
∴EC+ED＝AE+ED，
根据垂线段最短可知：当A、E、D共线，且与AH重合时，EC+ED的值最小，最小值为AH的长，
∵•AC•OK＝•OC•AH，
∴AH＝
∴EC+ED的最小值为，
故选：D．
7．【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵AO＝OB，
∴AE＝EC＝AC＝4，
∵OA＝AB＝5，
∴OE＝BC＝3，
∴OD＝3，
在Rt△ABC中，OC是斜边AB上的中线，
∴OC＝AB＝5，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：A．
8．【解答】解：在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形DAEF是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DAE＝30°，
过A作AM⊥DF于M，
∵DA＝3，∠FDA＝30°，
∴AM＝DA＝1.5，
∴S▱AEFD＝AD•FM＝4×1.5＝6．
即四边形AEFD的面积是6．
故选：B．
二．填空题（共7小题）
9．【解答】解：延长CM交AD于点G，
∵将四边形AEFB沿EF翻折，
∴AE＝ME，∠A＝∠EMC，BF＝FN，∠B＝∠N，AB＝MN
∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∠A+∠B＝180°
∵sinB＝＝sinN＝，
∴设CF＝4x，FN＝5x，
∴CN＝＝3x，
∴BC＝9x＝AB＝CD＝AD，
∵sinB＝＝sinD＝
∴GC＝
∴GM＝GC﹣（MN﹣CN）＝﹣6x＝x
∵∠A+∠B＝180°，∠EMC+∠EMG＝180°
∴∠B＝∠EMG
∴sinB＝sin∠EMG＝＝
∴cs∠EMG＝＝
∴EM＝2x，
∴AE＝2x，
∴＝
故答案为：
10．【解答】解：∵点A（n，3），B（﹣6，﹣1）都在函数y2＝的图象上．
∴3n＝﹣6×（﹣1）．
∴n＝2，
由图象可知，当y1＞y2，x的取值范围为：﹣6＜x＜0或x＞2．
故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．
11．【解答】解：如图，过点F作FG⊥BC交BC延长线于G，则∠CGF＝90°
∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD＝，∠BCD＝90°，∠CBD＝45°，
∴BD＝2，
∵四边形BFED为菱形，
∴CE∥BD，BF＝BD＝2
∴∠FCG＝∠CBD＝45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，设CG＝FG＝m，则CF＝m
∴BG＝+m，
∵在Rt△BFG中，BG2+FG2＝BF2
∴（+m）2+m2＝22，解得：m1＝﹣（舍去），m2＝，
∴CF＝×＝，
故答案为：．
12．【解答】解：如图，延长BP交x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，
则四边形APMN是矩形，
∴AP＝MN，AN＝PM，
设点B的横坐标为t，
点A，B在函数y＝上，
∴B（t，），
∵S△BOP＝4，
∴•t•BP＝4，解得BP＝，
∴PM＝AN＝，
∴A（3t，），
∴AP＝MN＝2t，
∵S△BOM+S梯形ABMN＝S△AON+S△AOB，且S△BOM＝S△AON＝＝6，
∴S梯形ABMN＝S△AOB＝•（+）•2t＝16．
故答案为：16．
13．【解答】解：∵x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x12﹣2x1＝2021，
则原式＝2021x1+2021x2
＝2021（x1+x2）
＝2021×2
＝4042．
故答案为：4042．
14．【解答】解：如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，
∴AE∥DM，
∴∠AED＝∠EDM，
∴tan∠AED＝tan∠EDM＝，
∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，
设EM＝m，
由折叠性质可知，EC＝CB＝，
∴CM＝﹣m，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴tan∠ECD＝＝，
∴DM＝（﹣m）×＝1﹣m，
∴tan∠EDM＝，
即＝，
解得，m＝，
∴DM＝，EM＝，
在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，
解得，DE＝，
故答案为：．
15．【解答】解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，则∠DHC＝∠DHB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，CH：BH＝CD：AD＝3：2，
∴＝，
设AB＝5b，DH＝3b，则点A的坐标为（，5b），点D的坐标为（，3b），
∴OB＝﹣，BH＝﹣＝﹣，
∴BC＝＝＝﹣，
∵∠DHB＝∠EOB＝90°，∠DBH＝∠EBO，
∴△BDH∽△BEO，
∴，即，
∴OE＝，
∴S△BCE＝＝﹣＝6，
∴k＝﹣8，
解法二：如图，过点A作AN⊥ED于点N，过点C作CM⊥ED交ED的延长线于点M．
∵AN∥CM，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴|k|＝8，
∵k＜0，
∴k＝﹣8．
故答案为：﹣8．
三．解答题（共3小题）
16．【解答】解：（1）将点A（8，3）代入y＝x2+bx+3，
∴3＝16+8b+3，
∴b＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）令y＝0，则x2﹣2x+3＝0，
解得x＝2或x＝6，
∴B（2，0），C（6，0），
∴OC＝6，
令x＝0时，y＝3，
∴D（0，3），
∴OD＝3，
∵PQ＝QT，
∴∠QPT＝∠QTP，
∵OD∥PT，
∴∠QPT＝∠DOQ，∠QTP＝∠QDO，
∴∠QOD＝∠QDO，
∴∠QOC＝∠QCO，
∴DQ＝QC＝OQ，
过点Q作QH⊥x轴于H，
∴QH＝OD，OH＝OC，
∴Q（3，），
设直线OP的解析式为y＝kx，
∴＝3k，
∴k＝，
∴y＝x，
联立方程组，
解得或，
∴P点坐标为（5+，）或（5﹣，）；
（3）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，分三种情形；
①如图2，若ΔΑΕF∽△OFE，则∠AFE＝∠EFO，
延长AE交y轴于点G，
∵AΕ⊥ΕF，
∴AE＝EG，
∴ΔΑΕH≌ΔGΕO（AAS），
∴OE＝EH＝4；
③如图3，若△AEF∽△FOE，则∠AFE＝∠OEF，
设AF交x轴于点G，则FG＝EG，
∵AE⊥EF，
∴FG＝AG，
∴ΔΑGH≌△FGO，
∴OF＝AH＝3，
设HE＝x，则EO＝8+x，
∵ΔΑΕH∽△EFO，
∴＝，
∴＝，
解得x＝﹣9或x＝1，
∴EO＝9；
如图4，过A点作AF⊥y轴交于F点，以AF为直径作圆，圆与x轴的交点为E点，
∵A（8，3），D（0，3），
∴F点与D点重合，
∵AF∥x轴，
∴∠AFE＝∠FEO，
∴△AEF∽△FOE，
∴＝＝，
∴＝，
解得OE＝4+或OE＝4﹣；
综上所述：OE的长是4或9或4+或4﹣．
17．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，AC＝，
∵AD＝2CD，
∴CD＝AC＝，AD＝，
∵BD＝＝＝，
∴AD＝BD，
∵将△ABD沿直线BD翻折，
∴AD＝ED，
∴AD＝BD＝ED，
∴点D是△ABE的外心；
（2）解：如图，
∵△ADB沿直线BD翻折后点A落在点E处，
∴∠ABD＝∠EBD，AD＝DE，AB＝BE，
连接AE，
∵△ADE与△BCD相似，
∴∠ADE＝∠BCD＝90°，
∴AD⊥ED，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝30°+45°＝75°，
在△ABE中，∠ABE＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABE＝×30°＝15°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣15°＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BC＝1，
∵BC＝1，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×1＝2，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∴AE＝AD＝（﹣1）．
18．【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝120°，
∴∠P＝360°﹣（90°+90°+120°）＝60°．
∴∠P＝60°．
（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴APB＝30°，
在Rt△APO中，tan30°＝，
∴AP＝＝＝4cm，
∴S阴影＝2S△AOP﹣S扇形＝2×（×4×﹣）＝（16﹣）（cm2）．
声明：试题解析著作权属菁优