数学中考新定义题阅读理解专题训练 参考地区：兰州市第28题

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（1）如图1，已知图形W1：线段AB，A(2,4)，B(2，2)，在P1(-,1），P2(-1，-1），P3(-1，-2）中，______是图形W1的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形W2：线段BC，B(2，2)，C(5，2)，若直线MN：y=-x+b上存在点P是图形W2的“延长2分点”，求b的最小值：
（3）如图3，已知图形W3：以T(t,1)为圆心，半径为1的⊙T，若以D(-1，-2），E(-1，1），F(2，1）为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W3的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
【解析】解：作线段以原点为位似中心，位似比为位似图形，
∵，，
∴，，
∵点是图形的“延长2分点”，
∴点在线段上，
∵线段上，
∴是图形“延长2分点”；
故答案为：；
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图，
∵，，
∴，，
∵直线上存在点P是图形的“延长2分点”，
∴直线与有交点，
∴当过点时，值最小，
把，代入，得：，
∴的最小值为；
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，
∵，，，
∴，，，
∵等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”，
∴当与有交点时，满足题意，
当与相切时，如图，则：或，
∴时，满足题意；
当与相切时，且切点为，连接，则：，

∵为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，
∵，，，
∴轴，
∴，
∵以为圆心，半径为1的，
∴点在直线上，，
∴，
∴，
∴或，
∴；
综上：或．
在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．
例如：如图1，已知点A(1，2)，B(3，2)，P(2，2)在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

（1）如图2，已知点A(1，0)，B(3，0)，P是线段AB上一点，直线EF过G(-1，0)，T两点，当点P是直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；
（2）如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BC⊥y轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC=，点P是△ABC上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”．当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；
（3）如图4，以A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：
y=-x+b的“伴随点”．请直接写出b的取值范围．
【解析】（1）解：如图所示，过点作于点，

∵，，则，点是直线的“伴随点”时，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当到轴的距离最小时，
∴点在线段上，
设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的“伴随点”．且点到轴的距离最小，

则的纵坐标为，即，
∵是等边三角形，且轴，设交于点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴等边三角形的边长为；
（3）解：由题意知，正方形的边长为1，所以正方形上任意两点距离的最大值为,即正方形上始终存在点P，P到的距离为.则向上或者向下平移2个单位长度得到直线
∵与平行，且两直线间的距离为，
∴P既在上，又在正方形的边上，
∴与正方形有交点.
当时，为，
当过A时，，即,
当过C时，，即;
∴；
当时，为，
当过A时，，即,
当过C时，，即;
∴；
综上，当或时，正方形上始终存在点，使得点是直线：的“伴随点”．
在平面内，C为线段AB外的一点，若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，则称C为线段AB的直角点．特别地，当该三角形是以AB为斜边的等腰直角三角形时，则称C为线段AB的等腰直角点．
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标是(4，0)，在点P1(0，-1)，P2(5，1)，P3(2，2)中，线段OM的直角点是______；
（2）在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(1，4)，(1，-6)，直线l：y=-x+7．
①如图2，C是直线l上一个动点，若C是线段AB的直角点，求点C的坐标；
②P是直线l上一个动点，将所有线段AP的等腰直角点称为直线l关于点A的伴随点．若半径为r的⊙O上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点，直接写出r的值．
【解析】（1）解：由题意知，，，，
，，，
∵，，，
∴，，
故答案为：，．
（2）①解：如图2，作，，，分别与直线交于点，作于，
由题意知，
将代入中得，，
解得，
∴，
，同理可得，
设，则，，，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
整理得，
解得，，
经检验，，，均为原方程的解，
∴的坐标为或，
综上所述，点的坐标为或 或 或 ．
②解：如图3，以为对角线，作正方形，过作轴，作于，于，过作轴，作于，于，
设，
∵，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
设，则，，
则，，
解得，，
∴，即在直线上运动，如图3所示，
同理，即在直线上运动，如图3所示，
与的交点坐标为
∴当圆与直线相切时，上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点，此时；
当圆过直线与的交点时，上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点，此时；
综上所述，上恰有3个点是直线l关于点A的伴随点时，r的值为5或．
在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使PM=2PN，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”．例如：如图1，已知图形W：△ABC，A(0，2)，B(-1，0)，C(1，0)；点P(0，-1）到△ABC上的点的最小距离为PO=1，到△ABC上的点的最大距离为PA=3，则PA>2PO．因此在△ABC上存在点M，N，使得PM=2PN，则点P是△ABC的一个“2倍关联点”．
(1)如图2，已知A(0，1)，B(2，1)．
①判断点P1(2，-1）______线段AB的一个“2倍关联点”；（填“是”或“不是”）
②若点P2(1，m)是线段AB的“2倍关联点”，求m的最小值；
(2)如图3，⊙O的圆心为原点，半径为1，若在直线l：y=x+b上存在点Q是⊙O的．“2倍关联点”，求b的取值范围．
【解析】（1）解：①不是，
由题意得：，
，
∵点到线段的最小距离为，最大距离为，且，
∴点不是线段AB的一个“2倍关联点”．
②如下图，过点P作于点C．
当时，点是线段的“2倍关联点”，此时m的值最小．
∵在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得：
∴点m的最小值为．
（2）如下图，交y轴于．
①当直线I在的左上方时，记为直线，
过圆心O作于点Q，
若是直线上的唯一“2倍关联点”，
此时．
∵的半径为1，
∴
∴．
∵直线，
∴，．
∴，
∴
∴在中，
，．
②当直线l在的右下方时，记为直线，
过圆心O作于点 ．同①的方法求得．
综上，b的取值范围是．
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且r≤PQ≤3r，则称点P为⊙M的称心点．

（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点A(0，1)，B(2，0)，C(3，4)中，⊙O的称心点是 ；
②如图2，点D在直线上，若点D是⊙O的称心点，求点D的横坐标m的取值范围；
（2）⊙T的圆心为T(0，t)，半径为2，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙T的称心点，直接写出t的取值范围．
【解析】（1）解：①∵，
∴点A关于点O的对称点为，
∴，
∵的半径为2，
∴点A是的称心点，
∵，
∴点B关于点O的对称点为，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴点B是的称心点，
∵，
∴点C关于点O的对称点为，
∴，
∴点C不是的称心点，
故答案为：点A，B；
②∵点D在直线上，且点D的横坐标为m，
∴D的坐标为，
∴点D关于点O的对称点的坐标为，
∴，
∵点D是的称心点，且的半径为2，
∴，
∴或，
∴点D的横坐标m的取值范围是或；
（2）如图，
对于直线，令，∴，
∴，∴，
令，∴， ∴，
∴，∴，
在中，，
∴，
过y轴上一点H作直线的垂线交线段于G，

∵线段上的所有点都是的称心点，且的半径为2，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当点T从H向下移动时，越来越长，直到点G和E重合，取最大值，
∵线段上的所有点都是的称心点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点T从点H向上移动时，点T在上时，T到的距离小于2，此种情况不符合题意，
当点T从点F向上移动时，，
即：，
∵线段上的所有点都是的称心点，
∴，
∴，
∴，
且t的取值范围是或．
在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a，b)及两个图形W1和W2，若对于图形W1上任意一点P(x，y)，在图形W2上总存在点P´(x´，y´)，使得点P´是线段PM的中点，则称点P´是点P关于点M的关联点，图形W2是图形W1关于点M的关联图形，此时三个点的坐标满足．

（1）点P´(-2，2)是点P关于原点O的关联点，则点P的坐标是 ；
（2）已知，点A(-4，1)，B(-4，1)，C(-2，-1)，D(-4，-1)以及点M(3，0)
①画出正方形ABCD关于点M的关联图形；
②在y轴上是否存在点N，使得正方形ABCD关于点N的关联图形恰好被直线y=-x分成面积相等的两部分？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】（1）解：点是点关于原点的关联点，
点是线段的中点，
点的坐标是；
故答案为：；
（2）解：①如图1，连接，并取中点；

同理，画出、、；
正方形为所求作．
②如图2，设．

正方形关于点的关联图形恰好被直线分成面积相等的两部分，
关联图形的中心落在直线上，
正方形的中心为，
，，
代入得：，
解得：．
在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．
（1）已知点N(2，0)，在点M1，M2，M3(2，3)中，对线段ON的可视度为60°的点是________．
（2）如图2，已知点A(-2，2)，B(-2，-2)，C(2，-2)，D(2，2)，E(0，4)．
①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为________；
②已知点F(a，4)，若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值；
③直线y=-x+b与x轴、轴分别交于点S、T，若线段ST上存在点G，使得点G对四边形ABCD的可视度不小于45°，则b的取值范围是________．
【解析】（1）解：如图，连接，，，，，，过点作轴，垂足为点，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点对线段的可视度为，
∵，
∴，
∴，
∴点对线段的可视度为，
∵，
∴，
∴点对线段的可视度不是，
∴，对线段的可视度为，
故答案为：，．
（2）解：①如图，连接，，则的度数即为点对四边形的可视度，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴点对四边形的可视度为，
故答案为：；
②题意可知，四边形是正方形，点在直线上．
如图所示，点对正方形的可视度为，
当点是以点为圆心，为半径的圆和直线的交点时，过点作于点，则有，，
可得，
∴，
当点是以点为圆心，为半径的圆和直线的交点时，同理可得∶，
综上，的值为或．
③根据①②可知，当点在以点为圆心，为半径的圆上或以点为圆心，为半径的圆上的优弧部分时，恰好使得点对四边形的可视度为，
∴分别以、、、为圆心，为半径作圆，以、、、为圆心，为半径作圆，连接，且过点，
∴当与所作圆有交点时，符合点对四边形的可视度不小于，
∴当为直线时，有最大值，当为直线时，有最小值，
∵，
∴令，；令，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵与相切，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，同理可得，
∵当时，在四边形内部，不满足条件，
∴或，
故答案为：或．
在平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：如果图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤1，那么称点P为图形M的和谐点．已知点A(3，3)，B(-3，3)．
（1）在点P1(-2，2)，P2(0，3.5)，P3(4，0)中，直线AB的和谐点是______；
（2）点P在直线y=x-1上，如果点P是直线AB的和谐点，求点P的横坐标x的取值范围；
（3）已知点C(-3，-3)，D(3，-3)，如果直线y=x+b上存在正方形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是正方形ABCD的和谐点，且EF>，直接写出b的取值范围．
【解析】(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知：
到AB的最短距离为1，根据和谐点的定义图形上存在点，使得，点P1是直线的和谐点；
到到AB的最短距离为0.5，根据和谐点的定义图形上存在点，使得，点P2是直线的和谐点；；
到AB的最短距离为3，根据和谐点的定义图形上不存在点，使得，故点P3不是直线的和谐点；
在点，，中，直线的和谐点是点，；
故答案为：点，；
(2)如图过点P作PQ⊥AB于Q，0≤PQ≤1，
设P点的纵坐标为y，
根据题意|y-3|≤1，
解得：2≤y≤4，
∵，
∴2≤≤4，
解得，
点的横坐标的取值范围是；
(3)如下图所示：
过（0，4）作平行AB的直线，过（-4,0）作BC的平行线，过（0,-4）作CD的平行线，过（4，0）作AD的平行线，分别交于GHJK，则四边形GHJK为正方形，
直线y=x+b与GH-HJ交于E，与GK-KJ交于F，
在梯形E1F1LU和梯形SVE2F2上及其内部所有点都是正方形的和谐点，
∵，
取GK上点F1（-3，4），GH上点E1（-4，3），
此时E1F1=，直线y=x+b过点F1时是b的最大值，
∴-3+b=4，b=7，
当直线y=x+b过点L（3，4）时，
3+b=4，b=1，
当直线y=x+b在E1F1与LU之间运动时，
当直线过点S时，
4+b=3，b=-1，
取HJ上点E2（3，-4），KJ上取F2（4，-3），
此时E2F2=，
当直线y=x+b过点F2时是b的最小值，
4+b=-3，
∴b=-7，
当直线y=x+b在SV与E2F2之间运动时，b的范围是-7，
故b的取值范围为：1≤b＜7或-7＜b≤-1．
平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”．对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．
（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1，0)，点C(2，1)，
①下列四个点P1(0，1)，P2(2，2)，P3，P4中，与点A是“中心轴对称”的是 ；
②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标xE的取值范围；
（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(-2，2)，H(2，2)，J(2，-2)，K(-2，-2)，一次函数图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．
【解析】解：解：（1）如图1中，
∵，，，
∴，与点是“中心轴对称”的．
故答案为，；
②如图2中，
以为圆心，为半径画弧交射线于，以为圆心，为半径画弧交射线于．
易知，，，，
观察图象可知满足条件的点的横坐标的取值范围：；
（2）如图3中，设交轴于．
当一次函数与圆心为，半径为的圆相切时，，
当一次函数经过点时，．
观察图象结合图形和图形是“中心轴对称”的定义可知，当时，线段与四边形是“中心轴对称”的；
根据对称性可知：当时，线段与四边形是“中心轴对称”的．
综上所述，满足条件的的取值范围：或．
在平面直角坐标系xOy中，存在一个图形W，P为图形m上任意一点，线段PO（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转90°得到线段PO´，延长PO´至点Q，使得PQ=2OP．若点M在线段PQ上（点M可与线段PQ端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”．

已知点A(90,1)，点B(0，2)．
（1）M1(1，1)，M2(3，1)，M3(1，2)，M4(1，4)中，是线段AB的“二倍点”的是__________；
（2）直线y=k(x-1)(k≠0)上存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围；
（3）⊙A的半径为1，M是⊙A的“二倍点”，直线y=x+4，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段CD上（N可与线段CD端点重合），当点N在线段CD上运动时，直接写出线段MN的最大值和最小值．
【解析】（1）如图：

、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
在，，，中，，是线段的“二倍点”，
（2）如图：

、，
线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，
直线过定点，
当直线过时，
，解得，
当过时，，，
观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或；
（3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图：

，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部，
过作于，交于，如图：

此时最小，
由得，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
线段的最小值为；
连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图：

在中，
，
；
线段的最大值为．
综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为
对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在点Q，使得OQ=kOP，k为正数，则称点P为图形M的k倍等距点．已知点A(－2，2)，B(2，2)．
（1）在点C(1，0)，D(0，-2)，E(1，1)中，线段AB的2倍等距点是 ；
（2）画出线段AB的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；
（3）已知直线y=－x+b与x轴，y轴的交点分别为点F， G，若线段FG上存在线段AB的2倍等距点，直接写出b的取值范围．
【解析】（1）设为线段上一点，
则由图可知，的取值范围是，
，，，
，，，
设线段的倍等距点为，
则，
，
点和点为线段的倍等距点；
故答案为：点和点；
（2）由（1）知，，
线段的所有倍等距点形成的图形如图所示，
由图可知，该图形是环形，
由等距点围成图形的面积；
（3）直线y＝−x＋b由直线y＝−x平移得到，与坐标轴成45°角．
如图，当b＜0时，直线过点（−1，−1）时，b的值最小，由−1＝−（−1）＋b得，b＝−2；当直线过点（0，−1）时，b＝−1，
∴−2≤b≤−1．
当b＞0时，直线过 点（0，1）时，b＝1；直线过点（1，1）时，b的值最大，由1＝−1＋b得，b＝2．
综上所述，−2≤b≤−1或1≤b≤2．
的取值范围是或．
在平面直角坐标系xOy中，点P为一定点，点P和图形W的“旋转中点”定义如下：点Q是图形W上任意一点，将点Q绕原点顺时针旋转90°，得到点Q´，点M为线段PQ´的中点，则称点M为点P关于图形W的“旋转中点”．
（1）如图1，已知点A(0，4)，B(-2，0)，C(0，2)，
①在点H(0，3)，G(1，1)，N(2，2)中，点 是点A关于线段BC的“旋转中点”；
②求点A关于线段BC的“旋转中点”的横坐标m的取值范围；
（2）已知E(2，0)，F(0，2)，G(4，0)，点D(t，0)，且⊙D的半径为2．若△OEF的内部（不包括边界）存在点G关于⊙D的“旋转中点”，求出t的取值范围．
【解析】解：（1）①假设点为点A关于线段的“旋转中点”， ，
则点为线段的中点，
即，
解得，即，
将绕原点逆时针旋转得到点，可得点的坐标为，此时点在线段上，符合题意；
假设点为点A关于线段的“旋转中点”， ，
则点为线段的中点，
即，
解得，即，
将绕原点逆时针旋转得到点，可得点的坐标为，此时点不在线段上，不符合题意；
假设点为点A关于线段的“旋转中点”， ，
则点为线段的中点，
即，解得，即，
将绕原点逆时针旋转得到点，可得点的坐标为，此时点不在线段上，不符合题意；
综上所得，点为点A关于线段的“旋转中点”，
②设点A关于线段的“旋转中点”的坐标为，，
则点为线段的中点，
即，
解得即，
将逆时针旋转得到点，可得点的坐标为，
由题意可知点在线段上，
即，
解得；
（2）设的内部（不包括边界）存在点G关于⊙D的“旋转中点”，为，，
则点为线段的中点，
即，解得即，
将逆时针旋转得到点，可得点的坐标为，
由题意可知点在⊙D上，
即，解得，
∴0≤2n+t≤2或-2≤2n+t≤0，
∴或，
设EF解析式为把坐标代入得，
，
解得，
∴EF解析式为，
由题意可得：点在的内部（不包括边界），
∴，
∴0＜n＜2，
又∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
，
∴t的取值范围或．