数学中考二次函数综合压轴专题训练参考地区：陕西省第25题

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（1）求缆索L1所在抛物线的函数表达式；
（2）点E在缆索L2上，EF⊥FF´，且EF=2.6 m，FO0)个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若，求m的值．
【解析】（1）解：设抛物线的解析式为，由题意可得，
，，，
∴，，
把点A坐标代入所设解析式中得：，
解得：，
∴；
（2）解：设的解析式为：，的解析式为：，
分别将，代入得，
，，
解得：，，
∴的解析式为：，的解析式为：，
联立直线解析式与抛物线得：，
解得（舍去），
同理，解，得（舍去），
∴，，
∴E，F两点之间的距离为：；
（3）解：当时，，
解得：，
∴，
∵抛物线向右平移个单位，
∴，
当时，，
当时，，解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，（不符合题意舍去），，（不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE=EN．
方案二，抛物线型拱门的跨度ON´=8m，拱高P´E´=6m其中，点N´在x轴上，PE´⊥O´N´，O´E´=E´N´´．
要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A´B´C´D´的面积记为S2，点A´在抛物线上，边B´C´在ON´上，现知，小华已正确求出方案二中，当A´B´=3m时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S2并比较S1，S2的大小．
【解析】（1）解：由题意知，，，
方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，
令得：；
解得或，
，
，
，
．
某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA=12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，与OA交于点H，点P是抛物线的顶点，且PH=9米．如图2，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），且∠OBA=90°．在PH上有个照明灯E，经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD=6），求横梁的长．
【解析】（1）解：由题意得，
∴，
设解析式为：，
∵抛物线经过原点，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
（2）解：，
设，
由可得对称轴为直线
则由题意得，
∵，
∴，
∵，由抛物线对称性可得，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由题意得，
∴均为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
即横梁的长为．
根据以下素材，探索完成任务．
【解析】解：任务1：由题意得，，顶点为，
可设抛物线的函数表达式为，
抛物线过，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
任务2：由题意，喷泉池的半径为米，
令，则，
喷水口升高的最小值为米；
任务3：当向上平移个单位，
则，
令，，
解得：，（舍去），
米，
建议花卉的种植宽度为米．
晓飞在一次课题研究中，要对科技小组研制出的一款航模飞机的性能进行测试．
【课题研究】调节起始高度，观察飞机降落点．
【素材1】航模飞机每次飞行的线路均是抛物线形．
【素材2】第一次试飞起始高度为0m（即起飞点为点O），飞行的线路为抛物线C，降落点A到点O的距离OA为16m，以点O为原点，OA为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线C的函数表达式为．
【素材3】第二次从E处开始试飞，起始高度OE为2m（点E在y轴上），飞行的线路抛物线C´可由抛物线C向上平移得到，…
【任务解决】
（1）求抛物线C´的函数表达式；
（2）晓飞猜测第二次试飞的降落点（降落点在x轴上）到点A的距离不超过1m，请通过计算说明晓飞的猜测是否正确.
【解析】解：（1）把点，代入 得，
，
解得，
抛物线的函数表达式为，
由题可得，抛物线是由抛物线向上平移2个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（2），解得 （舍去），
，
晓飞的猜测正确．
如图，在平面直角坐标系中，某跳水运动员站在跳台上的O处进行10m跳台跳水训练，水面平行于轴，水面边缘点E的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线 经过原点、最高点A、入水点B的抛物线L1，最高点A的坐标为．
（1）求抛物线L1的函数表达式，及点B的坐标．
（2）如图，该运动员从点B入水后，经过最低点C，运动路线为另一条抛物线L2，若抛物线L1与L2开口大小相同，且BD=BE，求最低点C离水面的距离．
【解析】（1）由题意，设空中运动的抛物线解析式为，
∵抛物线经过原点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
当时，，
∴或（舍去），
∴；
（2）由题意，设另一条抛物线的解析式为，
又，，
∴，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的解析式为．
又将代入解析式得，
解得，
∴顶点C的坐标为，
∴最低点C离水面的距离为．
答：最低点C离水面的距离．
人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架DPE对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且PD∥x轴，PE∥y轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架DPE对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架DPE对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为L1、L2，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗）
【解析】（1）由题知，
将代入，得，
抛物线的顶点B的横坐标为2．
，即，
解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）方案一：抛物线的顶点B的横坐标为2．
，
将点P设在抛物线的顶点B处，
轴，轴，
，
（米）．
方案二：点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，
即当时，，
，
轴，轴，
，
（米）．
．
综上可知，方案一更省钢材．
实验中学计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式．如图，在水平地面A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门．以线段AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．设计要求：AB=20m，出水口高度AD=BE=1m，且点C到地面的距离为6m．
（1）求满足设计要求的“过水门”仪式中抛物线的函数表达式；
（2）现彩旗队“过水门”的要求：彩旗队排成6列纵队，每列队员之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面的距离保持4m．为了保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的竖直距离为0.75m．请你计算彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队的间距．
【解析】（1）解：依题意，，
设抛物线解析式为
将代入得，
解得：
∴抛物线的函数表达式为；
（2）如图所示，
由题意可知，（米），
当时，，
解得，
，，
最外侧两列彩旗队之间的距离为（米），
（米），
答：每相邻两列纵队的间距为米．
如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m．
（1）求篮球出手位置点A的高度．
（2）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由．
（3）若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中（此时乙没有反应过来，位置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．
【解析】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为：，抛物线过点，
设抛物线的表达式为：，
将代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
即点的高度为；
（2）获得成功，理由：
当时，，
故能获得成功；
（3）由题意得，新抛物线的，抛物线过点、，
则设抛物线的表达式为：，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
则，
故篮球出手位置的高度提高了．
根据以下素材，探索完成任务．
【解析】解：（1）把（0，）代入抛物线C2：y＝a（x−7）2+8得，
a（0﹣7）2+8，
解得a；
（2）由（1）知，抛物线C2：y（x−7）2+8，
当x＝11时，y（11﹣7）2+816+8＝6，
∴小雪在小山坡的落地点坐标为（11，6），
设抛物线C1的解析式为y＝m（x﹣8）2+k，
把（0，），（11，6）代入y＝m（x﹣8）2+k得，
，
解得，
∴抛物线C1的解析式为y（x﹣8）2；
（3）小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
∵跳台高度增加了米，相当于把抛物线C2向上平移了个单位长度，
∴平移后的解析式为y（x﹣7）+8，
令y＝0，则（x﹣7）+80，
解得x1＝16，x2＝﹣2（舍去），
∴小雪落地时距O点16米；
对于抛物线C1：令y＝0，则（x﹣8）20，
解得x＝17或x＝﹣1（舍去），
∵17＞16，
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上．
综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系．
（1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表：
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
（2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长；
（3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的某一跳水动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成这一跳水动作，则a的取值范围是 ．
【解析】（1）解：由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为y＝ax2+bx+c，
代入（0，10），（1，10），（1.5，6.25），
得，解得，
∴y关于x的关系式为y＝﹣5x2+5x+10；
（2）把y＝0代入y＝﹣5x2+5x+10，
得﹣5x2+5x+10＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米；
（3）①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系为y＝﹣5x2+5x+10，
整理得，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为m，即，
把h＝0代入，
得，
解得x1＝1.5，x2＝﹣1.5（不合题意，舍去），
∵1.5＜1.6，
∴运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），
得顶点为，
得，
得，
把h＝0代入，
得，
由运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，得t≥1.6，
则t2≥1.62，即，
解得．
如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水8m的M处有一棵高度是2.4m的树．距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a