人教版（2024）九年级上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系教学课件ppt

这是一份人教版（2024）九年级上册24.2 点和圆、直线和圆的位置关系教学课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了学习目标，位置关系，公共点个数，知识回顾，情境引入，讲授新课，OA为⊙O的半径，BC⊥OA于A，BC为⊙O的切线，要点归纳等内容，欢迎下载使用。
1. 会判定一条直线是否是圆的切线，并会过圆上一点 作圆的切线；2. 理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理；(重点)3. 能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题. （难点）
24.2.3切线的判定与性质
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
问题：已知圆 O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作圆 O 的切线？
观察：（1） 圆心 O 到直线 AB 的距离和圆的 半径有什么数量关系?（2）二者位置有什么关系？为什么？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
(1) 不是，因为没有垂直.
(2) (3) 不是，因为没有经过半径的外端点 A.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即 d = r)时，直线与圆相切；
3. 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1 如图，线段 AB 是☉O 的直径，直线 AC 与 AB 交于点 A，∠ABC = 45°，且 AB = AC.求证：AC 是☉O 的切线.
分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°，即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，
∴ AC 是☉O 的切线.
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB， CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OC.∵ OA ＝ OB，CA ＝ CB， ∴ OC 是等腰△OAB 底边 AB 上的中线.　∴ OC⊥AB. ∵ OC 是 ⊙O 的半径，∴ AB 是 ⊙O 的切线.
分析：由于 AB 过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要 证明 AB⊥OC 即可.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙O 的切线．
证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E.
∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB.
又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC，
∴ DE = DB = r.
∴ AC 是⊙O 的切线.
(1) 有交点，连半径，证垂直；
证切线时辅助线的添加方法
(2) 无交点，作垂直，证半径.
思考：如图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OM⊥CD，垂足为 M；
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的 距离小于⊙O 的半径，因此，CD 与⊙O 相交. 这与已知条件“直线 与⊙O 相切”相矛盾；
（3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直.
例4 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数.
解：如图，连接 OA.
∵ PA 是⊙O 的切线，
∵∠AOP = 2∠B = 50°，
∴∠P = 90° - 50° = 40°.
∴∠OAP = 90°.
例5 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线．
分析：判定切线，无切点，则作垂直(OE)，证半径(OE = OD)；由 AB 与⊙O相切于点 D，得 OD⊥AB；再根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质，即可得出结论.
证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 D，∴ OD⊥AB.
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点，
∴ AO 平分∠BAC.
∵ OD 是⊙O 的半径，∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径.
∴ AC 是⊙O 的切线．
有切线时常用辅助线添加方法
见切点，连半径，得垂直.
(1) 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
(2) 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
1. 判断下列命题是否正确. (1) 经过半径外端的直线是圆的切线. ( ) (2) 垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (3) 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的 切线. ( ) (4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( ) (5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( )
2. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 .
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径， ∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于 点 P，则∠ADP 的度数为 （ ） A．40° B．35° C．30° D．45°
4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O 的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，即 r2 + 42 = (2 + r)2.
即 ⊙O 的半径为 3.
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.∵ AB = AC，∴∠B =∠C. ∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB. ∴∠OPB =∠C. ∴ OP∥AC. ∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP. ∴ PE为 ⊙O 的切线.
6. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、C 两点，∠P = 30°，连接 AO、AB、AC.
求证：△ACB≌△APO.
解析：根据已知条件易得∠CAB = ∠PAO = 90°，由∠P = 30° 可得出∠AOP = 60°，则∠C = 30° = ∠P，即AC = AP；这样就凑齐了角边角，可证得两个三角形全等.
证明：∵ PA 为⊙O 的切线，A 为切点，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.又 OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.∴ AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵ BC 为 ⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.在△ACB 和 △APO 中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO (ASA).