新高考数学二轮复习 专题06 导数 解答题 巩固练习四（2份，原卷版+教师版）

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(1)求的单调区间；
(2)令（a为常数），若有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)
【解析】（1）由题意可知：的定义域为， ，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）由题意可知：，其定义域为，
则有两个零点，即有两解，即有两解，
令，则.
令，解得；令，解得；
则的单调递减区间是，单调递增区间是，可知，
又因为，且当趋近于，趋近于0，要使得有两解，只需，所以，

故实数a的取值范围为.
2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数在上有两个零点．
【解析】（1）的定义域为，
令，得或，当时，在上恒成立，单调递增，
当时，在上，单调递增，
在上，单调递减， 在上，单调递增，
当时，在上，单调递增，
在上，单调递减，在上，单调递增，
综上所述， 当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2），
当时，，则，
令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
又时，，，所以存在，使得，即
所以在上，单调递减，在上单调递增，
所以
， 当且仅当，即时，取等号，因为，所以，由，，
所以在上存在的两个零点，得证.
3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值；(2)选①，；选②，的取值范围为
【解析】（1）函数的定义域为，，解得，
当时，，单调递增；当时，单调递减；
所以，无极小值.
（2）若选①：由恒成立，即恒成立，
整理得：，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，即，
令，，则，
当时，；当时，；
所以在处取得极大值，的最大值为，故，即.
故当时，恒成立.
若选择②：由关于的方程有两个实根，得有两个实根，
整理得，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，即，
令，，则，
当时，；当时，；所以在处取得极大值，
的最大值为，又因为
所以要想有两个根，只需要，即，所以的取值范围为.
4．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若存在极大值点，且极大值不大于，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为(2)
【解析】（1）当时，，定义域为，，
当时，；当时，，∴在上单调递增；在上单调递减，
故的最大值为．
（2），，
①当时，，
当时，；当时，，∴在上单调递增；在上单调递减，
所以的极大值为，符合题意．
②当时，
当时，；当时，，∴在上单调递增，此时，无极值点．
③当时，令，解得，且，
当时，；当时，，当时，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值，
令，则，设，
则，所以在上单调递增，
由题意知，即，
所以，即，故
④当时，，解得或，且满足，
当时，；当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，符合题意．
综上．
5．（2023·福建龙岩·统考二模）已知函数，．
(1)若满足，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线；
(2)若，且，证明：．
【解析】（1）由已知有，,
曲线在点处的切线方程为：,
即：，将代入即有：,
由得令得：，此时,
可得：曲线在点处的切线方程为：，将代入化简，可得：故曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（2）∵，
∴，令，得：，
∴，为方程的两根，
∴即：，∴ ∴，
∴，
令，则，令，则，
∴在单调递减 ∴
即.