数学中考二次函数综合压轴专题训练参考地区：长春市

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（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB的值始终为2；
（3）作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．
①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；
②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
【解析】解：（1）将代入，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：；
（2）过点B作于点H，则，
由题意得：，
∴，，
∴在中，；
（3）①如图，记交于点M，

由题意得，，
由，
得：对称轴为直线：
∵四边形是菱形，
∴点A、C关于对称，，
∵与此抛物线的对称轴重合，
∴，
解得：，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，则，
∴；
②记抛物线顶点为点F，把代入，得：，
∴，
∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，
当时，如图，符合题意，
当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：
过点F作于点Q，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍），
∴，
当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；
当时，如图，符合题意：
当m继续变小，直至点A与点F重合，此时，符合题意，如图：
∴；
当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：
过点F作于点Q，同上可得，
，
∴，
解得：或（舍），
当m继续变小时，仍符合题意，如图：
∴，
综上所述，m的取值范围为：或或．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2-2x-2经过点A，已知点A的横坐标为m+1，其中m>0，点B的坐标为(2m+2，0)．
（1）当m=1时，线段AB的长度为 ；
（2）当抛物线经过点B时，求m的值；
（3）该抛物线与y轴的交点为点P，当抛物线在点P和点A之间的部分（包括P、A两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为3m-1时，求m的值；
（4）作点A关于y轴的对称点=C，连接BC与y轴交于点，若抛物线与AC、OC分别交于E、F两点（不与点A重合）．当△CDE（或△CDF）的面积与四边形ABOC的面积比为1：9时，直接写出m的值．
【解析】（1）解：当时，，，
，
（2）解：将点代入，
，
解得或，
，
∴；
（3）解：当时，，
，
，
抛物线的顶点为，
，
，
当时，，
解得；
当时，，
解得或舍；
综上所述：的值为或；
（4）解：，、点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
、点关于直线对称，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
解得；
设与轴的交点为，则，
，
，
∵，
，
设，，则，，
，，，
，
，
设点到轴的距离为，
，
，
，
，
，
解得或；
综上所述：的值为或或．
如图，抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点．点P为抛物线上任意一点，其横坐标为m(m≠0)，过点P作PQ⊥y轴，点Q的横坐标为-3m．
（1）求a，b的值．
（2）当点Q在抛物线上时，求m的值．
（3）当线段PQ与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围．
（4）过点P作PM⊥x轴，点M的纵坐标为m+1，且点M与点P不重合．连接MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【解析】（1）解：把，代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式，
∴a，b的值为，；
（2）解：抛物线的对称轴是：直线，
∵轴，且点P和点Q在抛物上，
∴点P和点Q关于抛物线对称轴对称，
∴，
解得：；
∴m的值为；
（3）解：∵点P的横坐标为m，抛物线对称轴是直线，
∴点P关于对称轴的对称点的横坐标为，
∵当线段与抛物线有两个公共点时，轴，
∴在点，之间，
∵点Q的横坐标为，
∴或，
解得或；
（4）解：当时，点M在x轴下方，
当抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，则在点，之间，，解得；
当时，如图，不存在抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小，不合题意；
∴当时，点M在x轴上方，如图，此时都能满足抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小，
∴当时，点M在x轴上方，如图，
∵抛物线在内的部分对应的函数值y随x的增大而减小，
∴在的左边，点M在点上方，
∴，，
∴；
综上所述，m的取值范围为或．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c经过点A(0，-2)，其对称轴为直线x=1．点P是此抛物线上的点，其横坐标为2m，连结AP，取AP的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接AQ、PQ．
（1）求此抛物线对应的函数解析式．
（2）当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，求m的取值范围．
（3）当点P的纵坐标为1时，求点Q的坐标．
（4）当△APQ的边与x轴平行时，直接写出此抛物线在点A与点Q之间的部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点纵坐标的差．
【解析】（1）解：由题意得：，解得：，
∴该抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：∵点的横坐标为为的中点，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴的平行线交此抛物线于点，
∴点的横坐标为，
∴点、点都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的图象对应的函数值随的增大而增大；
（3）解：当点的纵坐标为1时，
∵点的横坐标为为的中点，点的横坐标为，
∴，
解得：或，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
综上，或．
（4）解：根据题意可得抛物线的函数关系式为，
故顶点坐标为，
①当轴时，点关于对称轴直线对称，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是两点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是顶点，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
②当轴时，点关于对称轴直线对称，
∴点的坐标为，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
③当轴时，点关于对称轴直线对称，
点的坐标为，点的坐标为，
∴，
解得：或0（舍去），
∴点的坐标为，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点是点，纵坐标是，
此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最低点是，纵坐标是，
故此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为；
综上，此抛物线在点与点之间的部分（包括点和点）的最高点与最低点的差为1或．
在平面直角坐标系中，抛物线y= -x2+bx+c（b，c为常数）的对称轴为直线x=1，且经过点A(-1，0)．点M、N均在抛物线上，且点M的横坐标为m，点N的横坐标为，将抛物线在M、N两点之间的部分（包含M、N两点）记为图象G．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当MN所在直线与x轴平行时，求m的值．
（3）以MN为对角线构造矩形MBNC，使矩形的边MB与x轴垂直，当矩形与抛物线的另一个交点与点M或点N的连线将该矩形的面积分成1：3两部分时，求m的值．
（4）在平面内构造△DEF，其中点D(m-2，1)，E(m-2，-2)，F(m+1，-2)，当图象G与△DEF的边有2个公共点时，直接写出m的取值范围．
【解析】（1）解：抛物线（、为常数）的对称轴为直线，
，
，
抛物线经过点，
，
，
抛物线对应的二次函数关系式为：；
（2）∵所在直线与轴平行，
∴，即：，
解得：，，
当时，，则，重合，不符合题意，舍去，
∴当所在直线与轴平行时，；
（3）当时，如图，点关于对称轴的点的横坐标为，，
即点在点关于对称轴的点的左侧，
∴在上方，则与抛物线相交，令交点为，
由轴对称可知：，
连接，由矩形的性质可知，，
∵将该矩形的面积分成两部分，
∴，
∴，即：，解得：，不符合题意；
当时，由（2）可知，轴，不存在满足题意的矩形，不符合题意；
当时，如图，点关于对称轴的点的横坐标为，，
即点在点关于对称轴的点的右侧，
∴在下方，则与抛物线相交，令交点为，
由轴对称可知：，
连接，由矩形的性质可知，，
∵将该矩形的面积分成两部分，
∴，
∴，即：，解得：，符合题意；
当时，，则在的左侧，且均在对称轴右侧，此时矩形的边与抛物线没有其他交点，不符合题意；
当时，由（2）可知，，重合，不符合题意；
当时，，则在的右侧，且均在对称轴右侧，此时矩形的边与抛物线没有其他交点，不符合题意；
当时，如图，点关于对称轴的点的横坐标为，，
即点在点关于对称轴的点的右侧，
∴在上方，则与抛物线相交，令交点为，
由轴对称可知：，
连接，由矩形的性质可知，，
∵将该矩形的面积分成两部分，
∴，
∴，即：，解得：，符合题意；
综上，当矩形与抛物线的另一个交点与点或点的连线将该矩形的面积分成两部分时，或4；
（4）∵，，，
设的解析式为，代入，，
得，解得：，
∴的解析式为，
当在上时，，解得：，
，
当时，，
则当时，点在上方，点在上方，则图象与没有公共点，
当时，
若在抛物线上且在对称轴左侧时，此时
则，解得：（正值舍去），图象与恰有1个公共点，
可知当时，在左侧，此时图象与无公共点，
若在上时，即时，，解得：（舍去），图象与恰有2个公共点，
由此可知，当时，图象与恰有2个公共点；
当时，
若在上时，即时，，解得：（舍去），图象与恰有2个公共点，
若在抛物线上且在对称轴右侧时，此时
则，解得：（舍去），图象与恰有1个公共点，
可知当时，在右侧，此时图象与无公共点，
由此可知，当时，图象与恰有2个公共点；
综上，当或时，图象与的边有2个公共点．
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y= -x2+bx+2（b是常数）经过点(2，2)．点A的坐标为(m，0)点B在该抛物线上，横坐标为1-m．其中m0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值.
【解析】解：（1）∵抛物线（b是常数）经过点
∴，解得
（2）如图，
由
则对称轴为直线，
设，则
解得
（3）点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（）．以点A为中心，构造正方形，，且轴
，且在轴上，如图，
①当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，如图，当正方形点在轴上时，此时与点重合，
的解析式为
，将代入
即
解得
观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
②当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，当经过抛物线的对称轴时，
解得，
观察图形可知，当时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大；
综上所述，m的取值范围为或
（4）①如图，设正方形与抛物线的交点分别为，当时，则
是正方形的中心，
即
②如图，当点在抛物线对称轴左侧，轴右侧时，
交点的纵坐标之差为，
的纵坐标为
的横坐标为
在抛物线上，
解得
③当在抛物线对称轴的右侧时，正方形与抛物线的交点分别为，，设直线交轴于点，如图，
则
即
设直线解析式为
则
解得
直线解析式为
联立
解得（舍去）
即的横坐标为，即，
综上所述，或或．
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2-2x-3交x轴于A、B两点（点A在点B左侧），点P、Q为抛物线y=x2-2x-3上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为4-m．
（1）求线段AB的长；
（2）当PQ=时，求m的值；
（3）当抛物线在点P和点Q之间的部分（包括点P与点Q两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为m+2时，求m的值；
（4）当点P在点B左侧时，连接PQ，过点P作y轴的垂线交该抛物线于点M，以PM、PQ为边作□PMNQ，连接OM，ON，设△OMN的面积为S1，□PMNQ的面积为S2，当时，直接写出m的值．
【解析】（1）解：令，即，
解得：，
根据题意：，
；
（2）解：点P、Q为抛物线上两点（点P与点Q不重合），点P的横坐标为m，点Q的横坐标为．
，
，
整理得：，
解得：，
m的值为1或3；
（3）解：由（2）知，
当点P在点Q上方时，，
解得：，
则，即，
解得：；
和点P在点Q下方，
同理得：，
则，即，
解得：；
综上，最高点与最低点的纵坐标之差为时，m的值为或；
（4）解：根据题意得：，
四边形是平行四边形，
，
轴，则轴，
点P与点M关于对称，
点M的横坐标为：，
，
如图，当时，，过点M作轴于点F，轴于点E，
∵，
∴点N的横坐标为：，
∴，
∵，，，，
∴
，
，
，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），（舍去），
∴此时不存在符合题意的平行四边形；
如图，当时，，过点M作轴于点F，轴于点E，
∵，
∴点N的横坐标为：，
∴
∵，，，
，
∴
，
，
，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），（舍去）
∴此时不存在符合题意的平行四边形；
当时，点P与点M重合，此时平行四边形不存在；
如图，当时，，设直线交y轴于点E，直线交y轴于点F，
∵，
∴点N的横坐标为：，
∴，，
∵，，
∴，
∴
，
，
，
∴，
整理得：，
解得：（舍去），（舍去）
∴此时不存在符合题意的平行四边形；
如图，当时，过点M作轴于点F，轴于点E，
轴，则轴，
点P与点M关于对称，
点M的横坐标为：，
，
∵，
∴点Q在点M的右侧，
∴，
点N的横坐标为：，
，
∴，
∴
，
，
，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
综上分析可知：m的值为．
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx(b是常数)经过点(-2，0)．点A在抛物线上，其横坐标为m．点B是平面直角坐标系中的一点，其坐标为(2m+1,3)．点C是抛物线的顶点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）当点B恰好落在抛物线上，且点A不与点O重合时，求线段AB的长；
（3）连结OA、OC、AC，当OAC是钝角三角形时，求m的取值范围；
（4）当m≤-3时，连结BA并延长交抛物线的对称轴于点D，过点A作直线x=4的垂线，垂足为点E，连结BC、CE、ED．当折线CE-ED与抛物线有两个交点（不包括点C）时，设这两个交点分别为点F、点G，当四边形DACF（或四边形DACG的面积是四边形DBCE的面积的一半时，直接写出所有满足条件的m的值．
【解析】（1）解： 抛物线是常数）经过点，
，
解得：，
该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：点恰好落在抛物线上，
，
解得：或0，
点不与点重合，
，
，
，，
；
（3）解：，
，又，
当，且时，如图，过点作轴于，设抛物线对称轴交轴于，
则，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，即，
解得：（舍去）或或（舍去），
当时，，即是钝角三角形；
当时，如图，
，，
，
即和均为等腰直角三角形，
，
，
，
当时，，即是钝角三角形；
当时，时，即是钝角三角形；
当时，，即是钝角三角形；
综上所述，当是钝角三角形时，的取值范围为或或或；
（4）解：，
点在平行于轴的直线上，且距轴3个单位长度；
如图，设交抛物线对称轴于点，交抛物线对称轴于点，直线记为，
，，，
，，，
，
；
，，
，即点是的中点，
由中点坐标得：，
；
①当四边形的面积是四边形的面积的一半时，
，
，即点是的中点，
，
由中点公式得；
点在抛物线的图象上，
，
解得：，，
由于，则；
②当四边形的面积是四边形的面积的一半时，
，
，
，即点是的中点，
由中点公式得，
点在抛物线的图象上，
，
解得：，，
由于，则；
综上所述，当四边形（或四边形的面积是四边形的面积的一半时，的值为或．
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在抛物线上．设点P的横坐标为m，记抛物线对称轴与x轴的交点为 D．
（1）求点D的坐标；
（2）若m≤x≤1时，，则m的取值范围为 ；
（3）点M的横坐标为-3m，且PM∥x轴，将线段PM的中点绕点P逆时针旋转 90°得到点Q， 以PM、PQ为邻边作矩形PMNQ．
①当点N落在抛物线时，求PM的长；
②设矩形PMNQ的对称中心为点 R，当点R位于抛物线的对称轴右侧时，连接DR，当DR垂直于矩形PMNQ的一条对角线时，直接写出m的值．
【解析】（1）解：，
则，抛物线的对称轴为，
∴点的坐标为；
（2），
对称轴为直线，顶点为，
令，解得：，，
画图如下：

∵若时，，
∴由图可知：，
（3）①设点的横坐标为，则纵坐标为，
∵点的横坐标为，且轴，
∴，则，
则线段的中点的坐标为，即，
，
∵时，矩形不存在，
故，
将线段的中点绕点逆时针旋转得到点，
则点的坐标为：，即，
∴点的坐标为，
∵点落在抛物线上，
∴，解得：，
此时；
②∵，，，，
∴矩形的对称中心点的坐标为：，
即：，
∵点位于抛物线的对称轴右侧，
∴，
∴，且，
，
，
，
当时，，
则，
解得： ，，（舍去），
当时，，
则，得（舍去）；
综上，当 垂直于矩形的一条对角线时，或．
在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx（b为常数）经过点M(5，5)．点P在抛物线上，且横坐标为m，点Q的坐标为(m-2，m)，连接PQ、QM．
（1）求该抛物线对应的函数表达式．
（2）连接PM，当PM⊥y轴时，求m的值．
（3）以线段PQ、QM为邻边构造□PQMN，
①边PN的长的最小值为________，此时□PQMN的面积为________．
②当m1时，求m的取值范围；
（4）已知点M(m，m-3)，点N(m-1，m-4)，以MP、MN为邻边作□PMNQ．当抛物线在□PMNQ内部的部分的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减少时，抛物线与□PMNQ的边的交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
【解析】（1）解：抛物线经过点，
，解得：，
该抛物线对应的函数表达式为．
（2），
对称轴为直线，顶点坐标为，，，
当时，，
解得，
当时，，
解得： 舍去， ；
综上所述，的值为或；
（3）如图，设与轴交于点，
当时，，不符合题意，
当时，有，
，
，
，即，
解得或 或 (舍)，
综上，当为锐角，且时，的取值范围或；
（4）当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而减小，与抛物线相交时，如图，
则，
解得：；
当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而减小，与抛物线相交时，
则，
解得：或 舍去，
；
当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而增大，与抛物线相交时，如图，
则，
解得：；
当抛物线在内部的部分的函数值随的增大而增大，与抛物线相交时，如图，
联立得：，
解得：舍去或，
，
则，
解得：舍去或；
综上所述，的值为或或或．
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点．点P在这条抛物线上，其横坐标为m．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将抛物线上点A、P之间的部分（包括A、P两点）记为G．
①当m=2时，求G上最高点与最低点的纵坐标之差；
②当G上最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的取值范围；
（3）已知△BCD的顶点坐标分别为B(1，0）、C(3，0)、D(3，)，当点P在x轴上方时，若点P到直线BC的距离与到直线BD的距离之和等于，请直接写出m的值．
【解析】（1）解：把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①把代入得：，
∴当时，，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵抛物线上点之间的部分（包括两点）记为，
∴G上的点的横坐标x满足，
∴G上最高点的纵坐标为是，G上最低点的纵坐标为是，
∴上最高点与最低点的纵坐标之差为；
②当时，即点P在A的左侧时，
∵G上最高点与最低点的纵坐标之差为，，
∴，
把代入得：，
解得：（舍去）或；
当时，即点P在A的右侧时，
∵抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，，且，
∴点P在对称轴上或对称轴的右侧，
∵点关于抛物线对称轴直线的对称点为，
∴；
综上分析可知：或；
（3）解：连接，过点P作轴于点H，交直线于点K，过点P作于点G，即点P在对称轴的左侧时，如图所示：
∵，
∴，，，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到直线的距离与到直线的距离之和等于，
∴，
∴，
解得：（此时点P不在对称轴的左侧，舍去）或；
当时，连接，过点P作轴于点H，交直线于点K，过点P作于点G，即点P在对称轴的右侧时，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点到直线的距离与到直线的距离之和等于，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
综上分析可知：或．
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx经过点(4，0)，点A、B为该抛物线上两点，点A的横坐标为m，点B的横坐标为m-1．当点A不与该抛物线的顶点重合时，过点A作y轴的垂线交该抛物线于点C，以AB、AC为边作□ABDC，设□ABDC的面积为S．
（1）求抛物线y=x2+bx的函数表达式；
（2）当m=时，求tan∠OCA的值；
（3）当抛物线＝y=x2+bx的对称轴将□ABDC分成两部分图形的面积比为1：3时，求S的值；
（4）连接OA、OB、OC、OD，当与△OCD的面积和为时，直接写出m的取值范围．
【解析】（1）解：将点代入解析式＝得：，
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵
∴抛物线对称轴为直线，
当时，，
∵轴。
∴点的横坐标为
∴
∴
（3）解：∵抛物线＝的对称轴将分成两部分图形的面积比为，
又∵关于直线对称，
∴对称轴经过平行四边形的顶点，
①如图①所示，当点落在对称轴直线上时，
∵
∴
∴
∴,
∴

②当点落在对称轴直线上时，，
∴
∴,，
∴，
综上，的值为或；
（4）解：①如图所示，当点在轴上方时且在对称轴的左侧， 设直线交轴于点，交轴于点，

∵点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，即，
∴的纵坐标之差为
∵关于对称轴，
∴
∴；
设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
依题意，与的面积和为，
令，解得：，
∴
∴
∵，
即将直线平移个单位，
当
∴直线的解析式为
当时，解得：
∴，则
∴
∴与的面积和为
由，
∴时，与的面积和为；
当点与点重合时，不存在，
∴时，与的面积和为；
②当在对称轴的右侧时，同理可得与的面积和为，此时

③当点在轴下方时，且点在对称轴左边时，如图所示，此时，即

∵直线的解析式为
∴
∴
∵，
即将直线平移个单位，
当
∴直线的解析式为
，
当时，解得：
∴，则，
∴，
，
∴与的面积和为，
由
与的面积和为，
当在负半轴时，此时，则与的面积和不为，
∴当时，
解得：或（舍去）
∴；
④当在对称轴的右侧，且在轴下方时，如图所示，

点在直线的外侧，平行四边形外部，不存在与的面积和为，
综上，
在平面直角坐标系中，抛物线y= -x2+bx+3的对称轴为直线x=1，点P、Q都是该抛物线上的点，P、Q的横坐标分别为m，4-m，当点P、Q不重合时，连结PQ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当PQ=时，求点P的坐标；
（3）当线段PQ与对称轴为x=1相交时，设其交点为M，当M不与P或Q重合时，以MQ为一边构造矩形MQGN，其中MN=MP，同时使得点Q、G、N在x=1的同侧．
①当抛物线在矩形MQGN的内部任意一点的纵坐标恒为负数时，求m的取值范围；
②当矩形MQGN被x轴分为面积相等的两部分时，直接写出m的值．
【解析】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵、的横坐标分别为，，
∴的中点坐标的横坐标为，设中点为，如图所示，
过点作于点，连接，则
∴，
∵
∴的纵坐标分别为
∴的纵坐标为
∴
∴
∴
依题意，
∴
∴
即
解得：，当时，
∴，
则，
∵,，
∴，
∵关于对称，
设，则
解得：，
∴
当在时，符合题意，
∴点的坐标为或；
（3）解：如图所示，当在的左边时，
当点在轴上时，过点作于点，连接，则，设交轴于点，则，
同（2）可得，即，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴
∴，
解得：（舍去）或
所以当点在轴的下方时，则；
当在的右侧时，如图所示，
同理可得，与轴的夹角的正切为，则
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则
又∵
∴
解得：（舍去）或
所以当点在轴的下方时，则；
综上所述或，
②当在的左侧时，设为矩形对角线的交点，当在轴上时符合题意，
如图所示，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，

∴
又∵
∴
由（2）可得的纵坐标分别为，
则
由①可得，
∵
∴
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵在轴上，
∴，
解得：（舍去），
当在的右侧时，如图所示，
∵，
则，
∴，
∴，即
同理可得
则
∴的纵坐标为
∵在轴上，
∴
解得：，（舍去）
综上所述，或．