第六章 变量之间的关系 单元整体教案-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

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第六章　变量之间的关系6．1　现实中的变量了解常量与变量的含义并能分清实例中的常量与变量，了解自变量和因变量的关系．重点了解常量与变量的含义并能分清实例中的常量与变量．难点了解自变量和因变量的关系．一、导入新课汽车刹车时，其制动装置开始发挥作用的瞬间车速称为制动初速度；汽车从开始制动到完全停止所驶过的距离称为制动距离．(1)这个情境中有哪些量？(2)随着车辆制动初速度的变化，其他量会发生变化吗？(3)下表呈现了一辆汽车在某种路面情况下的部分刹车试验数据，你能描述制动距离随制动初速度的变化而变化的情况吗？　　二、探究新知探究点：变量与常量1．某海域海水的压强p(单位：Pa)与水深h(单位：m)之间的关系满足：p＝9.8ρh(其中ρ为海水的密度，通常为1.03×103 kg/m3)(1)这个情境中有哪些量？(2)随着水深h的变化，其他都会发生变化吗？2．如图反映了一个蔬菜大棚某日18：00到次日18：00棚内温度和棚外温度的变化情况．(1)这个情境中有哪些量？(2)你能描述这个蔬菜大棚棚内温度随时间的变化而变化的情况吗？棚外温度呢？(3)你还有哪些发现？与同伴进行交流．归纳：上面情境中有许多变化的量，如制动距离、制动初速度、海水的压强、水深、棚内温度、棚外温度、时间等，它们都是变量．其中，制动距离随制动初速度的变化而变化，海水的压强随水深的变化而变化，棚内温度、棚外温度随时间的变化而变化，制动初速度、水深、时间称为自变量，制动距离、海水的压强、棚内温度、棚外温度称为因变量．一定海域内，压强随水深变化而变化的过程中，海水的密度保持不变．像这种在变化过程中数值始终不变的量称为常量．三、课堂练习1．写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：(1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n＝6t；(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式s＝40t.解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．2．A，B两地相距50千米，明明以每小时5千米的速度由A地到B地，若他距B地的距离为y，到达时间为x.请你写出在这个变化过程中的自变量和因变量．解析：因为这个变化过程中，他距B地的距离y随时间的变化而变化，所以自变量是时间x，因变量是他距B地的距离y.四、课堂小结1．常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量．2．区分自变量和因变量：在判断自变量和因变量时，要分清哪个量是主动变化的，哪个量是被动变化的，主动变化的量是自变量，被动变化的量是因变量．五、课后作业完成本节课对应练习．自变量和因变量是用来描述我们所熟悉的变化的事物以及自然界中出现的一些变化现象的两个重要的量，对于我们所熟悉的变化，在用了这两个量的描述之后更加鲜明．本节是学好本章的基础，教学中立足于学生的认知基础，激发学生的认知冲突，提升学生的认知水平，使学生在原有的知识基础上迅速迁移到新知上来．6．2　用表格表示变量之间的关系能从表格中获得变量间的关系信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步预测．重点能从表格中发现变量之间的变化关系，并能用自己的语言描述出来．难点理解两个变量之间的关系．一、导入新课你知道自己的反应时间是多少吗？测试者将一根较长的直尺零刻度朝下，悬在被测试者的大拇指和食指之间，被测试者两个手指间距约3 cm，与直尺的零刻度保持在同一水平面上．测试者突然放开直尺，被测试者迅速用手指夹住，手指所夹处的直尺刻度就是被测试者的反应距离，不同的反应距离对应不同的反应时间，下表呈现了部分反应距离及对应的反应时间：　　(1)当反应距离为10 cm时，反应时间是多少？(2)反应距离越大的人，其反应时间有什么特点？(3)反应距离每增加1 cm，反应时间的变化情况相同吗？(4)小明和同桌试验测得的反应距离分别为9.5 cm，18 cm，你能估计他们的反应时间吗？你是怎样估计的？(5)请你和同桌一起做一做上面的游戏，估计自己的反应时间．二、合作探究探究点：用表格表示数量间的关系2016－2022年我国国内生产总值(GDP)的变化情况如下(精确到1万亿元)：　　(1)如果用x表示时间，y表示我国国内生产总值，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？(2)2016－2022年我国国内生产总值是怎样变化的？(3)根据表格，预测2030年我国国内生产总值．借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况．归纳：通过两个例子，理解变量、自变量、因变量、常量这些概念，同时体会表格对于数据的整理和呈现起到的作用．对于解决日常生活中变化的事物很有帮助．三、课堂练习1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：　　下列说法不正确的是(　　)A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．所挂物体质量为4 kg时，弹簧长度为12 cmC．弹簧不挂重物时的长度为0 cmD．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm2．某电动车厂2024年各月份生产电动车的数量情况如下表：　　(1)为什么称电动车的月产量y为因变量？它是谁的因变量？(2)哪个月份电动车的产量最高？哪个月份电动车的产量最低？(3)哪两个月份之间产量相差最大？根据这两个月的产量，电动车厂的厂长应该怎么做？3．完成教材第151页第2题．四、课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获，还有哪些困惑？五、课后作业完成本节课对应练习．本节内容主要是用表格表示两个变量之间的关系，学生在活动中，可以从数值对应的角度初步感受到自变量、因变量之间的对应思想，他们在合作交流中探究，在探究中总结，获到了较好的教学效果．6.3　用关系式表示变量之间的关系1．让学生理解变量间的关系，并学会在具体的情境中列出表示变量关系的关系式；2．培养学会运用数学知识解决实际问题的能力．重点能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式．难点理解关系式的推导过程．一、导入新课指出下列实例中的自变量与因变量：(1)气温随高度变化的过程．自变量是：________因变量是：________(2)蜡烛在燃烧的过程中，剩余蜡烛的长度随燃烧时间的变化而变化．自变量是：________因变量是：________(3)在圆的周长公式C＝2πr中，随着r的变大，C也变大．自变量是：________因变量是：________二、探究新知探究点：用关系式表示变量间关系如图，△ABC底边BC上的高是6 cm.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的？(2)如果三角形的底边长为x(单位cm)，那么三角形的面积y(单位：cm2)如何表示？(3)在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗？和同伴进行交流．归纳：y＝3x表示了图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式．关系式是我们表示变量之间关系的一种常用方法．如图，利用关系式(如y＝3x)，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．出示问题，组织学生分组讨论1．如图所示，圆锥的高是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化．(1)在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________．底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？(2)如果圆锥底面半径为r(cm)，那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系式是________．(3)当底面半径由1 cm变化到10 cm时，圆锥的体积由________cm3变化到________cm3.在这个变化过程中，取定一个底面半径r的值，体积V的值能确定吗？三、课堂练习1．一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：　　写出用t表示s的关系式：________．2．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是(　　)A.y＝4n－4B．y＝4nC．y＝4n＋4D．y＝n23．你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们尽量减少所耗能量从而降低碳(特别是二氧化碳)的排放量的一种生活方式．一些常见的二氧化碳排放量计算公式如下表所示　　(1)你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗？其中的字母表示什么？(2)随着耗电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的？与同伴进行交流．(3)当耗电量为100 kW·h时，二氧化碳的排放量为多少？(4)小明家本月大约用电110 kW·h，耗油75 L，天然气20 m3，自来水5 m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量．四、课堂小结1．用关系式表示变量间关系．2．表格和关系式的区别与联系：表格能直接得到某些具体的对应值，但不能直接反映变量的整体变化情况；用关系式表示变量之间的关系简单明了，便于计算分析，能方便求出自变量为任意一个值时，相对应的因变量的值，但变量间的对应关系不太直观。二者的联系是：利用表格可以写出关系式，利用关系式可以列出表格．五、课后作业完成本节课对应练习．本节课的内容是建立在学生已理解了变量、自变量、因变量的意义，并体会到因变量是随自变量变化而变化的基础上安排的，课堂通过对三角形的底边的变化引起三角形面积的变化进行探究，得出运用关系式可以描述自变量和因变量具体变化的情况，为下一环节的学习作好铺垫．整个教学过程同学们积极参与，课堂气氛活跃，达到了预期的目的．6．4　用图象表示变量之间的关系第1课时　曲线型图象1．能从图象中分析变量之间的关系，明确图象上点所表示的意义；2．能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息．重点理解图象上的点所表示的意义，并能从图象中获取变量之间的关系．难点能从图象中获取变量之间的关系，并能用语言进行描述．一、导入新课观察下图，你能从中获取怎样的信息？二、探究新知探究点：用曲线型图象表示变量间关系气温的变化是人们经常谈论的话题．请你根据下图，与同伴讨论某地某天气温变化的情况．(1)你能描述该地这一天气温的变化情况吗？在什么时间范围内气温下降，什么时间范围内气温上升？(2)该地这一天的最低气温是多少，是在何时达到的？最高气温呢？这一天的温差是多少？(3)图中的A点表示什么？B点呢？(4)你预测该地这一天次日凌晨1：00的气温是多少？说说你的理由．归纳总结在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量．思考：下图呈现了某年某地日出、日落的情况．观察图象，回答下列问题(1)你能描述这一年此地日出和日落的变化情况吗？(2)这一年日出时间最早大约是什么时候？最晚呢？日落时间呢？三、课堂练习1．水滴进玻璃容器如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的，请选择分别与A，B，C，D匹配的图象(　　)A．(3)(2)(4)(1)　　　B．(2)(3)(1)(4)C．(2)(3)(4)(1) D．(3)(2)(1)(4)2．如图所示是某市夏天的温度随时间变化的图象，通过观察可知，下列说法中错误的是(　　)A．这天15时温度最高B．这天3时温度最低C．这天最高温度与最低温度的差是13 ℃D．这天0～3时，15～24时温度在下降四、课堂小结1．用曲线型图象表示变量间关系．2．从曲线型图象中获取变量信息．五、课后作业完成本节课对应练习．图象法能直观形象地表示因变量随自变量变化的变化趋势，可通过图象来研究变量的某些性质，这也是数形结合的优点，但是它也存在观察不够准确，画面局限性大的缺点．教学中让学生自己归纳总结，回顾反思，将知识点串连起来，完成对该部分内容的完整认识和意义建构．这对学生在实际情境中根据不同需要选择恰当的方法表示变量间的关系，发展与深化思维能力是大有裨益的．第2课时　折线型图象1．能从图象中获取变量之间的信息，并能用语言进行描述；2．能借助图象表示实际情境中所蕴含的变量之间的关系．重点在所给出的图象中发现变量之间存在的关系，并能获取图象中的信息．难点理解图象中的变量关系，以及如何利用图象进行推理和预测．一、导入新课小强和爷爷经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离y(米)与爬山所用时间x(分钟)的关系(从小强开始爬山时计时).问：图中的横轴(x轴)和纵轴(y轴)各表示什么？答：横轴(x轴)表示两人爬山所用时间，纵轴(y轴)表示两人离开山脚的距离．问：如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？答：P的坐标是(3，90).表示小强爬山3分钟时，离开山脚的距离是90米．我们能否从图象中看出其他信息呢？二、探究新知探究点：用折线型图象表示变量间关系每辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当前的速度，你会看这个表吗？汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的．下面的图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况．(1)汽车从出发到最后停止共经过了________分．它的最高时速是____________．(2)汽车在__________________时间段保持匀速行驶，时速分别是__________和__________．(3)出发后8分到10分之间可能发生什么样的情况？(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况．小结：借助图象可判断因变量的变化趋势：图象自左向右是上升的，则说明因变量随着自变量的增大而增大，图象自左向右是下降的，则说明因变量随着自变量的增大而减小，图象自左向右是与横轴平行的，则说明因变量在自变量的增大的过程中保持不变．图象的识图技巧(1)注意两数轴上的名称与单位．(2)分布规律：横轴上的点表示自变量，纵轴上的点表示因变量．(3)识图关键：弄清图象上点的意义，找准关键点：注意图象的起点、终点、最高点、最低点、拐点等特殊位置，并弄清这些点所表示的意义．思考：在上面的情境中，假设这辆汽车出发后8 min到12 min静止不动，然后用6 min加速到90 km/h，再用6 min减速到静止．你能在下图中画图大致反映这辆汽车的速度随着时间的变化而变化的情况吗？三、课堂练习1．小明放学后从学校乘轻轨回家，他从学校出发，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小明搭轻轨回到家，下面能反映在此过程中小明离家的距离y与时间x的关系的大致图象是(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(B)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(D)) 2．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OAB为折线)，这个容器的形状是图中的(　　)　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(A)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(B))  eq \o(\s\up7(),\s\do5(C)) 　　　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(D)) 3．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)她何时开始第一次休息？休息了多长时间？(3)她骑车速度最快是在什么时候？车速是多少？(4)玲玲全程骑车的平均速度是多少？4．端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：(1)这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？(2)求乙与甲相遇时乙的速度．四、课堂小结1．用折线型图象表示变量间关系．2．根据折线型图象获取信息解决问题．五、课后作业完成本节课对应练习．经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．制动初速度v/(km/h)2030405060708090100110120130140制动距离s/m1.403.606.429.9614.7919.5925.5832.3739.9848.3757.5767.6578.36反应距离/cm56789101112131415反应时间/s0.1010.1110.1200.1280.1360.1430.1500.1560.1630.1690.175时间/年2016201720182019202020212022GDP/万亿元75839299101115121x(kg)012345y(cm)1010.51111.51212.5时间x/月123456789101112月产量y/万辆88.59101112109.59101010.5时间t(s)1234…距离s(m)281832…二氧化碳排放量/kg计算公式家居用电用电量(单位：kW·h)×0.785开私家车(燃油车)耗油量(单位：L)×2.7家用天然气用气量(单位：m3)×0.19家用自来水用水量(单位：m3)×0.91